Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls - Versionsgeschichte

Guenter am 23. April 2021 um 10:37 Uhr

2021-04-23T10:37:42Z

Guenter am 26. September 2019 um 09:59 Uhr

2019-09-26T09:59:24Z

Guenter am 26. September 2019 um 09:52 Uhr

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Guenter am 23. Juli 2018 um 15:57 Uhr

2018-07-23T15:57:24Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 15:52 Uhr

2018-07-23T15:52:37Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 09:47 Uhr

2018-01-16T09:47:18Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 09:41 Uhr

2018-01-16T09:41:01Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.3Z Rechteck- und Diracimpuls nach Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls

2018-01-01T17:19:16Z

Guenter verschob die Seite 3.3Z Rechteck- und Diracimpuls nach Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls

Guenter am 17. Januar 2017 um 12:15 Uhr

2017-01-17T12:15:38Z

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 [[Datei:P_ID507__Sig_Z_3_3.png|right|frame|Verschiedene Rechteckimpulse]]
-Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen&nbsp; $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
+Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen&nbsp; $x_k(t)$.&nbsp; Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
 :$$A_k  = k \cdot A$$
 und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier  interaktiver Applets überprüfen.&nbsp;
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-{Es gelte&nbsp; $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz&nbsp; $f_{10}$&nbsp; der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$.
+{Es gelte&nbsp; $k = 10$.&nbsp; Berechnen Sie die Frequenz&nbsp; $f_{10}$&nbsp; der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$.
 |type="{}"}
 $f_{10} \ = \ ${ 20 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
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-{Wie groß wird der Spektralwert&nbsp; bei $f = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; im Grenzfall&nbsp; $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß wird der Spektralwert&nbsp; bei $f = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; im Grenzfall&nbsp; $k \rightarrow \infty$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]] stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
+*Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]&nbsp; stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
 :$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm}  {\rm d}t.$$
-*Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
+*Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets&nbsp; $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
-*Wegen $T_1 = 500 \,&micro;\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf.
+*Wegen&nbsp; $T_1 = 500 \,&micro;\text{s}$&nbsp; weist das Spektrum&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; auf.
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert.
+*Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; nicht verändert.
-*Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$ auf.
+*Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand&nbsp; $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$&nbsp; auf.
-'''(3)'''&nbsp;  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
+'''(3)'''&nbsp;  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
 :$$X_{10} ( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
-Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18^{\circ}$):
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$ ist&nbsp; das Argument der&nbsp; $\rm si$-Funktion gleich&nbsp; $\pi/10$&nbsp; $($oder&nbsp; $18^{\circ})$:
 :$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-'''(4)'''&nbsp;  Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]] in den [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]] über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.
+&nbsp;
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID507__Sig_Z_3_3.png|right|frame|Verschiedene Rechteckimpulse]]
-Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
+Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen&nbsp; $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
 :$$A_k  = k \cdot A$$
 und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
 :$$T_k = T/k.$$
-Hierbei sei $k$ ein beliebiger positiver Wert.
+Hierbei sei&nbsp; $k$&nbsp; ein beliebiger positiver Wert.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_1(f)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Der Spektralwert $X_1(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
++ Der Spektralwert&nbsp; $X_1(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
-+ $X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \,\text{kHz}$.
++ $X_1(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $2 \,\text{kHz}$.
-- $X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \,\text{kHz}$.
+- $X_1(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $4 \,\text{kHz}$.
-{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_2(f)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Der Spektralwert $X_2(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
++ Der Spektralwert&nbsp; $X_2(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
-- $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2\, \text{kHz}$.
+- $X_2(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $2\, \text{kHz}$.
-+ $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \,\text{kHz}$.
++ $X_2(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $4 \,\text{kHz}$.
-{Es gelte $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz $f_{10}$ der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei $f = 2 \,\text{kHz}$.
+{Es gelte&nbsp; $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz&nbsp; $f_{10}$&nbsp; der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$.
 |type="{}"}
 $f_{10} \ = \ ${ 20 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
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-{Wie groß wird der Spektralwert bei $f = 2 \,\text{kHz}$ im Grenzfall $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß wird der Spektralwert&nbsp; bei $f = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; im Grenzfall&nbsp; $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 :$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm}  {\rm d}t.$$
 *Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
-*Wegen $T_1 = 500 \,\mu\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf.
+*Wegen $T_1 = 500 \,&micro;\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf.
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 '''(3)'''&nbsp;  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
 :$$X_{10} ( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
-Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der si-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18^{\circ}$):
+Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18^{\circ}$):
 :$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-'''(4)'''&nbsp;  Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]] in den [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]] über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\underline{=1 \text{mV/Hz}}$.
+'''(4)'''&nbsp;  Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]] in den [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]] über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.
 {{ML-Fuß}}

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 Hierbei sei $k$ ein beliebiger positiver Wert.
-*Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$ und die Dauer $T_1 = {T} = 500 \,\mu\text{s}$.
+*Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$ und die Dauer $T_1 = {T} = 500 \,&micro;\text{s}$.
-*Der blau gezeichnete Impuls $x_2(t)$ ist halb so breit &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_2 =250 \,\mu\text{s}$, aber doppelt so hoch &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_2 = 4 \text{V}$.
+*Der blau gezeichnete Impuls $x_2(t)$ ist halb so breit &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_2 =250 \,&micro;\text{s}$, aber doppelt so hoch &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_2 = 4 \text{ V}$.