Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Momente bei Dreieck-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Januar 2022 um 15:00 Uhr

2022-01-05T15:00:19Z

Guenter am 5. Januar 2022 um 14:51 Uhr

2022-01-05T14:51:48Z

Guenter am 15. November 2019 um 16:16 Uhr

2019-11-15T16:16:57Z

Guenter am 15. November 2019 um 15:39 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 15:01 Uhr

2019-11-15T15:01:01Z

Guenter am 15. November 2019 um 14:56 Uhr

2019-11-15T14:56:37Z

Guenter am 8. August 2018 um 13:42 Uhr

2018-08-08T13:42:25Z

Guenter am 8. August 2018 um 13:24 Uhr

2018-08-08T13:24:45Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:34:34Z

Guenter verschob die Seite 3.3Z Momente bei Dreieck-WDF nach Aufgabe 3.3Z: Momente bei Dreieck-WDF

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente|Einige häufig benutzte Zentralmomente]].
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-'''(2)'''&nbsp; Der quadratische Mittelwert&nbsp; $(k= 2)$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp; $m_2 = 8/3$.
+'''(2)'''&nbsp; Der quadratische Mittelwert&nbsp; $(k= 2)$&nbsp; betr&auml;gt &nbsp; $m_2 = 8/3$.
-*Daraus folgt mit dem <i>Satz von Steiner</i>:
+*Daraus folgt mit dem Satz von Steiner:
 :$$\sigma_x^{\rm 2}={8}/{3}-({4}/{3})^2=\rm {8}/{9}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \sigma_x\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.943}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit &nbsp;$m_1 = 4/3$, &nbsp;$m_2 = 8/3$&nbsp; und &nbsp;$m_3 = 32/5$&nbsp; erh&auml;lt man mit der angegebenen Gleichung für das Zentralmoment dritter Ordnung: &nbsp; $\mu_3 = 64/135  \approx 0.474$.
+'''(3)'''&nbsp; Mit &nbsp;$m_1 = 4/3$, &nbsp;$m_2 = 8/3$&nbsp; und &nbsp;$m_3 = 32/5$&nbsp; erh&auml;lt man mit der angegebenen Gleichung für das Zentralmoment dritter Ordnung: &nbsp;
-*Daraus folgt f&uuml;r die&nbsp; <i>Charliersche Schiefe</i>:
+:$$\mu_3 = 64/135  \approx 0.474.$$
 :$$S_x=\rm \frac{64/135}{\Big(\sqrt {8/9}\Big)^3}=\frac{\sqrt{8}}{5}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.566}.$$
-*Aufgrund der unsymmetrischen WDF ist $S_x \ne 0$.
+*Aufgrund der unsymmetrischen WDF ist&nbsp; $S_x \ne 0$.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
-*Bei symmetrischer WDF sind alle ungeraden Momente Null, unter anderem auch der Mittelwert&nbsp; $m_y$.
+*Bei symmetrischer WDF sind alle ungeraden Momente Null,&nbsp; unter anderem auch der Mittelwert&nbsp; $m_y$.
 *Deshalb gibt es hinsichtlich der Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp; keinen Unterschied zwischen den Momenten&nbsp; $m_k$&nbsp; und den Zentralmomenten&nbsp; $\mu_k$.
-*Die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; gleich. Offensichtlich wird dies an den Zeitmittelwerten.
+*Die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; gleich.&nbsp; Offensichtlich wird dies an den Zeitmittelwerten:
-*Da&nbsp; $x^2(t) = y^2(t)$, sind f&uuml;r&nbsp; $k = 2n$&nbsp; auch die Momente gleich:
+*Da&nbsp; $x^2(t) = y^2(t)$,&nbsp; sind f&uuml;r&nbsp; $k = 2n$&nbsp; auch die Momente gleich:
 :$$m_k=m_{2 n}=\ \text{...}\int [x^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} x=\ \text{...}\int [y^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} y.$$
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 :$$K_y=\frac{\mu_{\rm 4}}{\sigma_y^{\rm 4}}=\rm \frac{256/15}{(8/3)^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.4}.$$
-::''Hinweis:'' &nbsp; Dieser Zahlenwert gilt f&uuml;r die Dreieck-WDF allgemein und liegt zwischen den Kurtosiswerten von Gleichverteilung&nbsp; $(K = 1.8)$&nbsp; und Gau&szlig;verteilung&nbsp; $(K = 3)$. Dies ist eine quantitative Bewertung der Tatsache, dass hier
+::Hinweis: &nbsp; Dieser Zahlenwert gilt f&uuml;r die Dreieck-WDF allgemein und liegt zwischen den Kurtosiswerten von Gleichverteilung&nbsp; $(K = 1.8)$&nbsp; und Gau&szlig;verteilung&nbsp; $(K = 3)$.&nbsp; Dies ist eine quantitative Bewertung der Tatsache,&nbsp; dass hier
 ::*die Ausl&auml;ufer ausgepr&auml;gter sind als bei einer gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e,
 ::*aber aufgrund der Begrenzung weniger stark als bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en.
-Anschließend soll noch nachgewiesen werden, dass auch die unsymmetrische Dreieck-WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze auf dem Angabenblatt die gleiche Kurtosis besitzt:
+*Anschließend soll noch nachgewiesen werden,&nbsp; dass auch die unsymmetrische Dreieck-WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze auf dem Angabenblatt die gleiche Kurtosis besitzt:
 :$$\mu_{ 4} = m_{\rm 4}- 4\cdot m_{\rm 3}\cdot  m_{\rm 1}+ 6\cdot  m_{\rm 2}\cdot m_{\rm 1}^{\rm 2}- 3\cdot  m_{\rm 1}^{\rm 4}= \frac{256}{15} - 4 \cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{4}{3} + 6 \cdot \frac{8}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 -3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4 =\frac{256}{15 \cdot 9}$$

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 [[Datei:P_ID142__Sto_Z_3_3.png|right|frame|Zweimal dreieckförmige WDF]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; mit jeweils dreieckförmiger WDF,&nbsp; nämlich
 * die einseitige Dreieck-WDF gemäß der oberen Grafik:

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 ::*aber aufgrund der Begrenzung weniger stark als bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en.
+Anschließend soll noch nachgewiesen werden, dass auch die unsymmetrische Dreieck-WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze auf dem Angabenblatt die gleiche Kurtosis besitzt:
 :$$\mu_{ 4} = m_{\rm 4}- 4\cdot m_{\rm 3}\cdot  m_{\rm 1}+ 6\cdot  m_{\rm 2}\cdot m_{\rm 1}^{\rm 2}- 3\cdot  m_{\rm 1}^{\rm 4}= \frac{256}{15} - 4 \cdot \frac{32}{5}\cdot \frac{4}{3} + 6 \cdot \frac{8}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 -3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^4 =\frac{256}{15 \cdot 9}$$
-Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma_x^2 = 8/9$ folgt daraus:
+*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma_x^2 = 8/9$&nbsp; folgt daraus:
 :$$  K_x =  \frac{{256}/(15 \cdot 9)}{8/9 \cdot 8/9} = 2.4.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; F&uuml;r das Moment $k$&ndash;ter Ordnung der Zufallsgröße $x$ gilt:
+'''(1)'''&nbsp; F&uuml;r das Moment&nbsp; $k$&ndash;ter Ordnung der Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; gilt:
 :$$m_k=1/2\cdot  \int_{\rm 0}^{\rm 4} x^k\cdot ( 1-\frac{\it x}{\rm 4}) \hspace{0.1cm}{\rm d}x.$$
-Dies f&uuml;hrt zu dem Ergebnis:
+*Dies f&uuml;hrt zu dem Ergebnis:
 :$$m_k=\frac{x^{ k+ 1}}{ 2\cdot ( k+ 1)}\Bigg|_{\rm 0}^{\rm 4}-\frac{x^{ k+2}}{8\cdot ( k+2)}\Bigg|_{\rm 0}^{\rm 4}=\frac{\rm 2\cdot \rm 4^{\it k}}{(\it k\rm +1)\cdot (\it k\rm + 2)}.$$
-Daraus erh&auml;lt man f&uuml;r den linearen Mittelwert $(k= 1)$:
+*Daraus erh&auml;lt man f&uuml;r den linearen Mittelwert&nbsp; $(k= 1)$:
 :$$m_x=\rm {4}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der quadratische Mittelwert $(k= 2)$ betr&auml;gt $m_2 = 8/3$. Daraus folgt mit dem <i>Satz von Steiner</i>:
 :$$\sigma_x^{\rm 2}={8}/{3}-({4}/{3})^2=\rm {8}/{9}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} \sigma_x\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.943}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit &nbsp;$m_1 = 4/3$, &nbsp;$m_2 = 8/3$ und &nbsp;$m_3 = 32/5$ erh&auml;lt man mit der angegebenen Gleichung für das Zentralmoment dritter Ordnung: &nbsp; $\mu_3 = 64/135  \approx 0.474$. <br>Daraus folgt f&uuml;r die <i>Charliersche Schiefe</i>:
 :$$S_x=\rm \frac{64/135}{\Big(\sqrt {8/9}\Big)^3}=\frac{\sqrt{8}}{5}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.566}.$$
-Aufgrund der unsymmetrischen WDF ist $S_x \ne 0$.
+*Aufgrund der unsymmetrischen WDF ist $S_x \ne 0$.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
-*Bei symmetrischer WDF sind alle ungeraden Momente Null, unter anderem auch der Mittelwert $m_y$.
+*Bei symmetrischer WDF sind alle ungeraden Momente Null, unter anderem auch der Mittelwert&nbsp; $m_y$.
-*Deshalb gibt es hinsichtlich der Zufallsgröße $y$ keinen Unterschied zwischen den Momenten $m_k$ und den Zentralmomenten $\mu_k$.
+*Deshalb gibt es hinsichtlich der Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp; keinen Unterschied zwischen den Momenten&nbsp; $m_k$&nbsp; und den Zentralmomenten&nbsp; $\mu_k$.
-*Die Momente $m_k$ mit geradzahligem $k$ sind f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ gleich. Offensichtlich wird dies an den Zeitmittelwerten.
+*Die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; gleich. Offensichtlich wird dies an den Zeitmittelwerten.
-*Da $x^2(t) = y^2(t)$, sind f&uuml;r $k = 2n$ auch die Momente gleich:
+*Da&nbsp; $x^2(t) = y^2(t)$, sind f&uuml;r&nbsp; $k = 2n$&nbsp; auch die Momente gleich:
 :$$m_k=m_{2 n}=\ \text{...}\int [x^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} x=\ \text{...}\int [y^2(t)]^n \hspace{0.1cm}{\rm d} y.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' gilt:
 :$$m_2=\mu_{\rm 2}=\sigma_y^2=\rm {8}/{3} = 2.667\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_y\hspace{0.15cm}\underline{=1.633}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Zentralmoment vierter Ordnung ist bei symmetrischer WDF gleich dem Moment $m_4$. <br>Aus der in Teilaufgabe '''(1)''' berechneten allgemeinen Gleichung erh&auml;lt man $\mu_4 = 256/15.$ Daraus folgt f&uuml;r die Kurtosis:
+'''(6)'''&nbsp; Das Zentralmoment vierter Ordnung ist bei symmetrischer WDF gleich dem Moment&nbsp; $m_4$.
 :$$K_y=\frac{\mu_{\rm 4}}{\sigma_y^{\rm 4}}=\rm \frac{256/15}{(8/3)^2}\hspace{0.15cm}\underline{=2.4}.$$
-''Hinweis:'' &nbsp; Dieser Zahlenwert gilt f&uuml;r die Dreieck-WDF allgemein und liegt zwischen den Kurtosiswerten von Gleichverteilung $(K = 1.8)$ und Gau&szlig;verteilung $(K = 3)$. Dies ist eine quantitative Bewertung der Tatsache, dass hier
+::''Hinweis:'' &nbsp; Dieser Zahlenwert gilt f&uuml;r die Dreieck-WDF allgemein und liegt zwischen den Kurtosiswerten von Gleichverteilung&nbsp; $(K = 1.8)$&nbsp; und Gau&szlig;verteilung&nbsp; $(K = 3)$. Dies ist eine quantitative Bewertung der Tatsache, dass hier
-*die Ausl&auml;ufer ausgepr&auml;gter sind als bei einer gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e,
+::*die Ausl&auml;ufer ausgepr&auml;gter sind als bei einer gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e,
-*aber aufgrund der Begrenzung weniger stark als bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en.
+::*aber aufgrund der Begrenzung weniger stark als bei Gau&szlig;schen Gr&ouml;&szlig;en.

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 <quiz display=simple>
-{ Berechnen Sie aus der vorliegenden WDF $f_x(x)$ das Moment $k$-ter Ordnung. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den linearen Mittelwert  $m_x = m_1$?
+{ Berechnen Sie aus der vorliegenden WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; das Moment&nbsp; $k$-ter Ordnung. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den linearen Mittelwert&nbsp;  $m_x = m_1$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $  { 1.333 3% }
-{Wie gro&szlig; sind der quadratische Mittelwert und die Streuung $\sigma_x$ der Zufallsgröße $x$?
+{Wie gro&szlig; sind der quadratische Mittelwert und die Streuung&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $x$?
 |type="{}"}
 $\sigma_x\ = \ $ { 0.943 3% }
-{Wie groß ist bei der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ die Charliersche Schiefe $S_x = \mu_3/\sigma_x^3$? &nbsp; Warum ist $S_x \ne 0$?
+{Wie groß ist bei der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; die Charliersche Schiefe&nbsp; $S_x = \mu_3/\sigma_x^3$? &nbsp; Warum ist&nbsp; $S_x \ne 0$?
 |type="{}"}
 $S_x \ = \ $ { 0.566 3% }
-{Welche Aussagen treffen f&uuml;r die symmetrisch verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ zu?
+{Welche Aussagen treffen f&uuml;r die symmetrisch verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Alle Momente mit ungeradzahligem $k$&nbsp; sind $m_k =0$.
++ Alle Momente mit ungeradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind&nbsp; $m_k =0$.
-- Alle Momente mit geradzahligem $k$&nbsp; sind $m_k =0$.
+- Alle Momente mit geradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind&nbsp; $m_k =0$.
-+ Alle Momente $m_k$&nbsp; mit geradzahligem $k$&nbsp; sind wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet.
++ Alle Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $k$&nbsp; sind wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet.
-+ Die Zentralmomente $\mu_k$ sind gleich den Momenten $m_k$.
++ Die Zentralmomente&nbsp; $\mu_k$&nbsp; sind gleich den nichtzentrierten Momenten&nbsp; $m_k$.
-{Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$.
+{Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.
 |type="{}"}
 $\sigma_y \ = \ $ { 1.633 3% }
-{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kurtosis $K_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? &nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kurtosis&nbsp; $K_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? &nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $K_y \ = \ $ { 2.4 3% }

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID142__Sto_Z_3_3.png|right|frame|Zweimal dreieckförmige WDF]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$ mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich
-* die einseitige Dreieck-WDFgemäß der oberen Grafik:
+* die einseitige Dreieck-WDF gemäß der oberen Grafik:
-:$$f_x(x)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}}  0.5 \cdot (1-{ x}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\rm 0 \le {\it x} \le  4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
+:$$f_x(x)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}}  0.5 \cdot (1-{ x}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 0 \le {\it x} \le  4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
 * die zweiseitige Dreieck-WDF gemäß der unteren Grafik:
-:$$ f_y(y)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.25 \cdot (1-{ |y|}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{ -4 \le {\it y}  \le \rm 4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
+:$$ f_y(y)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.25 \cdot (1-{ |y|}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{ -4 \le {\it y}  \le \rm 4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
 Berücksichtigen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Gleichung für die Zentralmomente:
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 Aus den Zentralmomenten höherer Ordnung kann man unter anderem ableiten:
-*die <i>Charliersche Schiefe</i> $S =  {\mu_3}/{\sigma^3}\hspace{0.05cm},$
+*die&nbsp; &bdquo;Charliersche Schiefe</i>&rdquo;&nbsp; $S =  {\mu_3}/{\sigma^3}\hspace{0.05cm},$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID142__Sto_Z_3_3.png|right|Dreieckförmige WDF]]
+[[Datei:P_ID142__Sto_Z_3_3.png|right|frame|Zweimal dreieckförmige WDF]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$ mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich die
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$ mit jeweils dreieckförmiger WDF, nämlich
-*einseitige Dreieck-WDFgemäß der oberen Grafik:
+* die einseitige Dreieck-WDFgemäß der oberen Grafik:
 :$$f_x(x)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}}  0.5 \cdot (1-{ x}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\rm 0 \le {\it x} \le  4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
-*zweiseitige Dreieck-WDF gemäß der unteren Grafik:
+* die zweiseitige Dreieck-WDF gemäß der unteren Grafik:
 :$$ f_y(y)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.25 \cdot (1-{ |y|}/{\rm 4}) & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{ -4 \le {\it y}  \le \rm 4},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
 Berücksichtigen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Gleichung für die Zentralmomente:
-$$\mu_k=\sum\limits_{\kappa = \rm 0}^{\it k}\left({k} \atop {\kappa}\right)\cdot m_k\cdot(-m_{\rm 1})^{k - \kappa}.$$
+:$$\mu_k=\sum\limits_{\kappa = \rm 0}^{\it k}\left({k} \atop {\kappa}\right)\cdot m_k\cdot(-m_{\rm 1})^{k - \kappa}.$$
 Im Einzelnen ergeben sich mit dieser Gleichung folgende Ergebnisse:
-$$\mu_{\rm 1}=0,\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 2}=\it m_{\rm 2}-\it m_{\rm 1}^{\rm 2},\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 3}=\it m_{\rm 3}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 2}\cdot \it m_{\rm 1} {\rm +}\rm 2\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 3},$$
+:$$\mu_{\rm 1}=0,\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 2}=\it m_{\rm 2}-\it m_{\rm 1}^{\rm 2},\hspace{0.5cm}\mu_{\rm 3}=\it m_{\rm 3}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 2}\cdot \it m_{\rm 1} {\rm +}\rm 2\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 3},$$
-$$\mu_{\rm 4}=\it m_{\rm 4}-\rm 4\cdot\it m_{\rm 3}\cdot \it m_{\rm 1}\rm +6\cdot\it m_{\rm 2}\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 2}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 4}.$$
+:$$\mu_{\rm 4}=\it m_{\rm 4}-\rm 4\cdot\it m_{\rm 3}\cdot \it m_{\rm 1}\rm +6\cdot\it m_{\rm 2}\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 2}-\rm 3\cdot\it m_{\rm 1}^{\rm 4}.$$
 Aus den Zentralmomenten höherer Ordnung kann man unter anderem ableiten:
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 *die <i>Kurtosis</i> $K =  {\mu_4}/{\sigma^4}\hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
 { Berechnen Sie aus der vorliegenden WDF $f_x(x)$ das Moment $k$-ter Ordnung. Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den linearen Mittelwert  $m_x = m_1$?
 |type="{}"}
-$m_x \ =$  { 1.333 3% }
+$m_x \ = \ $  { 1.333 3% }
 {Wie gro&szlig; sind der quadratische Mittelwert und die Streuung $\sigma_x$ der Zufallsgröße $x$?
 |type="{}"}
-$\sigma_x\ =$ { 0.943 3% }
+$\sigma_x\ = \ $ { 0.943 3% }
 {Wie groß ist bei der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ die Charliersche Schiefe $S_x = \mu_3/\sigma_x^3$? Warum ist $S_x \ne 0$?
 |type="{}"}
-$S_x \ =$ { 0.566 3% }
+$S_x \ = \ $ { 0.566 3% }
@@ Zeile 60: / Zeile 64: @@
 {Berechnen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$.
 |type="{}"}
-$\sigma_y \ =$ { 1.633 3% }
+$\sigma_y \ = \ $ { 1.633 3% }
 {Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kurtosis $K_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
-$K_y \ =$ { 2.4 3% }
+$K_y \ = \ $ { 2.4 3% }

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(kein Unterschied)