Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Faltung und D–Transformation - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Juni 2019 um 15:20 Uhr

2019-06-06T15:20:30Z

Guenter am 6. Juni 2019 um 15:12 Uhr

2019-06-06T15:12:19Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:35 Uhr

2018-01-20T15:35:32Z

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:22 Uhr

2018-01-20T15:22:37Z

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:15 Uhr

2018-01-20T15:15:49Z

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Guenter am 8. Januar 2018 um 09:49 Uhr

2018-01-08T09:49:22Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.3Z Faltung und D–Transformation nach Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Faltung und D–Transformation

2018-01-04T06:45:51Z

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 14:24 Uhr

2017-12-16T14:24:46Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$. Daraus folgt $g_2 \ \underline{= 0}$ und für die $D$&ndash;Transformierte der Impulsantwort:
+'''(1)'''&nbsp; Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$.
 :$$\underline{g} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1)   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {G}(D) = 1+ D \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Impulsantwort des betrachteten Filters ist $\underline{g} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. Für die Ausgangssequenz erhält man deshalb das Faltungsprodukt
 :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u}* \underline{g} =
 (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
@@ Zeile 112: / Zeile 115: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man über die $D$&ndash;Transformierten $U(D) = 1 + D^3$ und $G(D) = 1 + D$:
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man über die $D$&ndash;Transformierten $U(D) = 1 + D^3$ und $G(D) = 1 + D$:
 :$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = ( 1+D^3) \cdot (1+D) = 1 +D + D^3 +D^4
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+*Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
@@ Zeile 125: / Zeile 129: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Das Ergebnis entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Die folgende Berechnung soll den Weg im Zeitbereich veranschaulichen:
+*Das Ergebnis entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Die folgende Berechnung soll den Weg im Zeitbereich veranschaulichen:
 :$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
 (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 133: / Zeile 137: @@
 (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
-Da die Faltung eine lineare Operation ist, ergibt sich im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$ aus der Summation:
+*Da die Faltung eine lineare Operation ist, ergibt sich im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$ aus der Summation:
 :$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
 (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.08cm}=\hspace{0.08cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
-Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$ erhalten.
+*Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$ erhalten.
-'''(4)'''&nbsp; Die Musterlösung zur Teilaufgabe (3) lässt bereits vermuten, dass hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist. Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten bestätigt dieses Ergebnis:
+'''(4)'''&nbsp; Die Musterlösung zur Teilaufgabe '''(3)''' lässt bereits vermuten, dass hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist.
 :$$\underline{u} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm})  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {U}(D)= 1+ D + D^2+ D^3 + \text{...}\hspace{0.15cm}.$$
-Mit der für Berechnungen in ${\rm GF}(2)$ gültigen Gleichung
+*Mit der für Berechnungen in ${\rm GF}(2)$ gültigen Gleichung
 :$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D}$$
-erhält man weiter:
+:erhält man weiter:
 :$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = \frac{1}{1+D} \cdot (1+D) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm})
@@ Zeile 153: / Zeile 159: @@
 '''(5)'''&nbsp; Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten führt zum <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Für diese alternierende Folge $\underline{u}$, beginnend mit 1, erhält man:
 :$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \cdot (1+D)  + D^2 \cdot (1+D) + D^4 \cdot (1+D) + \text{...} = 1 + D + D^2 + D^3 + D^4 + D^5 +\hspace{0.05cm} ...
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 159: / Zeile 167: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen. Mit $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ erhält man dagegen $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \,\text{...})$. Diese unterscheidet sich von der &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo; nur im ersten Bit. Es ist dann $x_1 = 0$ statt $x_1 = 1$.
+*Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
-[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebenes Filter]]
+[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebene Filterstruktur]]
 In dieser Aufgabe beschreiben wir an einem einfachen Beispiel
-* die endliche <b>Impulsantwort</b> eines Filters:
+* die endliche&nbsp; <b>Impulsantwort</b> &nbsp;eines Filters:
 :$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_m \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_l \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
-* die <b>Eingangssequenz</b> des Filters:
+* die&nbsp; <b>Eingangssequenz</b>&nbsp; des Filters:
 :$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
-* die <b>Ausgangssequenz</b> des Filters:
+* die&nbsp; <b>Ausgangssequenz</b>&nbsp; des Filters:
 :$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}. $$
-Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen $\rm LNTwww$&ndash;Büchern bezeichnet oft $\underline{x}$ den Filtereingang, $\underline{y}$ den Filterausgang, und die Impulsantwort wird $h$ genannt.
+Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Büchern bezeichnet oft&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; den Filtereingang,&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; den Filterausgang, und die Impulsantwort wird&nbsp; $h$&nbsp; genannt.
-Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich| Faltung]] (englisch: <i>Convolution</i>):
+Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich| Faltung]]&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Convolution</i>&nbsp;):
 :$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$
-Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen $\underline{g}, \ \underline{u}$ und $\underline{x}$ durch Polynome in einer Dummy&ndash;Variablen $D$ und nennen diese die $D$&ndash;Transformierten:
+Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen&nbsp; $\underline{g}, \ \underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch Polynome in einer Dummy&ndash;Variablen&nbsp; $D$&nbsp; und nennen diese die&nbsp; $D$&ndash;Transformierten:
 :$$\underline{g}   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + \text{...} + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei wurde berücksichtigt, dass alle $u_j$ für $j < 0$ nicht existieren und zu $0$ gesetzt werden können.
+Hierbei wurde berücksichtigt, dass alle&nbsp; $u_j$&nbsp; für&nbsp; $j < 0$&nbsp; nicht existieren und zu Null gesetzt werden können.
-Beide Vorgehensweisen zur Berechnung der Ausgangssequenz $\underline{x}$, nämlich
+Beide Vorgehensweisen zur Berechnung der Ausgangssequenz&nbsp; $\underline{x}$, nämlich
 * über die Faltung
 * mit Hilfe der $D$&ndash;Transformation,
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 sollen für das oben skizzierte Digitale Filter demonstriert werden.
@@ Zeile 52: / Zeile 55: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]].
-* Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in $\rm GF(2)$:
+* Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in&nbsp; $\rm GF(2)$:
 :$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 68: / Zeile 71: @@
 $g_2 \ = \ ${ 0. }
-{Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
+{Die Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$&nbsp; sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
 |type="()"}
 - $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
@@ Zeile 75: / Zeile 78: @@
 - $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
-{Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
+{Die Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$&nbsp; sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
 |type="()"}
 - $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
@@ Zeile 82: / Zeile 85: @@
 - $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
-{Wie lautet die Ausgangssequenz für $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm}.)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
+{Wie lautet die Ausgangssequenz für&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm}.)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
 |type="()"}
 + $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
@@ Zeile 89: / Zeile 92: @@
 - $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
-{Für welchen Vektor $\underline{u}$ tritt am Ausgang die Folge $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ auf?
+{Für welchen Vektor&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; tritt am Ausgang die Folge&nbsp; $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$&nbsp; auf?
 |type="()"}
 - $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;

@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in $\rm GF(2)$:
 :$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$. Daraus folgt für die $D$&ndash;Transformierte der Impulsantwort:
+'''(1)'''&nbsp; Die beiden einzigen von $0$ verschiedenen Filterkoeffizienten sind $g_0 \ \underline{= 1}$ und $g_1 \ \underline{= 1}$. Daraus folgt $g_2 \ \underline{= 0}$ und für die $D$&ndash;Transformierte der Impulsantwort:
 :$$\underline{g} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1)   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {G}(D) = 1+ D \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die Impulsantwort des betrachteten Filters ist $\underline{g} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$. Für die Ausgangssequenz erhält man deshalb das Faltungsprodukt
+'''(2)'''&nbsp; Die Impulsantwort des betrachteten Filters ist $\underline{g} = (1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. Für die Ausgangssequenz erhält man deshalb das Faltungsprodukt
 :$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u}* \underline{g} =
 (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) =$$
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) =(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 114: / Zeile 113: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+Die Rücktransformation führt wieder zum Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
 '''(3)'''&nbsp; Hier verwenden wir sofort den Weg über die $D$&ndash;Transformierten:
-:$${X}(D) =  ( 1+D+D^2) \cdot (1+D) = 1 +D + D +D^2 +D^2 +D^3 = 1+ D^3$$
+:$${X}(D) =  ( 1+D+D^2) \cdot (1+D) = 1 +D + D +D^2 +D^2 +D^3 = 1+ D^3\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}  =
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}  =
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm})
   \hspace{0.05cm}.$$
 Das Ergebnis entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Die folgende Berechnung soll den Weg im Zeitbereich veranschaulichen:
-:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
+:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
 :$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm},$$
-:$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
+:$$(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) *
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
 Da die Faltung eine lineare Operation ist, ergibt sich im Galoisfeld ${\rm GF}(2)$ aus der Summation:
-:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) *
+:$$(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}) *
-(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})\hspace{0.08cm}=\hspace{0.08cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
+(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.08cm}=\hspace{0.08cm}(1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
-Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$ erhalten.
+Hätte man die Faltung nicht in ${\rm GF}(2)$, sondern für reelle Zahlen durchgeführt, so hätte man das Ergebnis $\underline{x} = (1, \, 2, \, 2, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$ erhalten.
 '''(4)'''&nbsp; Die Musterlösung zur Teilaufgabe (3) lässt bereits vermuten, dass hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist. Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten bestätigt dieses Ergebnis:
-:$$\underline{u} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
+:$$\underline{u} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm})  \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
-{U}(D)= 1+ D + D^2+ D^3 + ... \hspace{0.15cm}.$$
+{U}(D)= 1+ D + D^2+ D^3 + \text{...}\hspace{0.15cm}.$$
 Mit der für Berechnungen in ${\rm GF}(2)$ gültigen Gleichung
-:$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D}$$
+:$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D}$$
 erhält man weiter:
 :$${X}(D) = U(D) \cdot G(D) = \frac{1}{1+D} \cdot (1+D) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})
+\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm})
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Der Weg über die $D$&ndash;Transformierten führt zum <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Für diese alternierende Folge $\underline{u}$, beginnend mit 1, erhält man:
-:$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \cdot (1+D)  + D^2 \cdot (1+D) + D^4 \cdot (1+D) + ... =$$
+:$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \cdot (1+D)  + D^2 \cdot (1+D) + D^4 \cdot (1+D) + \text{...} = 1 + D + D^2 + D^3 + D^4 + D^5 +\hspace{0.05cm} ...
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})
+\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm})
 \hspace{0.05cm}.$$
-Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen. Mit $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ erhält man dagegen $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$. Diese unterscheidet sich von der &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo; nur im ersten Bit. Es ist dann $x_1 = 0$ statt $x_1 = 1$.
+Auch bei direkter Anwendung der Faltung wie in Teilaufgabe (2) kann man dieses Ergebnis ablesen. Mit $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ erhält man dagegen $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \,\text{...})$. Diese unterscheidet sich von der &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo; nur im ersten Bit. Es ist dann $x_1 = 0$ statt $x_1 = 1$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]].
 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende Identität für Berechnungen in $\rm GF(2)$:
 :$$1 + D + D^2 + D^3  + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}= \frac{1}{1+D} \hspace{0.05cm}.$$
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 {Wie lauten die vorliegenden Filterkoeffizienten?
 |type="{}"}
-$g_0 \ = \ ${ 1 3% }
+$g_0 \ = \ ${ 1 }
-$g_1 \ = \ ${ 1 3% }
+$g_1 \ = \ ${ 1 }
-$g_2 \ = \ ${ 0 3% }
+$g_2 \ = \ ${ 0. }
 {Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-+ $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
++ $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
+- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
 {Die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ sei endlich. Wie lautet die Ausgangssequenz?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
++ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
+- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
-{Wie lautet die Ausgangssequenz für $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
+{Wie lautet die Ausgangssequenz für $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm}.)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
++ $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$.
-- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
+- $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;.
-{Für welchen Vektor $\underline{u}$ tritt am Ausgang die Folge $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ ...)$ auf?
+{Für welchen Vektor $\underline{u}$ tritt am Ausgang die Folge $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ auf?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;
+- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Dauer&ndash;Einsfolge&rdquo;
-+ $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $1$.
++ $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \,\text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $1$.
-- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $0$.
+- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; alternierende Folge, beginnend mit $0$.
 </quiz>

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
-[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebene Filter]]
+[[Datei:P_ID2628__KC_Z_3_3.png|right|frame|Vorgegebenes Filter]]
 In dieser Aufgabe beschreiben wir an einem einfachen Beispiel
-* die endliche <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Impulsantwort</b></span> eines Filters:
+* die endliche <b>Impulsantwort</b> eines Filters:
-:$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, g_m \right )
+:$$\underline{g} = \left (g_0, g_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_l, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, g_m \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}g_l \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
-* die <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Eingangssequenz</b></span> des Filters:
+* die <b>Eingangssequenz</b> des Filters:
-:$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )
+:$$\underline{u} = \left (u_0, u_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, $$
-* die <span style="color: rgb(204, 0, 0);"><b>Ausgangssequenz</b></span> des Filters:
+* die <b>Ausgangssequenz</b> des Filters:
-:$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )
+:$$\underline{x} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_i \in {\rm GF(2) } = \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}. $$
-Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen Büchern bezeichnet oft $\underline{x}$ den Filtereingang, $\underline{y}$ den Filterausgang, und die Impulsantwort wird $h$ genannt.
+Die Nomenklatur für diese (digitale) Filterbeschreibung haben wir an das Buch &bdquo;Einführung in die Kanalcodierung&rdquo; angepasst. In anderen $\rm LNTwww$&ndash;Büchern bezeichnet oft $\underline{x}$ den Filtereingang, $\underline{y}$ den Filterausgang, und die Impulsantwort wird $h$ genannt.
 Allgemein gilt für die Ausgangssequenz entsprechend der [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich| Faltung]] (englisch: <i>Convolution</i>):
-:$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{x} = \underline{u}* \underline{g} = \left (x_0, x_1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} x_i = \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot u_{i-l}\hspace{0.05cm}.$$
 Wir repräsentieren nun die Zeitfunktionen $\underline{g}, \ \underline{u}$ und $\underline{x}$ durch Polynome in einer Dummy&ndash;Variablen $D$ und nennen diese die $D$&ndash;Transformierten:
 :$$\underline{g}   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
-{G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + ... + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
+{G}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l = g_0 + g_1 \cdot D + g_2 \cdot D^2 + \text{...} + g_m \cdot D\hspace{0.03cm}^m\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u}   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
-{U}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = u_0 + u_1 \cdot D + u_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm},$$
+{U}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} u_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = u_0 + u_1 \cdot D + u_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{x}   \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
-{X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + ... \hspace{0.05cm}.$$
+{X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = x_0 + x_1 \cdot D + x_2 \cdot D^2 + \text{...} \hspace{0.05cm}.$$
 Damit wird aus der (komplizierteren) Faltung eine Multiplikation:
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 :$${X}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{i = 0}^{\infty} x_i \cdot D\hspace{0.03cm}^i = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{l = 0}^{m}\hspace{0.1cm}
   g_l \cdot u_{i-l} \cdot D\hspace{0.03cm}^{i} =  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot \sum_{j = -l}^{\infty} \hspace{0.1cm}
-   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j+l} = $$
+   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j+l} =  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \sum_{j = 0}^{\infty} \hspace{0.1cm}
-:$$ \ = \ \hspace{-0.15cm}  \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.1cm} g_l \cdot D\hspace{0.03cm}^l \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \sum_{j = 0}^{\infty} \hspace{0.1cm}
+   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j}$$
-   u_{j} \cdot D\hspace{0.03cm}^{j}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{X}(D) = U(D) \cdot G(D)
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{X}(D) = U(D) \cdot G(D)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 sollen für das oben skizzierte Digitale Filter demonstriert werden.
 ''Hinweise:''

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(kein Unterschied)