Aufgaben:Aufgabe 3.4: Dämpfungs- und Phasenverlauf - Versionsgeschichte

Guenter am 14. Oktober 2021 um 15:16 Uhr

2021-10-14T15:16:26Z

Guenter am 14. Oktober 2021 um 14:39 Uhr

2021-10-14T14:39:25Z

Guenter am 14. Oktober 2021 um 14:24 Uhr

2021-10-14T14:24:34Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:46 Uhr

2021-09-09T16:46:53Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 16:07 Uhr

2019-10-31T16:07:08Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 15:57 Uhr

2019-10-31T15:57:41Z

Guenter am 26. November 2018 um 16:38 Uhr

2018-11-26T16:38:53Z

Guenter am 26. November 2018 um 16:27 Uhr

2018-11-26T16:27:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. März 2018 um 16:45 Uhr

2018-03-16T16:45:11Z

@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 :$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\phi_{\rm x1} ={\rm arctan}\hspace{0.15cm}(1/3) =
-.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3)  =
+.4^\circ\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}\phi_{\rm x2} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(7/3)  =
-.8^\circ\hspace{0.05cm},$$
+.8^\circ\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \phi_{\rm o} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) =
-:$$ \phi_{\rm o} = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}(-1/4) =
+^\circ - 76^\circ = 104^\circ $$
-^\circ - 76^\circ = 104^\circ \hspace{0.3cm}
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}b(f ={2}/\pi) =
 .4^\circ + 66.8^\circ - 104^\circ  \hspace{0.15cm} \underline{= -18.8^\circ}
   \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 *Im Grenzfall &nbsp;$f &#8594; \infty$&nbsp; ergibt sich für den Betrag, die Dämpfung und die Phase:
 :$$\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   H(f)= \frac{K}{{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
-  f}}\hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}
+  f}}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   |H(f)|\hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.5cm}
-\Rightarrow \hspace{0.15cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   a(f)= \infty,\hspace{0.1cm}
+\Rightarrow \hspace{0.5cm}\lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   a(f)= \infty,\hspace{0.1cm}
   \lim_{f \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}   b(f)\underline {=
   {\pi}/{2}\hspace{0.1cm}(+90^\circ)}
@@ Zeile 101: / Zeile 101: @@
 '''(2)'''&nbsp; Aus der allgemeinen Gleichung in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man mit dem Grenzübergang &nbsp;$f &#8594 0$:
-[[Datei:P_ID1769__LZI_A_3_4_d_neu.png|right|frame|$|H(f)|$,&nbsp; $a(f)$&nbsp; und&nbsp; $b(f)$]]
+[[Datei:P_ID1769__LZI_A_3_4_d_neu.png|right|frame|$|H(f)|$,&nbsp; ,&nbsp; $a(f)$&nbsp; und&nbsp; $b(f)$]]
 :$$|H(f=0)|=  -\frac {K \cdot p_{\rm o }}
   {p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}}
@@ Zeile 112: / Zeile 112: @@
 Der Bildschirmabzug des Flash&ndash;Moduls &bdquo;Kausale Systeme&rdquo; fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:
-:*Mittlere Achse (blau): &nbsp; Betrag $|H(f)|$,
+:*Mittlere Achse (blau): &nbsp; Betrag $|H(f)|$ &nbsp; &rArr;  &nbsp; hier beschriftet mit&nbsp;  $|Y(f)|$,
-:*Linke Achse (rot): &nbsp; Dämpfung $a(f)$,
+:*Linke Achse (rot): &nbsp; Dämpfung&nbsp;  $a(f)$,
-:*Rechte Achse (grün): &nbsp; Phase $b(f)$.
+:*Rechte Achse (grün): &nbsp;  Phase&nbsp; $b(f)$.
 :*Schwarzer Punkt: &nbsp; Werte für $2\pi f = 4.$
-<br clear=all>
 [[Datei:P_ID2843__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm und einige Hilfsgrößen]]
 '''(3)'''&nbsp; Entsprechend der detaillierten Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Grafische_Ermittlung_von_D.C3.A4mpfung_und_Phase|Theorieteil]]&nbsp; gilt für die Dämpfungsfunktion:
@@ Zeile 144: / Zeile 145: @@
 Das entspricht&nbsp; $0.155\  {\rm Np} \cdot  8.686 \  {\rm dB/Np} \hspace{0.15cm} \underline{= 1.346 \ {\rm dB}}$.
-<br clear=all>
 '''(4)'''&nbsp; Nach der Beschreibung im Theorieteil gilt wegen &nbsp;$K > 0$&nbsp; für die Phasenfunktion:
 :$$b(f ={2}/\pi) = \phi_{\rm x1} + \phi_{\rm x2}-\phi_{\rm o}\hspace{0.05cm},$$

← Nächstältere Version		Version vom 14. Oktober 2021, 14:24 Uhr
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	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

−	Die entsprechenden Beträge  $\|R_{\rm o}\|$,  $\|R_{\rm x1}\|$  und  $\|R_{\rm x1}\|$ können Sie ebenso wie die Winkel  $\phi_{\rm o}$,  $\phi_{\rm x1}$  und  $\phi_{\rm x2}$  der Grafik entnehmen.	+	Die entsprechenden Beträge  $\|R_{\rm o}\|$,  $\|R_{\rm x1}\|$  und  $\|R_{\rm x2}\|$ können Sie ebenso wie die Winkel  $\phi_{\rm o}$,  $\phi_{\rm x1}$  und  $\phi_{\rm x2}$  der Grafik entnehmen.

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation ~~und p–Übertragungsfunktion~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die $p$&ndash;Übertragungsfunktion lautet:
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion lautet:
 :$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
   {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (Frequenzgang) kommt man mit der Substitution &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:
+*Zur herkömmlichen Übertragungsfunktion (zum Frequenzgang) kommt man mit der Substitution &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$:
 :$$H(f)= K \cdot \frac {{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f} - p_{\rm o }}
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
-'''(2)'''&nbsp; Aus der allgemeinen Gleichung in Teilaufgabe '''(1)''' erhält man mit dem Grenzübergang &nbsp;$f &#8594 0$:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der allgemeinen Gleichung in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man mit dem Grenzübergang &nbsp;$f &#8594 0$:
 :$$|H(f=0)|=  -\frac {K \cdot p_{\rm o }}
   {p_{\rm x 1}\cdot p_{\rm x 2}}
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 :$$a(f=0)=- {\rm ln} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { |H(f=0)|= 1.281\,{\rm Np }}
   \hspace{0.05cm} .$$
-[[Datei:P_ID1769__LZI_A_3_4_d_neu.png|right|frame|$|H(f)|$, $a(f)$ und $b(f)$]]
 Der Bildschirmabzug des Flash&ndash;Moduls &bdquo;Kausale Systeme&rdquo; fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen:
 :*Mittlere Achse (blau): &nbsp; Betrag $|H(f)|$,
@@ Zeile 116: / Zeile 117: @@
 :*Schwarzer Punkt: &nbsp; Werte für $2\pi f = 4.$
 <br clear=all>
 '''(3)'''&nbsp; Entsprechend der detaillierten Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Grafische_Ermittlung_von_D.C3.A4mpfung_und_Phase|Theorieteil]]&nbsp; gilt für die Dämpfungsfunktion:
-[[Datei:P_ID2843__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm und einige Hilfsgrößen]]
 :$$a(f)=  -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
   + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x2}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 123: / Zeile 125: @@
 *Zu berücksichtigen ist weiterhin die Zusatzeinheit &bdquo;Neper&rdquo; $\rm (Np)$.
-*Gesucht ist die Dämpfung bei &nbsp;$f = 2/\pi$. Dazu setzen wir &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f = 4$&nbsp; und ermitteln folgende Abstände:
+*Gesucht ist die Dämpfung bei &nbsp;$f = 2/\pi$.&nbsp; Dazu setzen wir &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f = 4$&nbsp; und ermitteln folgende Abstände:
 :$$R_{\rm o} = 1 - 4 \cdot {\rm j}, \hspace{0.2cm}|R_{\rm o}| \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \sqrt{1^2 + 4^2}= 4.123, \hspace{1.15cm}
   {\rm ln} \hspace{0.1cm}|R_{\rm o}|
@@ Zeile 141: / Zeile 143: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Das entspricht $0.155\  {\rm Np} \cdot  8.686 \  {\rm dB/Np} \hspace{0.15cm} \underline{= 1.346 \ {\rm dB}}$.
+Das entspricht&nbsp; $0.155\  {\rm Np} \cdot  8.686 \  {\rm dB/Np} \hspace{0.15cm} \underline{= 1.346 \ {\rm dB}}$.
 <br clear=all>
 '''(4)'''&nbsp; Nach der Beschreibung im Theorieteil gilt wegen &nbsp;$K > 0$&nbsp; für die Phasenfunktion:

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1768__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm und Definition einiger Hilfsgrößen]]
+[[Datei:P_ID1768__LZI_A_3_4.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramm sowie Definition einiger Hilfsgrößen]]
 Wir gehen vom skizzierten Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm aus, also von den Werten
 :$$K = 5, \hspace{0,2cm}Z = 1, \hspace{0,2cm}N = 2, $$
 :$$ p_{\rm  o}= 1,\hspace{0,2cm}p_{\rm  x1}= -3 + 3{\rm j},\hspace{0,2cm}p_{\rm  x2}= -3 - 3{\rm j}\hspace{0.05cm} .$$
-Damit lautet die $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
+Damit lautet die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
 :$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }}
   {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie &nbsp;$H(f)$. Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie &nbsp;$H(f)$.&nbsp; Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $|H(f &#8594; &#8734;)| \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
-{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei &nbsp;$f =4/(2 \pi)$&nbsp; in Neper $\rm(Np)$ und Dezibel $\rm(dB)$.
+{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei &nbsp;$f =4/(2 \pi)$&nbsp; in Neper&nbsp; $\rm(Np)$&nbsp; und Dezibel&nbsp; $\rm(dB)$.
 |type="{}"}
 $a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 0.155 3% } $\ \rm Np$

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
-Mit der Substitution $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
+Mit der Substitution &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; lässt sich die herkömmliche Übertragungsfunktion angeben, die auch als Frequenzgang bezeichnet wird:
 :$$H(f) =  H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f}} =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 Aus dieser Gleichung erkennt man auch den Zusammenhang zwischen
-* der  Übertragungsfunktion $H(f)$,
+* der  Übertragungsfunktion &nbsp;$H(f)$,
-*der Dämpfungsfunktion $a(f)$ und
+*der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und
-*der Phasenfunktion $b(f)$.
+*der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$.
-Für eine durch den Punkt $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$ indirekt vorgegebene Frequenz $f$ kann man die Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
+Für eine durch den Punkt &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; indirekt vorgegebene Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; kann man die Dämpfungs&ndash; und Phasenwerte wie folgt ermitteln:
 :$$a(f)\hspace{0.15cm}{\rm in}\hspace{0.15cm}{\rm Np} \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} -{\rm ln} \hspace{0.1cm} K
   + {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|+{\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{\rm x1}|- {\rm ln} \hspace{0.1cm} |R_{{\rm o} }|\hspace{0.05cm}
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
-Die entsprechenden Beträge $|R_{\rm o}|$,  $|R_{\rm x1}|$ und$|R_{\rm x1}|$ können Sie ebenso wie die Winkel $\phi_{\rm o}$, $\phi_{\rm x1}$ und $\phi_{\rm x2}$ der Grafik entnehmen.
+Die entsprechenden Beträge &nbsp;$|R_{\rm o}|$,  &nbsp;$|R_{\rm x1}|$ &nbsp;und&nbsp; $|R_{\rm x1}|$ können Sie ebenso wie die Winkel &nbsp;$\phi_{\rm o}$, &nbsp;$\phi_{\rm x1}$ &nbsp;und&nbsp; $\phi_{\rm x2}$&nbsp; der Grafik entnehmen.
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie $H(f)$. Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie &nbsp;$H(f)$. Wie groß ist dessen Betrag bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $|H(f &#8594; &#8734;)| \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für $f &#8594 0$.
+{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang und den Dämpfungswert für &nbsp;$f &#8594 0$.
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)| \ = \ $ { 0.278 3% }
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
-{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei $f 4/(2 \pi)$ in Neper (Np) und Dezibel (dB).
+{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Dämpfungswert bei &nbsp;$f =4/(2 \pi)$&nbsp; in Neper $\rm(Np)$ und Dezibel $\rm(dB)$.
 |type="{}"}
 $a(f = 2/ \pi)\ = \ $ { 0.155 3% } $\ \rm Np$
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
-{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz $f 4/(2 \pi)$.
+{Berechnen Sie gemäß der beschriebenen Vorgehensweise den Phasenwert bei der Frequenz &nbsp;$f = 4/(2 \pi)$.
 |type="{}"}
 $b(f = 2/ \pi)\ = \ $ { -19.3--18.3 } $\ \rm Grad$