Aufgaben:Aufgabe 3.4: Einfacher Phasenmodulator - Versionsgeschichte

Guenter am 25. März 2020 um 14:28 Uhr

2020-03-25T14:28:51Z

Guenter am 25. März 2020 um 14:15 Uhr

2020-03-25T14:15:08Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 17:19 Uhr

2018-12-18T17:19:51Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 17:13 Uhr

2018-12-18T17:13:39Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 17:02 Uhr

2018-12-18T17:02:20Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:24:26Z

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Guenter am 5. Juli 2017 um 15:24 Uhr

2017-07-05T15:24:21Z

Guenter am 5. Juli 2017 um 14:53 Uhr

2017-07-05T14:53:03Z

Safwen am 3. Januar 2017 um 12:59 Uhr

2017-01-03T12:59:59Z

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 *Das äquivalente Tiefpass–Signal lautet:
 :$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right)
-  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \right)\hspace{0.05cm}.$$
+  =  A_{\rm T} \cdot \big ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \big)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Grafik verdeutlicht, dass die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ nun eine vertikale Gerade ist im Gegensatz zur idealen PM (Kreisbogen) und zur ZSB–AM (horizontale Gerade). Im Folgenden wird $A_{\rm T} = 1$ gesetzt.
+*Die Grafik verdeutlicht, dass die Ortskurve&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; nun eine vertikale Gerade ist im Gegensatz zur idealen PM&nbsp; (Kreisbogen)&nbsp; und zur ZSB–AM&nbsp; (horizontale Gerade).&nbsp;
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 :$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)} \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
-Für $η = 1$ ergibt sich der Maximalwert zu &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
+*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Maximalwert zu &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
 '''(3)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion dieses einfachen Phasendemodulators  gilt:
 :$$\phi(t) = \arctan \frac{{\rm Im}[s_{\rm TP}(t)]}{{\rm Re}[s_{\rm TP}(t)]} = \arctan (\eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
-Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit $t = 0$ auf und beträgt $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$.
+*Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf und beträgt&nbsp; $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$.
-*Für $η = 1$ erhält man $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = 45^\circ}$ (im Vergleich: Bei idealer PM $57.3^\circ$),
+:*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; erhält man&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = 45^\circ}$&nbsp; $($im Vergleich:&nbsp; Bei idealer PM&nbsp; $57.3^\circ)$,
-*Für $η = 0.5$ergibt sich $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 26.6^\circ}$ (bei idealer PM $28.7^\circ$).
+:*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 26.6^\circ}$&nbsp; $($bei idealer PM&nbsp; $28.7^\circ)$.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Es gilt <u>nicht</u> $\arctan\big [η · cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$.
+*Es gilt&nbsp; '''nicht''':&nbsp; &nbsp; &nbsp; $\arctan\big [η · \cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$.
 *Das heißt, dass das Sinkensignal im Gegensatz zum Quellensignal nicht cosinusförmig verläuft.
 *Dies weist auf nichtlineare Verzerrungen hin.
 '''(5)'''&nbsp; Mit $γ = η · \cos(ω_N · t)$ und $\arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$ erhält man:
 :$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=
    \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ {3}/{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + {1}/{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] $$
 :$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt) ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von $0$ verschieden. Man erhält:
+*Das bedeutet:&nbsp; Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung&nbsp; (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt)&nbsp; ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von Null verschieden.&nbsp; Man erhält:
 :$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
-*Für $η = 1$ ergibt sich der Zahlenwert $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$.
+*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Zahlenwert&nbsp; $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$.
-*Für $η = 0.5$ ist der Klirrfaktor $K = 1/45 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 2.2\%}$.
+*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ist der Klirrfaktor&nbsp; $K = 1/45 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 2.2\%}$.
 Eine Simulation zeigt, dass man durch den Abbruch der Reihe nach dem Term dritter Ordnung einen Fehler macht, der den Klirrfaktor als zu hoch erscheinen lässt:
-*Die per Simulation gewonnenen Werte sind $K ≈ 6%$ (für $η = 1$) und $K ≈ 2%$ (für $η = 0.5$).
+*Die per Simulation gewonnenen Werte sind&nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 1)$&nbsp; und&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 0.5)$.
 *Der Fehler nimmt also mit wachsendem &nbsp;$η$&nbsp; mehr als proportional zu.

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 [[Datei:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|&bdquo;Näherungsweiser Phasenmodulator&rdquo;]]
-Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals. Der &nbsp;$90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
+Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals.&nbsp;
 :$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}}
 = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;. Zusätzlich wird der um &nbsp;$90^\circ$&nbsp; phasenverschobene Träger addiert. Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp; ergibt sich somit:
+Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;.&nbsp; Zusätzlich wird der um &nbsp;$90^\circ$&nbsp; phasenverschobene Träger addiert.&nbsp; Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp; ergibt sich somit:
 :$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \big[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \big] \hspace{0.05cm}.$$
-Das Verhältnis &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; bezeichnen wir als den Modulationsindex; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung $A_{\rm T} = 1$ gesetzt.
+Das Verhältnis &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; bezeichnen wir als den Modulationsindex;&nbsp; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung zu&nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; gesetzt.
-*Im Gegensatz zur &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]]&nbsp; unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; &nbsp;$η$&nbsp; vom Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$.
+*Im Gegensatz zur &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]]&nbsp; unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; der Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; und der Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$.
-*Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist. Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
+*Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
@@ Zeile 22: / Zeile 24: @@
 Anschließend sollen die Verfälschungen analysiert werden, die sich ergeben, wenn bei diesem nichtidealen PM-Modulator empfangsseitig ein idealer PM-Demodulator eingesetzt wird, der das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; proportional zur Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; setzt.
@@ Zeile 38: / Zeile 43: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal. Welche Aussage trifft zu?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal.&nbsp; Welche Aussage trifft zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein Kreisbogen.
 - Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine horizontale Gerade.
@@ Zeile 45: / Zeile 50: @@
-{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$A_{\rm T} = 1$. Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit &nbsp;$η = 1$?
+{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit &nbsp;$η = 1$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm min} \ = \ $ { 1 3%  }
@@ Zeile 56: / Zeile 61: @@
 {Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von &nbsp;$s(t)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es treten keine Verzerrungen auf.
 - Es treten lineare Verzerrungen auf.

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 :$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)} \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
-Für $η = 1$ ergibt sich der Maximalwert zu $a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
+Für $η = 1$ ergibt sich der Maximalwert zu &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Es gilt <u>nicht</u> $\arctan[η · cos(γ)] = η · \cos(γ)$.
+*Es gilt <u>nicht</u> $\arctan\big [η · cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$.
 *Das heißt, dass das Sinkensignal im Gegensatz zum Quellensignal nicht cosinusförmig verläuft.
 *Dies weist auf nichtlineare Verzerrungen hin.
@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 :$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=
    \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ {3}/{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + {1}/{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] $$
-:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 Das bedeutet: Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt) ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von $0$ verschieden. Man erhält:
 :$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 112: / Zeile 112: @@
 Eine Simulation zeigt, dass man durch den Abbruch der Reihe nach dem Term dritter Ordnung einen Fehler macht, der den Klirrfaktor als zu hoch erscheinen lässt:
 *Die per Simulation gewonnenen Werte sind $K ≈ 6%$ (für $η = 1$) und $K ≈ 2%$ (für $η = 0.5$).
-*Der Fehler nimmt also mit wachsendem η mehr als proportional zu.
+*Der Fehler nimmt also mit wachsendem &nbsp;$η$&nbsp; mehr als proportional zu.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal. Welche Aussage trifft zu?
 |type="[]"}
-- Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist ein Kreisbogen.
+- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein Kreisbogen.
-- Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist eine horizontale Gerade.
+- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine horizontale Gerade.
-+ Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist eine vertikale Gerade.
++ Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine vertikale Gerade.
-{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve $a(t)$ für $A_{\rm T} = 1$. Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit $η = 1$?
+{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$A_{\rm T} = 1$. Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit &nbsp;$η = 1$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm min} \ = \ $ { 1 3%  }
 $a_{\rm max} \ = \ $ { 1.414 3%  }
-{Berechnen Sie den Maximalwert der Phase $ϕ(t)$ für $η = 1$ und $η = 0.5$.
+{Berechnen Sie den Maximalwert der Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für &nbsp;$η = 1$&nbsp; und &nbsp;$η = 0.5$.
 |type="{}"}
 $η = 1.0\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$
 $η = 0.5\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 26.6 3% } $\ \rm Grad$
-{Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von $s(t)$?
+{Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von &nbsp;$s(t)$?
 |type="[]"}
 - Es treten keine Verzerrungen auf.
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 + Es treten nichtlineare Verzerrungen auf.
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$  unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp;  unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
 |type="{}"}
 $η = 1.0\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 11.1 3% } $\ \text{%}$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|&bdquo;Näherungsweiser Phasenmodulator&rdquo;]]
-Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals. Der $90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger $z(t)$ ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
+Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals. Der &nbsp;$90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
 :$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}}
 = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;. Zusätzlich wird der um $90^\circ$ phasenverschobene Träger addiert. Bei cosinusförmigem Quellensignal $q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$ergibt sich somit:
+Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;. Zusätzlich wird der um &nbsp;$90^\circ$&nbsp; phasenverschobene Träger addiert. Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp; ergibt sich somit:
 :$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \big[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \big] \hspace{0.05cm}.$$
-Das Verhältnis $η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ bezeichnen wir als den Modulationsindex; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung $A_{\rm T} = 1$ gesetzt.
+Das Verhältnis &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; bezeichnen wir als den Modulationsindex; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung $A_{\rm T} = 1$ gesetzt.
-*Im Gegensatz zur [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]] unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; $η$ vom Phasenhub $ϕ_{\rm max}$.
+*Im Gegensatz zur &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]]&nbsp; unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; &nbsp;$η$&nbsp; vom Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$.
-*Außerdem werden Sie erkennen, dass die Hüllkurve $a(t) ≠ 1$ ist. Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
+*Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist. Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Zur näherungsweisen Berechnung des Klirrfaktors können Sie folgende Gleichungen benutzen:

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 14:24 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Das äquivalente Tiefpass–Signal lautet:
+[[Datei:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Konstruktion der &bdquo;vertikalen&rdquo; Ortskurve aus den Zeigern]]
-$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right)$$
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-$$ =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \right)\hspace{0.05cm}.$$
+*Das äquivalente Tiefpass–Signal lautet:
-[[Datei:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|]]
+:$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right)
-Die Grafik verdeutlicht, dass die Ortskurve $s_{TP}(t)$ nun eine vertikale Gerade ist im Gegensatz zur idealen PM (Kreisbogen) und zur ZSB–AM (horizontale Gerade). Im Folgenden wird $A_T = 1$ gesetzt.
+ =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \right)\hspace{0.05cm}.$$
-'''2.''' Die Hüllkurve ergibt sich aus der zeitabhängigen Zeigerlänge zu
+'''(2)'''&nbsp; Die Hüllkurve ergibt sich aus der zeitabhängigen Zeigerlänge zu
-$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)}$$
+:$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)} \hspace{0.3cm}
-$$ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
+ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
-Für $η = 1$ hat amax den Wert $2^{0.5} ≈ 1.414$.
+Für $η = 1$ ergibt sich der Maximalwert zu $a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.
-'''3.'''  Für die Phasenfunktion gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion dieses einfachen Phasendemodulators  gilt:
-$$\phi(t) = \arctan \frac{{\rm Im}[s_{\rm TP}(t)]}{{\rm Re}[s_{\rm TP}(t)]} = \arctan (\eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\phi(t) = \arctan \frac{{\rm Im}[s_{\rm TP}(t)]}{{\rm Re}[s_{\rm TP}(t)]} = \arctan (\eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
-Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit $t = 0$ auf und beträgt $ϕ_{max} = arctan(η)$. Für $η = 1$ erhält man $ϕ_{max} = 45°$ (bei idealer PM $57.3°$) und für $η = 0.5$ ergibt sich $ϕ_{max} = 26.6°$ (ideale PM: $28.7°$).
+Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit $t = 0$ auf und beträgt $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$.
-'''4.'''Es gilt nicht arctan$(η · cos(γ)) = η · cos(γ)$. Das heißt, dass das Sinkensignal im Gegensatz zum Quellensignal nicht cosinusförmig verläuft. Dies weist auf $\underline{nichtlineare Verzerrungen}$ hin ⇒ $\underline{Vorschlag 3}$.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-'''5.'''   Mit $γ = η · cos(ω_N · t)$ und $arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$ erhält man
+'''(5)'''&nbsp; Mit $γ = η · \cos(ω_N · t)$ und $\arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$ erhält man:
-$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=$$
+:$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=
-$$ =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ \frac{3}{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + \frac{1}{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] =$$
+  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ {3}/{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + {1}/{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] $$
-$$ =  \left(\eta - \frac{\eta^3}{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt) ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von 0 verschieden. Man erhält:
+Das bedeutet: Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt) ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von $0$ verschieden. Man erhält:
-$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
-Für $η = 1$ ergibt sich der Zahlenwert $K = 1/9 ≈ 11.1%$. Für $η = 0.5$ ist der Klirrfaktor $K = 1/45 ≈ 2.2%$.
+*Für $η = 1$ ergibt sich der Zahlenwert $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$.
-Eine Simulation zeigt, dass man durch den Abbruch der Reihe nach dem Term dritter Ordnung einen Fehler macht, der den Klirrfaktor als zu hoch erscheinen lässt. Die per Simulation gewonnenen Werte sind $K ≈ 6%$ (für $η = 1$) und $K ≈ 2%$ (für $η = 0.5$). Der Fehler nimmt also mit wachsendem η mehr als proportional zu.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|&bdquo;Näherungsweiser Phasenmodulator&rdquo;]]
-Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals. Der 90°– Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger $z(t)$ ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
+Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals. Der $90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger $z(t)$ ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
-$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}} =\hspace{0.45cm}$$
+:$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}}
-$$= A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+= A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Term beschreibt eine ZSB–AM ohne Träger. Zusätzlich wird der um 90° phasenverschobene Träger addiert. Bei cosinusförmigem Quellensignal
+Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;. Zusätzlich wird der um $90^\circ$ phasenverschobene Träger addiert. Bei cosinusförmigem Quellensignal $q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$ergibt sich somit:
-$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$$
+:$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
-ergibt sich somit:
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
-$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) =$$
+Das Verhältnis $η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ bezeichnen wir als den Modulationsindex; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung $A_{\rm T} = 1$ gesetzt.
-Im Gegensatz zur idealen '''PM''' unterscheidet sich bei dieser näherungsweisen Phasenmodulation $η$ vom Phasenhub $ϕ_{max}$. Außerdem werden Sie erkennen, dass die Hüllkurve $a(t) ≠ 1$ ist. Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.
+*Im Gegensatz zur [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]] unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; $η$ vom Phasenhub $ϕ_{\rm max}$.
-Berechnet werden sollen in dieser Aufgabe aus der Darstellung des äquivalenten TP–Signals $s_{TP}(t)$ in der komplexen Ebene (Ortskurve) die Hüllkurve $a(t)$ und die Phasenfunktion $ϕ(t)$. Außerdem sollen die Verfälschungen analysiert werden, die sich ergeben, wenn bei diesem nichtidealen Modulator ein idealer Phasendemodulator zugrundegelegt wird, der das Sinkensignal $υ(t)$ proportional zur Phase $ϕ(t)$ setzt.
+Berechnet werden sollen in dieser Aufgabe aus der Darstellung des äquivalenten TP–Signals $s_{TP}(t)$ in der komplexen Ebene (Ortskurve)
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1]. Zur näherungsweisen Berechnung des Klirrfaktors können Sie folgende Gleichungen benutzen:
-$$\arctan(\gamma) \approx \gamma - {\gamma^3}/{3} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\gamma) ={3}/{4} \cdot \cos(\gamma) +{1}/{4} \cdot \cos(3 \cdot \gamma) \hspace{0.05cm}.$$
+Anschließend sollen die Verfälschungen analysiert werden, die sich ergeben, wenn bei diesem nichtidealen PM-Modulator empfangsseitig ein idealer PM-Demodulator eingesetzt wird, der das Sinkensignal $v(t)$ proportional zur Phase $ϕ(t)$ setzt.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente TP–Signal. Welche Aussage trifft zu?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal. Welche Aussage trifft zu?
 |type="[]"}
-- Die Ortskurve $s_{TP}(t)$ ist ein Kreisbogen.
+- Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist ein Kreisbogen.
-- Die Ortskurve $s_{TP}(t)$ ist eine horizontale Gerade.
+- Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist eine horizontale Gerade.
-+ Die Ortskurve $s_{TP}(t)$ ist eine vertikale Gerade.
++ Die Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$ ist eine vertikale Gerade.
-{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve $a(t)$ für $A_T = 1$. Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit $η = 1$?
+{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve $a(t)$ für $A_{\rm T} = 1$. Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit $η = 1$?
 |type="{}"}
-$η = 1:   a_{min}$ = { 1 3%  }
+$a_{\rm min} \ = \ $ { 1 3%  }
-$η = 1:   a_{max}$ = { 1.414 3%  }
+$a_{\rm max} \ = \ $ { 1.414 3%  }
 {Berechnen Sie den Maximalwert der Phase $ϕ(t)$ für $η = 1$ und $η = 0.5$.
 |type="{}"}
-$ η = 1:   ϕ_{max}$ = { 45 3% } $Grad$
+$η = 1.0\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$
-$ η = 0.5:   ϕ_{max}$ = { 26.6 3% } $Grad$
+$η = 0.5\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 26.6 3% } $\ \rm Grad$
 {Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von $s(t)$?
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 + Es treten nichtlineare Verzerrungen auf.
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$  unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
 |type="{}"}
-$η = 1:   K$ = { 11.1 3% } $\text{%}$
+$η = 1.0\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 11.1 3% } $\ \text{%}$
-$η = 0.5:   K$ = { 2.2 3% } $\text{%}$
+$η = 0.5\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 2.2 3% } $\ \text{%}$

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