Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Juni 2022 um 12:54 Uhr

2022-06-19T12:54:12Z

Guenter am 19. Juni 2022 um 12:48 Uhr

2022-06-19T12:48:26Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:04Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 19. Februar 2019 um 16:29 Uhr

2019-02-19T16:29:01Z

Guenter am 19. Februar 2019 um 16:23 Uhr

2019-02-19T16:23:58Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:27:26Z

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2017-10-29T15:37:12Z

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2017-10-28T14:56:56Z

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Guenter am 28. Oktober 2017 um 14:53 Uhr

2017-10-28T14:53:56Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren:
+'''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es,&nbsp; den Quotienten&nbsp; $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$&nbsp; zu maximieren:
-*Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$&nbsp; mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal.
+*Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$&nbsp; mit &nbsp; $0.735/0.197 \approx 3.73$ &nbsp; maximal.
-*Zum Vergleich: &nbsp; Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.3$&nbsp; ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.5$&nbsp; ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
+*Zum Vergleich: &nbsp; Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.3$&nbsp; ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung&nbsp; $0.192/0.094 \approx 2.04$.&nbsp;
-*Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert, ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.
+*Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.5$&nbsp; ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: &nbsp; $1.159/0.379 \approx 3.05$.
-'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erhält man weiter:
+'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man weiter:
 :$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm
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-'''(3)'''&nbsp;
+'''(3)'''&nbsp; Mit dem gegebenen&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$,&nbsp; also&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$&nbsp; hat sich der ungünstigste Störabstand&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$&nbsp; ergeben.
 *Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein.
-*Dies erreicht man, indem man den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend erhöht:
+*Dies erreicht man,&nbsp; indem man den Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend&nbsp; erhöht:
 :$$10 \cdot {\rm
 lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB}

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 Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:
 * Die Sendeimpulse sind NRZ&ndash;rechteckförmig und besitzen die Energie &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
 * Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 40 \, {\rm dB}$.
 * Es liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$&nbsp; vor.
 * Der Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer &nbsp;$H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$&nbsp; und einen Gaußtiefpass &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; mit Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; zur Rauschleistungsbegrenzung.
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    \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
-*Diese Größe stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; dar: &nbsp;  $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
+*Diese Größe ist eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;  $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
 *Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T &#8805; 0.4$&nbsp; kann auch eine untere Schranke angegeben werden: &nbsp;  $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.
 * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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 $\hspace{4.07cm}p_{\rm U}  \  = \ $ { 3.1 3% } $\ \rm \%$
-{Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; (bezogen auf die Signalenergie) verringern, damit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; nicht größer ist als &nbsp;$10^{\rm -6}$?
+{Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; $($bezogen auf die Signalenergie$)$&nbsp; verringern,&nbsp; damit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; nicht größer ist als &nbsp;$10^{\rm -6}$?
 |type="{}"}
 $N_0/E_{\rm B} \  = \ $ { 1.53 3% } $\ \cdot 10^{\rm -5}$
-{Geben Sie für den unter '''(3)''' getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; an.
+{Geben Sie für den unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \  = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
-* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren:
-*Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$ mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal.
+*Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$&nbsp; mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal.
-*Zum Vergleich: Für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
+*Zum Vergleich: &nbsp; Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.3$&nbsp; ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.5$&nbsp; ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
 *Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert, ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.
-'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man weiter:
+'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erhält man weiter:
 :$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm

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 [[Datei:P_ID1409__Dig_Z_3_3.png|right|frame|Normierte Systemgrößen für verschiedene Grenzfrequenzen]]
 Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:
-* Die Sendeimpulse sind NRZ&ndash;rechteckförmig und besitzen die Energie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
+* Die Sendeimpulse sind NRZ&ndash;rechteckförmig und besitzen die Energie &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
-* Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
+* Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 40 \, {\rm dB}$.
-* Es liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$ vor.
+* Es liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$&nbsp; vor.
-* Der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zur Rauschleistungsbegrenzung.
+* Der Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer &nbsp;$H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$&nbsp; und einen Gaußtiefpass &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; mit Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; zur Rauschleistungsbegrenzung.
-Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm d}$ &ndash; jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ &ndash; für verschiedene Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:
+Die Tabelle zeigt die Augenöffnung &nbsp;$\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; sowie den Detektionsrauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_{\rm d}$&nbsp; &ndash; jeweils normiert auf die Sendeamplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; &ndash; für verschiedene Grenzfrequenzen &nbsp;$f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:
 :$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}
    \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
-*Diese stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ dar: &nbsp;  $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
+*Diese Größe stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; dar: &nbsp;  $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
-*Für $f_{\rm G} \cdot T &#8805; 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden: &nbsp;  $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.
+*Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T &#8805; 0.4$&nbsp; kann auch eine untere Schranke angegeben werden: &nbsp;  $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
-* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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 $\hspace{4.07cm}p_{\rm U}  \  = \ $ { 3.1 3% } $\ \rm \%$
-{Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte $N_0$ (bezogen auf die Signalenergie) verringern, damit $p_{\rm U}$ nicht größer ist als $10^{\rm -6}$?
+{Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; (bezogen auf die Signalenergie) verringern, damit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; nicht größer ist als &nbsp;$10^{\rm -6}$?
 |type="{}"}
 $N_0/E_{\rm B} \  = \ $ { 1.53 3% } $\ \cdot 10^{\rm -5}$
-{Geben Sie für den unter (3) getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ an.
+{Geben Sie für den unter '''(3)''' getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \  = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:27 Uhr
(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren. Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt} \cdot T = \underline {= 0.4}$ mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal. Zum Vergleich: Für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
+'''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren:
-'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus 1) erhält man weiter:
+'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man weiter:
 :$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm
-lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}$$
+lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q}\left (
 {3.73}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.031} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit dem gegebenen $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$, also $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$ hat sich der ungünstigste Störabstand zu $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$ ergeben. Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein. Dies erreicht man, indem man den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend erhöht:
+'''(3)'''&nbsp;
 :$$10 \cdot {\rm
 lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB}
 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}13.55\,{\rm dB}
-\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}$$
+\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow
+\Rightarrow
 \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{4.814}\approx 65163
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {N_0}/{E_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {  =
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-'''(4)'''&nbsp; Die obere Schranke für $p_{\rm S}$ ist gleich der ungünstigsten Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = \underline {10^{\rm -6}}$. Die untere Schranke liegt bei $\underline {0.25 \cdot 10^{\rm -6}}$, ist also um den Faktor 4 kleiner.
+'''(4)'''&nbsp;
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.3 Kanalverzerrungen und Entzerrung^]]