Aufgaben:Aufgabe 3.4: Charakteristische Funktion - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Januar 2022 um 15:47 Uhr

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:34:57Z

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Guenter am 10. März 2017 um 09:50 Uhr

2017-03-10T09:50:35Z

Guenter am 10. März 2017 um 09:32 Uhr

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 *Über die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; ist nichts weiter bekannt: &nbsp; Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; besitzen.&nbsp; Der Mittelwert ist allgemein gleich&nbsp; $m_x$.
-*Die kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp;  kann nur Werte im Bereich zwischen&nbsp; $1$&nbsp; bis&nbsp; $3$&nbsp;  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $$m_y = 2.$$
+*Die kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp;  kann nur Werte im Bereich zwischen&nbsp; $1$&nbsp; bis&nbsp; $3$&nbsp;  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $m_y = 2.$
 *Die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; besitzt die folgende charakteristische Funktion:
 :$$C_z ({\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 *Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]]&nbsp; Bezug genommen.
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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
 * $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist nicht die Fouriertransformierte zu&nbsp; $f_x(x)$,&nbsp; sondern die Fourierrücktransformierte:
-:$$C_x( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
+:$$C_x( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
 *Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade.&nbsp; Für&nbsp; ${\it \Omega}  = 0$&nbsp;  gilt:
 :$$C_x( {\it \Omega}  = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
-*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: &nbsp; Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x \in  \{-1, +3\}$&nbsp; mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $0.75$&nbsp; und&nbsp; $0.25$&nbsp; ist zwar mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
+*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: &nbsp; Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x \in  \{-1, +3\}$&nbsp; mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $0.75$&nbsp; und&nbsp; $0.25$&nbsp; ist zwar mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$,&nbsp; besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
-:$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y   = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
+:$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega\hspace{0.01cm}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y   = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\Omega\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
 *Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
-:$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
+:$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} =  = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{\it \Omega } } .$$
 *Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
-:$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
+:$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega } } = {\rm si} ( {\it \Omega }  ) \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\it \Omega } }.$$
 *Für&nbsp; ${\it \Omega}  = \pi/2$&nbsp; erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
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 '''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass&nbsp; ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$&nbsp; auf eine zwischen&nbsp; $\pm 3$&nbsp; gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und&nbsp; ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$&nbsp; die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen&nbsp; $\pm 2$&nbsp; angibt.
+[[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|right|frame|Konstruktion der Trapez-WDF]]
-*In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF&nbsp; $f_z(z)$&nbsp; die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
+*In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft.
-[[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|center|frame|Konstruktion der Trapez-WDF]]
+*Damit ist die resultierende WDF&nbsp; $f_z(z)$&nbsp; die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen.
 *Die drei WDF-Parameter lauten somit:
 :$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5},

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 *Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]]&nbsp; Bezug genommen.
 *Die charakteristische Funktion einer zwischen&nbsp; $\pm a$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; lautet:
 :$$C_z ( {\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a  {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$
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 + Der Realteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine gerade Funktion in&nbsp; ${\it \Omega}$.
 + Der Imaginärteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine ungerade Funktion in&nbsp;  ${\it \Omega}$.
-+ Der Wert an der Stelle&nbsp; ${\it \Omega} = 0$&nbsp; ist stets&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
++ Der Wert an der Stelle&nbsp; ${\it \Omega} = 0$&nbsp; ist stets&nbsp; $C_x ( {\it \Omega}=0 ) = 1$.
 - Bei mittelwertfreier Zufallsgröße&nbsp; $(m_x = 0)$&nbsp; ist&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; stets reell.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
-* $C_x ( {\it \Omega} )$ ist nicht die Fouriertransformierte zu $f_x(x)$, sondern die Fourierrücktransformierte:
+* $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist nicht die Fouriertransformierte zu&nbsp; $f_x(x)$,&nbsp; sondern die Fourierrücktransformierte:
 :$$C_x( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
-*Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega}  = 0$  gilt:
+*Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade.&nbsp; Für&nbsp; ${\it \Omega}  = 0$&nbsp;  gilt:
 :$$C_x( {\it \Omega}  = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
-*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: &nbsp; Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in  \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
+*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: &nbsp; Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x \in  \{-1, +3\}$&nbsp; mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $0.75$&nbsp; und&nbsp; $0.25$&nbsp; ist zwar mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
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 :$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y   = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
-Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
+*Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
 :$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
-Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
-Für ${\it \Omega}  = \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
+*Für&nbsp; ${\it \Omega}  = \pi/2$&nbsp; erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
 :$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}}  =  - \frac{2}{{\rm{\pi }}}
 \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm}
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-'''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt.
+'''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass&nbsp; ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$&nbsp; auf eine zwischen&nbsp; $\pm 3$&nbsp; gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und&nbsp; ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$&nbsp; die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen&nbsp; $\pm 2$&nbsp; angibt.
-In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
+*In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF&nbsp; $f_z(z)$&nbsp; die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
 [[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|center|frame|Konstruktion der Trapez-WDF]]
-:Die drei WDF-Parameter lauten somit:
+*Die drei WDF-Parameter lauten somit:
 :$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5},
 \quad c = 1/6 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.167}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID619__Sto_A_3_4.png|right|frame|Rechteck&ndash; und Trapez&ndash;WDF]]
+[[Datei:P_ID619__Sto_A_3_4.png|right|frame|Rechteck&ndash;WDF und Trapez&ndash;WDF]]
-Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen $x$, $y$ und $z$ durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:
+Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen&nbsp; $x$,&nbsp; $y$&nbsp; und&nbsp; $z$&nbsp;, meist durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:
-*Über die Zufallsgröße $x$ ist nichts weiter bekannt: &nbsp; Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF $f_x(x)$ besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich $m_x$.
+*Über die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; ist nichts weiter bekannt: &nbsp; Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; besitzen.&nbsp; Der Mittelwert ist allgemein gleich&nbsp; $m_x$.
-*Die Zufallsgröße $y$  kann nur Werte im Bereich zwischen $1$ bis $3$  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Der Mittelwert ist :$$m_y = 2.$$
+*Die kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp;  kann nur Werte im Bereich zwischen&nbsp; $1$&nbsp; bis&nbsp; $3$&nbsp;  mit  gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $$m_y = 2.$$
-*Die Zufallsgröße $z$ besitzt die folgende charakteristische Funktion:
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; besitzt die folgende charakteristische Funktion:
 :$$C_z ({\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
-:Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF $f_z(z)$ entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter $a$, $b$ und $c$ dieser WDF.
+:Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF&nbsp; $f_z(z)$&nbsp; entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt.&nbsp; Zu bestimmen sind die WDF-Parameter&nbsp; $a$,&nbsp; $b$&nbsp; und&nbsp; $c$&nbsp; dieser WDF.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
-*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]] Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]]&nbsp; Bezug genommen.
-*Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z$ lautet:
+*Die charakteristische Funktion einer zwischen&nbsp; $\pm a$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; lautet:
 :$$C_z ( {\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a  {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen sind bezüglich der charakteristischen Funktion $C_x ( {\it \Omega} )$ stets &ndash; also bei beliebiger WDF &ndash; gültig?
+{Welche Aussagen sind bezüglich der charakteristischen Funktion&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; stets &ndash; also bei beliebiger WDF &ndash; gültig?
 |type="[]"}
-- $C_x ( {\it \Omega} )$ ist die Fouriertransformierte von $f_x(x)$.
+- $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist die Fouriertransformierte von&nbsp; $f_x(x)$.
-+ Der Realteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine gerade Funktion in ${\it \Omega}$.
++ Der Realteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine gerade Funktion in&nbsp; ${\it \Omega}$.
-+ Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in  ${\it \Omega}$.
++ Der Imaginärteil von&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; ist eine ungerade Funktion in&nbsp;  ${\it \Omega}$.
-+ Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
++ Der Wert an der Stelle&nbsp; ${\it \Omega} = 0$&nbsp; ist stets&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
-- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße $(m_x = 0)$ ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.
+- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße&nbsp; $(m_x = 0)$&nbsp; ist&nbsp; $C_x ( {\it \Omega} )$&nbsp; stets reell.
-{Berechnen Sie die charakteristische Funktion $C_y( {\it \Omega} )$. Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei ${\it \Omega}  = \pi/2$?
+{Berechnen Sie die charakteristische Funktion&nbsp; $C_y( {\it \Omega} )$.&nbsp; Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei&nbsp; ${\it \Omega}  = \pi/2$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)\big] \ = \ $   { -0.657--0.617 }
@@ Zeile 43: / Zeile 45: @@
-{Bestimmen Sie die Kenngrößen $a$, $b$ und $c$ der WDF $f_z(z)$.
+{Bestimmen Sie die Kenngrößen&nbsp; $a$,&nbsp; $b$&nbsp; und&nbsp; $c$&nbsp; der WDF&nbsp; $f_z(z)$.
 |type="{}"}
 $a \ =  \ $ { 1 3% }

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 + Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in  ${\it \Omega}$.
 + Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
-- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße ($m_x = 0$) ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.
+- Bei mittelwertfreier Zufallsgröße $(m_x = 0)$ ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 *Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega}  = 0$  gilt:
 :$$C_x( {\it \Omega}  = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
-*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in </i> \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei ($m_x = 0$), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
+*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: &nbsp; Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in  \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei $(m_x = 0)$, besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
-$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y   = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
+:$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y   = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
 Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
-$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
+:$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
 Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
-$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
+:$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
 Für ${\it \Omega}  = \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
-$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}}  =  - \frac{2}{{\rm{\pi }}}
+:$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}}  =  - \frac{2}{{\rm{\pi }}}
 \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm}
 {\rm Im}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}  .$$
-'''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
-[[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|center|Konstruktion der Trapez-WDF]]
+'''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(2 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt.
 :Die drei WDF-Parameter lauten somit:
 :$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5},

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
-{Berechnen Sie die charakteristische Funktion $C_y( {\it \Omega} )$. Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei ${\it \Omega} }\pi/2$?
+{Berechnen Sie die charakteristische Funktion $C_y( {\it \Omega} )$. Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei ${\it \Omega}  = \pi/2$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)] \ = $   { -0.657--0.617 }