Aufgaben:Aufgabe 3.3: p-Übertragungsfunktion - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:36:26Z

Add English interlanguage link

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:17Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]		[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]
	Jedes lineare zeitinvariante System,  das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen  (Widerstände  $R$,  Kapazitäten  $C$,  Induktivitäten  $L$,  Verstärkerelemente, usw.)  realisiert werden kann,  ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale  $p$–Übertragungsfunktion der Form		Jedes lineare zeitinvariante System,  das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen  (Widerstände  $R$,  Kapazitäten  $C$,  Induktivitäten  $L$,  Verstärkerelemente, usw.)  realisiert werden kann,  ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale  $p$–Übertragungsfunktion der Form
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}\hspace{0.05cm} .$$
	{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Alle Koeffizienten  $A_Z$, ... ,  $A_0$,  $B_N$, ... ,  $B_0$  sind reell.		*Alle Koeffizienten  $A_Z$, ... ,  $A_0$,  $B_N$, ... ,  $B_0$  sind reell.
Zeile 15:		Zeile 13:

	Eine äquivalente Darstellungsform obiger Gleichung lautet:		Eine äquivalente Darstellungsform obiger Gleichung lautet:
	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i}}		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i}}{\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i}}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})}{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}\hspace{0.05cm} .$$
	{\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i}}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})}
	{(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm x} \hspace{-0.03cm} N})}
	\hspace{0.05cm} .$$

	Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:		Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
Zeile 105:		Zeile 100:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nach dem Spannungsteilerprinzip kann für die  $p$–Übertragungsfunktion geschrieben werden:		'''(1)'''  Nach dem Spannungsteilerprinzip kann für die  $p$–Übertragungsfunktion geschrieben werden:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {pL +{1}/{(pC)}}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {pL +{1}/{(pC)}}{R + pL + {1}/{(pC)}}= \frac { p^2 \cdot{LC}+1}{p^2 \cdot{LC} + p \cdot{RC}+ 1}\hspace{0.05cm} .$$
	{R + pL + {1}/{(pC)}}= \frac { p^2 \cdot{LC}+1}
	{p^2 \cdot{LC} + p \cdot{RC}+ 1}
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Die beiden gewünschten Grenzübergänge ergeben sich zu		*Die beiden gewünschten Grenzübergänge ergeben sich zu
	:$$\underline {H_{\rm L}(p \rightarrow 0)= 1, \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p \rightarrow \infty)= 1}		:$$\underline {H_{\rm L}(p \rightarrow 0)= 1, \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p \rightarrow \infty)= 1}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$

	:#Daraus folgt,  dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.		:#Daraus folgt,  dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.
Zeile 121:		Zeile 112:
	'''(2)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Ersetzt man  $p$  durch  ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man		*Ersetzt man  $p$  durch  ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man
	:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}		:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}{1 - (2\pi f)^2 \cdot LC + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot RC}\hspace{0.05cm} .$$
	{1 - (2\pi f)^2 \cdot LC + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot RC}
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler Null ist, nämlich die Resonanzfrequenz von  $L$  und  $C$.		*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler Null ist, nämlich die Resonanzfrequenz von  $L$  und  $C$.
Zeile 132:		Zeile 121:

	'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:		'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
	:$$A = \frac{R}{2L}= \frac{50\,{\rm \Omega}}{2 \cdot 10\,{\rm \mu H}} = \frac{50\,{\rm \Omega}}{2 \cdot 10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm} \underline {=		:$$A = \frac{R}{2L}= \frac{50\,{\rm \Omega}}{2 \cdot 10\,{\rm \mu H}} = \frac{50\,{\rm \Omega}}{2 \cdot 10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm} \underline {=2.5} \cdot 10^6 \, \,{1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},$$
	2.5} \cdot 10^6 \, \,{1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},$$		:$$ B = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-5 }\,{\rm \Omega s} \cdot 25 \cdot 10^{-9 }\,{\rm s/\Omega }}}\hspace{0.15cm} \underline {=2.0} \cdot 10^6 \, \,{1}/{\rm s}\hspace{0.05cm} .$$
	:$$ B = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-5 }\,{\rm \Omega s} \cdot 25 \cdot 10^{-9 }\,{\rm s/\Omega }}}\hspace{0.15cm} \underline {=
	2.0} \cdot 10^6 \, \,{1}/{\rm s}\hspace{0.05cm} .$$



	'''(4)'''  Mit  $A=R/(2L)$  und  $B^2 = 1/(LC)$  erhält man aus der in der Teilaufgabe  '''(1)'''  ermittelten  $p$–Übertragungsfunktion:		'''(4)'''  Mit  $A=R/(2L)$  und  $B^2 = 1/(LC)$  erhält man aus der in der Teilaufgabe  '''(1)'''  ermittelten  $p$–Übertragungsfunktion:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}{p^2 + 2A \cdot p + B^2}\hspace{0.05cm} .$$
	{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}
	{p^2 + 2A \cdot p + B^2}
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Das Zählerpolynom  $Z(p)$  und das Nennerpolynom  $N(p)$  sind jeweils quadratisch   ⇒   $\underline {Z = N = 2}$.		*Das Zählerpolynom  $Z(p)$  und das Nennerpolynom  $N(p)$  sind jeweils quadratisch   ⇒   $\underline {Z = N = 2}$.
Zeile 151:		Zeile 135:

	'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung  $p^2 + B^2 = 0$  führt zum Ergebnis  $p = \pm {\rm j} \cdot B$  und damit zu den Nullstellen		'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung  $p^2 + B^2 = 0$  führt zum Ergebnis  $p = \pm {\rm j} \cdot B$  und damit zu den Nullstellen
	:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm		:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rms}} \hspace{0.05cm},$$
	s}} \hspace{0.05cm},$$		:$$ {\rm Re}\{ p_{\rm o2}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o2}\} \underline {=-2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rms}} \hspace{0.05cm}.$$
	:$$ {\rm Re}\{ p_{\rm o2}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o2}\} \underline {=-2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm
	s}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung,  insbesondere im Zeitbereich.		*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung,  insbesondere im Zeitbereich.
Zeile 162:		Zeile 144:

	'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom  $N(p) = 0$,  so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:		'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom  $N(p) = 0$,  so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:
	:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}\hspace{0.05cm},$$
	p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}
	\hspace{0.05cm},$$

	:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rms}}\hspace{0.05cm}:$$
	\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm
	s}}\hspace{0.05cm}:$$

	:$${\rm Re}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm		:$${\rm Re}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rms}}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm},$$
	s}}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot {1}/{{\rm		:$${\rm Re}\{ p_{\rm x2}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rms}}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
	\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Re}\{ p_{\rm x2}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm
	s}}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot {1}/{{\rm
	\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.		Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.

Guenter am 13. Oktober 2021 um 13:37 Uhr

2021-10-13T13:37:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Oktober 2021, 15:37 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	:#Daraus folgt, dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.		:#Daraus folgt,  dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.
	:#Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt  $y(t)=x(t)$.		:#Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt  $y(t)=x(t)$.



	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Ersetzt man  $p$  durch  ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man		*Ersetzt man  $p$  durch  ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man
	:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}		:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}
Zeile 156:		Zeile 156:
	s}} \hspace{0.05cm}.$$		s}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung, insbesondere im Zeitbereich.		*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung,  insbesondere im Zeitbereich.
	*Verzichtet man auf die Einheit ganz, so ergeben sich alle  $t$–Werte in Mikrosekunden.		*Verzichtet man auf die Einheit ganz,  so ergeben sich alle  $t$–Werte in Mikrosekunden.



	'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom  $N(p) = 0$, so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:		'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom  $N(p) = 0$,  so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:
	:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}		p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}
Zeile 181:		Zeile 181:


	'''(7)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(7)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Da man nur eines der Bauelemente ändern soll, müssen  $L$  und  $C$  gleich bleiben, da sonst auch die Nullstellen verschoben würden.		*Da man nur eines der Bauelemente ändern soll,  müssen  $L$  und  $C$  gleich bleiben,  da sonst auch die Nullstellen verschoben würden.
	* Man muss den Widerstandswert  $R$  ändern.		* Man muss den Widerstandswert  $R$  ändern.

Guenter am 13. Oktober 2021 um 12:52 Uhr

2021-10-13T12:52:59Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:46 Uhr

2021-09-09T16:46:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2021, 18:46 Uhr
Zeile 197:		Zeile 197:


	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation ~~und p–Übertragungsfunktion~~^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]

Guenter am 31. Oktober 2019 um 15:42 Uhr

2019-10-31T15:42:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2019, 17:42 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nach dem Spannungsteilerprinzip kann für die $p$–Übertragungsfunktion geschrieben werden:		'''(1)'''  Nach dem Spannungsteilerprinzip kann für die  $p$–Übertragungsfunktion geschrieben werden:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {pL +{1}/{(pC)}}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {pL +{1}/{(pC)}}
	{R + pL + {1}/{(pC)}}= \frac { p^2 \cdot{LC}+1}		{R + pL + {1}/{(pC)}}= \frac { p^2 \cdot{LC}+1}
Zeile 112:		Zeile 112:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die beiden gewünschten Grenzübergänge ergeben sich zu		*Die beiden gewünschten Grenzübergänge ergeben sich zu
	:$$\underline {H_{\rm L}(p \rightarrow 0)= 1, \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p \rightarrow \infty)= 1}		:$$\underline {H_{\rm L}(p \rightarrow 0)= 1, \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p \rightarrow \infty)= 1}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Daraus folgt, dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.		:#Daraus folgt, dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.
	*Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt $y(t)=x(t)$.		:#Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt  $y(t)=x(t)$.



	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Ersetzt man $p$ durch ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man		*Ersetzt man  $p$  durch  ${\rm j } \cdot 2\pi f$, so erhält man
	:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}		:$$H(f)= \frac {1 - (2\pi f)^2 \cdot LC}
	{1 - (2\pi f)^2 \cdot LC + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot RC}		{1 - (2\pi f)^2 \cdot LC + {\rm j} \cdot 2\pi f \cdot RC}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler Null ist, nämlich die Resonanzfrequenz von $L$ und $C$.		*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler Null ist, nämlich die Resonanzfrequenz von  $L$  und  $C$.
	*Für diese Frequenz  $f_0 = 1 \ \rm MHz/2\pi$  wirkt die Reihenschaltung von  $L$  und  $C$  wie ein Kurzschluss.		*Für diese Frequenz  $f_0 = 1 \ \rm MHz/2\pi$  wirkt die Reihenschaltung von  $L$  und  $C$  wie ein Kurzschluss.
	*Daraus folgt: Unabhängig von den Werten von  $R$,  $L$ und  $C$ handelt es sich um eine $\rm Bandsperre$.		*Daraus folgt:  Unabhängig von den Werten von  $R$,  $L$ und  $C$ handelt es sich um eine  $\rm Bandsperre$.


Zeile 141:		Zeile 141:


	'''(4)'''  Mit  $A=R/(2L)$  und  $B^2 = 1/(LC)$  erhält man aus der in der Teilaufgabe '''(1)''' ermittelten $p$–Übertragungsfunktion:		'''(4)'''  Mit  $A=R/(2L)$  und  $B^2 = 1/(LC)$  erhält man aus der in der Teilaufgabe  '''(1)'''  ermittelten  $p$–Übertragungsfunktion:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}
	{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}		{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}
Zeile 158:		Zeile 158:
	s}} \hspace{0.05cm}.$$		s}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Normierung der ~~Frequenzvariablen~~  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  ~~würde~~ die numerische Auswertung ~~vereinfachen~~, insbesondere im Zeitbereich.		*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung, insbesondere im Zeitbereich.
	*Verzichtet man auf die Einheit ganz, so ergeben sich alle $t$–Werte in Mikrosekunden.		*Verzichtet man auf die Einheit ganz, so ergeben sich alle  $t$–Werte in Mikrosekunden.



Zeile 167:		Zeile 168:
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$

	:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \~~dot~~ {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm		\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm
	s}}\hspace{0.05cm}:$$		s}}\hspace{0.05cm}:$$
Zeile 188:		Zeile 189:


	'''(8)'''  Entsprechend dem Ergebnis aus '''(7)''' ergibt sich eine doppelte Polstelle für  $\underline {A = B = 2 \cdot 10^{-6} \cdot \rm 1/s}$.		'''(8)'''  Entsprechend dem Ergebnis aus  '''(7)'''  ergibt sich eine doppelte Polstelle für  $\underline {A = B = 2 \cdot 10^{-6} \cdot \rm 1/s}$.
	*Dazu muss der Ohmsche Widerstand von  $50 \ \rm \Omega$  auf  $40 \ \rm \Omega$  herabgesetzt werden.		*Dazu muss der Ohmsche Widerstand von  $50 \ \rm \Omega$  auf  $40 \ \rm \Omega$  herabgesetzt werden.
	*Der doppelte Pol liegt dann bei  ${-2 \cdot 10^{6} \cdot \rm 1/s}$.		*Der doppelte Pol liegt dann bei  ${-2 \cdot 10^{6} \cdot \rm 1/s}$.

Guenter am 31. Oktober 2019 um 15:31 Uhr

2019-10-31T15:31:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2019, 17:31 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]		[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]
	Jedes lineare zeitinvariante System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen (Widerstände  $R$, Kapazitäten  $C$, Induktivitäten  $L$, Verstärkerelemente, usw.) realisiert werden kann, ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale $p$–Übertragungsfunktion der Form		Jedes lineare zeitinvariante System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen (Widerstände  $R$, Kapazitäten  $C$, Induktivitäten  $L$, Verstärkerelemente, usw.) realisiert werden kann, ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale  $p$–Übertragungsfunktion der Form
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}
	{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}		{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Alle Koeffizienten $A_Z$, ... , $A_0$, $B_N$, ... , $B_0$ sind reell.		*Alle Koeffizienten  $A_Z$, ... ,  $A_0$,  $B_N$, ... ,  $B_0$  sind reell.
	*$Z$ bezeichnet den Grad des Zählerpolynoms $Z(p)$.		*$Z$  bezeichnet den Grad des Zählerpolynoms  $Z(p)$.
	*$N$ ~~dibt~~ den Grad des Nennerpolynoms $N(p)$ an.		*$N$  gibt den Grad des Nennerpolynoms  $N(p)$  an.


Zeile 20:		Zeile 20:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die $Z + N + 1$ Parameter bedeuten:		Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
	* $K = A_Z/B_n$ ist ein konstanter Faktor. Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.		* $K = A_Z/B_n$  ist ein konstanter Faktor. Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
	* Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$ Nullstellen  $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}N}$  von  $H_{\rm L}(p)$.		* Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$ Nullstellen  $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}N}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
	* Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  ergeben die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$  der Übertragungsfunktion.		* Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  ergeben die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$  der Übertragungsfunktion.
Zeile 29:		Zeile 29:
	:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}$$		:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}$$

	Außerdem ist der Frequenzgang $H(f)$ nach Fourier zu bestimmen, der sich aus $H_{\rm L}(p)$ durch die Substitution $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$ ergibt.		Außerdem ist der Frequenzgang  $H(f)$  nach Fourier zu bestimmen, der sich aus  $H_{\rm L}(p)$  durch die Substitution  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  ergibt.




Zeile 45:		Zeile 47:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie die  $p$–Übertragungsfunktion. Welche asymptotischen Werte erhält man für  $p → 0$  und  $p → \infty$?		{Ermitteln Sie die  $p$–Übertragungsfunktion.  Welche asymptotischen Werte erhält man für  $p → 0$  und  $p → \infty$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_L(p → 0) \ = \ $ { 1 3% }		$H_L(p → 0) \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 51:		Zeile 53:


	{Ermitteln Sie aus  $H_{\rm L}(p)$  den Frequenzgang  $H(f)$, indem Sie  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  setzen. ~~<br>~~Welche der folgenden Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie aus  $H_{\rm L}(p)$  den Frequenzgang  $H(f)$, indem Sie  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  setzen.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es handelt sich um einen Bandpass.		- Es handelt sich um einen Bandpass.
	+ Es handelt sich um eine Bandsperre.		+ Es handelt sich um eine Bandsperre.
	- Ohne genaue Kenntnis von  $R$,  $L$ und  $C$ ist keine Aussage möglich.		- Ohne genaue Kenntnis von  $R$,  $L$ und  $C$  ist keine Aussage möglich.


	{Berechnen Sie die Hilfsgrößen $A$ und $B$ für  $R = 50 \ \rm \Omega$,  $L = 10 \ μ\rm H$,  $C = 25 \ \rm nF$.		{Berechnen Sie die Hilfsgrößen  $A$  und  $B$  für  $R = 50 \ \rm \Omega$,  $L = 10 \ µ\rm H$,  $C = 25 \ \rm nF$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$		$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$
Zeile 64:		Zeile 66:


	{Stellen Sie  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form dar. Wieviele Nullstellen $(Z)$ und Pole $(N)$ gibt es? ~~<br>~~Wie groß ist der konstante Faktor  $K$?		{Stellen Sie  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form dar.  Wieviele Nullstellen  $(Z)$  und Pole  $(N)$  gibt es?  Wie groß ist der konstante Faktor  $K$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Z \ = \ $ { 2 3% }		$Z \ = \ $ { 2 3% }
Zeile 71:		Zeile 73:


	{Berechnen Sie die Nullstellen  $p_\text{o1}$ (in der oberen Halbebene) und  $p_\text{o2}$ (in der unteren Halbebene). ~~<br>~~Beachten Sie die Einheit  $\rm 1/ µs$.		{Berechnen Sie die Nullstellen  $p_\text{o1}$ (in der oberen Halbebene) und  $p_\text{o2}$ (in der unteren Halbebene).  Beachten Sie die Einheit  $\rm 1/ µs$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}\{p_\text{o1}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{o1}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Im}\{p_\text{o1}\} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Im}\{p_\text{o1}\} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Re}\{p_\text{o2}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{o2}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Re}\{p_\text{o2}\} \ = \ $ { -2.57--2.43 } $\ \rm1/ ~~\mu~~ s$		${\rm Re}\{p_\text{o2}\} \ = \ $ { -2.57--2.43 } $\ \rm1/ µ s$


	{Berechnen Sie die Pole  $p_\text{x1}$  und  $p_\text{x2}$. Es gelte  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.		{Berechnen Sie die Pole  $p_\text{x1}$  und  $p_\text{x2}$.  Es gelte  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}\{p_\text{x1}\} \ =\ $ { -1.03--0.97 } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{x1}\} \ =\ $ { -1.03--0.97 } $\ \rm 1/ µ s$
Zeile 89:		Zeile 91:
	{Wie kann man ohne Änderung der Nullstellen die Lage der Pole verändern?		{Wie kann man ohne Änderung der Nullstellen die Lage der Pole verändern?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Änderung von $R$;   $L$ und $C$ gleichbleibend.		+ Änderung von  $R$;   $L$ und $C$ gleichbleibend.
	- Änderung von $L$;   $R$ und $C$ gleichbleibend.		- Änderung von  $L$;   $R$ und $C$ gleichbleibend.
	- Änderung von $C$;   $L$ und $R$ gleichbleibend.		- Änderung von  $C$;   $L$ und $R$ gleichbleibend.


	{Wie muss die Hilfsgröße $A$ verändert werden ($B$ gleichbleibend), damit eine doppelte Polstelle auftritt (aperiodischer Grenzfall)?		{Wie muss die Hilfsgröße  $A$  verändert werden  $(B$ gleichbleibend$)$, damit eine doppelte Polstelle auftritt  (aperiodischer Grenzfall)?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ =\ $ { 2 3% } $\ \rm \cdot 10^6\ 1/s$		$A \ =\ $ { 2 3% } $\ \rm \cdot 10^6\ 1/s$

Guenter am 26. November 2018 um 15:51 Uhr

2018-11-26T15:51:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2018, 17:51 Uhr
Zeile 114:		Zeile 114:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Daraus folgt, dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann. Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt $y(t)=x(t)$.		*Daraus folgt, dass es sich weder um einen Tiefpass noch um einen Hochpass handeln kann.
			*Sowohl bei sehr niedrigen als auch bei sehr hohen Frequenzen gilt $y(t)=x(t)$.



Zeile 123:		Zeile 125:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler ~~$0$~~ ist, nämlich die Resonanzfrequenz von $L$ und $C$.		*Es gibt also stets eine Frequenz, bei der der Zähler Null ist, nämlich die Resonanzfrequenz von $L$ und $C$.
	*Für diese Frequenz $f_0 = 1 \ \rm MHz/2\pi$ wirkt die Reihenschaltung von $L$ und $C$ wie ein Kurzschluss.		*Für diese Frequenz  $f_0 = 1 \ \rm MHz/2\pi$  wirkt die Reihenschaltung von  $L$  und  $C$  wie ein Kurzschluss.
	*Daraus folgt: Unabhängig von den Werten von $R$, $L$ und $C$ handelt es sich um eine ~~<u>~~Bandsperre~~</u>~~.		*Daraus folgt: Unabhängig von den Werten von  $R$,  $L$ und  $C$ handelt es sich um eine $\rm Bandsperre$.



Zeile 135:		Zeile 138:


	'''(4)'''  Mit $A=R/(2L)$ und $B^2 = 1/(LC)$ erhält man aus der in der Teilaufgabe (1) ermittelten $p$–Übertragungsfunktion:
			'''(4)'''  Mit  $A=R/(2L)$  und  $B^2 = 1/(LC)$  erhält man aus der in der Teilaufgabe '''(1)''' ermittelten $p$–Übertragungsfunktion:
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac { p^2 + {1}/(LC)}
	{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}		{p^2 + p \cdot{R}/{L} +{1}/(LC)} = \frac { p^2 + B^2}
Zeile 141:		Zeile 145:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Zählerpolynom $Z(p)$ und Nennerpolynom $N(p)$ sind jeweils quadratisch ⇒ $\underline {Z = N = 2}$. Der konstante Faktor ergibt sich zu $\underline {K = 1}$.		*Das Zählerpolynom  $Z(p)$  und das Nennerpolynom  $N(p)$  sind jeweils quadratisch   ⇒   $\underline {Z = N = 2}$.
			* Der konstante Faktor ergibt sich zu  $\underline {K = 1}$.



	'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung $p^2 + B^2 = 0$ führt zum Ergebnis $p = \pm {\rm j} \cdot B$ und damit zu den Nullstellen		'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung  $p^2 + B^2 = 0$  führt zum Ergebnis  $p = \pm {\rm j} \cdot B$  und damit zu den Nullstellen
	:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm		:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm
	s}} \hspace{0.05cm},$$		s}} \hspace{0.05cm},$$
Zeile 150:		Zeile 156:
	s}} \hspace{0.05cm}.$$		s}} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Normierung der Frequenzvariablen $p$ und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit (~~$ \~~ \rm 1/µ s$) würde die numerische Auswertung vereinfachen, insbesondere im Zeitbereich. Verzichtet man auf die Einheit ganz, so ergeben sich alle $t$–Werte in Mikrosekunden.		*Die Normierung der Frequenzvariablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  würde die numerische Auswertung vereinfachen, insbesondere im Zeitbereich.
			*Verzichtet man auf die Einheit ganz, so ergeben sich alle $t$–Werte in Mikrosekunden.


	'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom $N(p) = 0$, so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:		'''(6)'''  Setzt man das Nennerpolynom  $N(p) = 0$, so ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:
	:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}		p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$

	$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \dot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \dot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm		\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm
	s}}\hspace{0.05cm}:$$		s}}\hspace{0.05cm}:$$
Zeile 169:		Zeile 176:
	\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$		\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe $\|p_\text{x2}\| > p_\text{x1}$\|.		Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.



	'''(7)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(7)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Da man nur eines der Bauelemente ändern soll, müssen $L$ und $C$ gleich bleiben, da sonst auch die Nullstellen verschoben würden  ~~⇒~~  ~~man muss den Widerstandswert $R$~~ ändern.		*Da man nur eines der Bauelemente ändern soll, müssen  $L$  und  $C$  gleich bleiben, da sonst auch die Nullstellen verschoben würden.
			* Man muss den Widerstandswert  $R$  ändern.



	'''(8)'''  Entsprechend dem Ergebnis aus (7) ergibt sich eine doppelte Polstelle für $\underline {A = B = 2 \cdot 10^{-6} \cdot \rm 1/s}$.		'''(8)'''  Entsprechend dem Ergebnis aus '''(7)''' ergibt sich eine doppelte Polstelle für  $\underline {A = B = 2 \cdot 10^{-6} \cdot \rm 1/s}$.
	*Dazu muss der Ohmsche Widerstand von $50 \ \rm \Omega$ auf $40 \ \rm \Omega$ herabgesetzt werden.		*Dazu muss der Ohmsche Widerstand von  $50 \ \rm \Omega$  auf  $40 \ \rm \Omega$  herabgesetzt werden.
	*Der doppelte Pol liegt dann bei ${-2 \cdot 10^{6} \cdot \rm 1/s}$. Oder bei anderer Normierung bei ${-2 \cdot \rm (1/µ s)}$.		*Der doppelte Pol liegt dann bei  ${-2 \cdot 10^{6} \cdot \rm 1/s}$.
			*Oder bei anderer Normierung bei  ${-2 \cdot \rm (1/µ s)}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 26. November 2018 um 08:03 Uhr

2018-11-26T08:03:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2018, 10:03 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	{Berechnen Sie die Hilfsgrößen $A$ und $B$ für  $R = 50 \ \rm \Omega$,  $L = 10 \ μ\rm H$,  $C = 25 \ \rm nF$.		{Berechnen Sie die Hilfsgrößen $A$ und $B$ für  $R = 50 \ \rm \Omega$,  $L = 10 \ μ\rm H$,  $C = 25 \ \rm nF$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$		$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$
	$B \ = \ $ { 2 3% } $\cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$		$B \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$


Zeile 96:		Zeile 96:
	{Wie muss die Hilfsgröße $A$ verändert werden ($B$ gleichbleibend), damit eine doppelte Polstelle auftritt (aperiodischer Grenzfall)?		{Wie muss die Hilfsgröße $A$ verändert werden ($B$ gleichbleibend), damit eine doppelte Polstelle auftritt (aperiodischer Grenzfall)?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ =\ $ { 2 3% } $\rm \cdot 10^6\ 1/s$		$A \ =\ $ { 2 3% } $\ \rm \cdot 10^6\ 1/s$

Guenter am 26. November 2018 um 07:59 Uhr

2018-11-26T07:59:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2018, 09:59 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]		[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]
	Jedes lineare zeitinvariante System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen (Widerstände $R$, Kapazitäten $C$, Induktivitäten $L$, Verstärkerelemente, usw.) realisiert werden kann, ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale ~~<i>~~p~~</i>~~–Übertragungsfunktion der Form		Jedes lineare zeitinvariante System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen (Widerstände  $R$, Kapazitäten  $C$, Induktivitäten  $L$, Verstärkerelemente, usw.) realisiert werden kann, ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale $p$–Übertragungsfunktion der Form
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}
	{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}		{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Alle Koeffizienten $A_Z$, ... , $A_0$, $B_N$, ... , $B_0$ sind reell. $Z$ bezeichnet den Grad des Zählerpolynoms $Z(p)$ ~~und~~ $N$ den Grad des Nennerpolynoms $N(p)$. Eine äquivalente Darstellungsform obiger Gleichung lautet:		*Alle Koeffizienten $A_Z$, ... , $A_0$, $B_N$, ... , $B_0$ sind reell.
			*$Z$ bezeichnet den Grad des Zählerpolynoms $Z(p)$.
			*$N$ dibt den Grad des Nennerpolynoms $N(p)$ an.


			Eine äquivalente Darstellungsform obiger Gleichung lautet:
	:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i}}		:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {\prod\limits_{i=1}^Z p - p_{\rm o i}}
	{\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i}}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})}		{\prod\limits_{i=1}^N p - p_{\rm x i}}= K \cdot \frac {(p - p_{\rm o 1})(p - p_{\rm o 2})\cdot \text{ ...} \cdot (p - p_{{\rm o} \hspace{-0.03cm} Z})}
Zeile 16:		Zeile 21:

	Die $Z + N + 1$ Parameter bedeuten:		Die $Z + N + 1$ Parameter bedeuten:
	* $K = A_Z/B_n$ ist ein konstanter Faktor. Gilt $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.		* $K = A_Z/B_n$ ist ein konstanter Faktor. Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.
	* Die Lösungen der Gleichung $Z(p) = 0$ ergeben die $Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}N}$ von $H_{\rm L}(p)$.		* Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$ Nullstellen  $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}N}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
	* Die Nullstellen des Nennerpolynoms $N(p)$ ergeben die $N$ Polstellen $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$ der Übertragungsfunktion.		* Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  ergeben die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$  der Übertragungsfunktion.


	Diese Kenngrößen sollen für die in der Grafik gezeigten Schaltung mit ~~den~~ Bauelementen		Diese Kenngrößen sollen für die in der Grafik gezeigten Schaltung mit folgenden Bauelementen ermittelt werden:
	:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}$$		:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}$$

	~~ermittelt werden.~~ Außerdem ist der Frequenzgang $H(f)$ nach Fourier zu bestimmen, der sich aus $H_{\rm L}(p)$ durch die Substitution $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$ ergibt.		Außerdem ist der Frequenzgang $H(f)$ nach Fourier zu bestimmen, der sich aus $H_{\rm L}(p)$ durch die Substitution $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$ ergibt.


Zeile 31:		Zeile 36:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].

	*Als Hilfsgrößen werden in dieser Aufgabe verwendet:		*Als Hilfsgrößen werden in dieser Aufgabe verwendet:
Zeile 40:		Zeile 45:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie die $p$–Übertragungsfunktion. Welche asymptotischen Werte erhält man für $p → 0$ und $p → \infty$?		{Ermitteln Sie die  $p$–Übertragungsfunktion. Welche asymptotischen Werte erhält man für  $p → 0$  und  $p → \infty$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_L(p → 0) \ = \ $ { 1 3% }		$H_L(p → 0) \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 46:		Zeile 51:


	{Ermitteln Sie aus $H_{\rm L}(p)$ den Frequenzgang $H(f)$, indem Sie $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$ setzen. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie aus  $H_{\rm L}(p)$  den Frequenzgang  $H(f)$, indem Sie  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  setzen. <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es handelt sich um einen Bandpass.		- Es handelt sich um einen Bandpass.
	+ Es handelt sich um eine Bandsperre.		+ Es handelt sich um eine Bandsperre.
	- Ohne genaue Kenntnis von $R$, $L$ und $C$ ist keine Aussage möglich.		- Ohne genaue Kenntnis von  $R$,  $L$ und  $C$ ist keine Aussage möglich.


	{Berechnen Sie die Hilfsgrößen $A$ und $B$ für $R = 50 \ \rm \Omega$, $L = 10 \ μ\rm H$, $C = 25 \ \rm nF$.		{Berechnen Sie die Hilfsgrößen $A$ und $B$ für  $R = 50 \ \rm \Omega$,  $L = 10 \ μ\rm H$,  $C = 25 \ \rm nF$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$		$A \ = \ $ { 2.5 3% } $\cdot \ 10^6 \ \rm 1/s$
Zeile 59:		Zeile 64:


	{Stellen Sie $H_{\rm L}(p)$ in Pol–Nullstellen–Form dar. Wieviele Nullstellen ($Z$) und Pole ($N$) gibt es? Wie groß ist der konstante Faktor $K$?		{Stellen Sie  $H_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form dar. Wieviele Nullstellen $(Z)$ und Pole $(N)$ gibt es? <br>Wie groß ist der konstante Faktor  $K$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Z \ = \ $ { 2 3% }		$Z \ = \ $ { 2 3% }
Zeile 66:		Zeile 71:


	{Berechnen Sie die Nullstellen $p_\text{o1}$ (in der oberen Halbebene) und $p_\text{o2}$ (in der unteren Halbebene) . <br>Beachten Sie die Einheit $\rm 1/ µs$.		{Berechnen Sie die Nullstellen  $p_\text{o1}$ (in der oberen Halbebene) und  $p_\text{o2}$ (in der unteren Halbebene). <br>Beachten Sie die Einheit  $\rm 1/ µs$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}\{p_\text{o1}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{o1}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$
Zeile 74:		Zeile 79:


	{Berechnen Sie die Pole $p_\text{x1}$ und $p_\text{x2}$. Es gelte $\|p_\text{x2}\| > p_\text{x1}$\|.		{Berechnen Sie die Pole  $p_\text{x1}$  und  $p_\text{x2}$. Es gelte  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}\{p_\text{x1}\} \ =$ { -1.03--0.97 } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{x1}\} \ =\ $ { -1.03--0.97 } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Im}\{p_\text{x1}\} \ =$ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Im}\{p_\text{x1}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Re}\{p_\text{x2}\} \ =$ { -4.12--3.88 } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Re}\{p_\text{x2}\} \ =\ $ { -4.12--3.88 } $\ \rm 1/ µ s$
	${\rm Im}\{p_\text{x2}\} \ =$ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$		${\rm Im}\{p_\text{x2}\} \ =\ $ { 0. } $\ \rm 1/ µ s$


	{Wie kann man ohne Änderung der Nullstellen die Lage der Pole verändern?		{Wie kann man ohne Änderung der Nullstellen die Lage der Pole verändern?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Änderung von $R$. $L$ und $C$ gleichbleibend.		+ Änderung von $R$;   $L$ und $C$ gleichbleibend.
	- Änderung von $L$. $R$ und ~~<i>~~C~~</i>~~ gleichbleibend.		- Änderung von $L$;   $R$ und $C$ gleichbleibend.
	- Änderung von ~~<i>~~C~~</i>.~~ $L$ und $R$ gleichbleibend.		- Änderung von $C$;   $L$ und $R$ gleichbleibend.

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:

	'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung  $p^2 + B^2 = 0$  führt zum Ergebnis  $p = \pm {\rm j} \cdot B$  und damit zu den Nullstellen		'''(5)'''  Die Lösung der Gleichung  $p^2 + B^2 = 0$  führt zum Ergebnis  $p = \pm {\rm j} \cdot B$  und damit zu den Nullstellen
	:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\~~rms~~}} \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Re}\{ p_{\rm o1}\} \underline {= 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o1}\} \underline {=+2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm s}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ {\rm Re}\{ p_{\rm o2}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o2}\} \underline {=-2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\~~rms~~}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Re}\{ p_{\rm o2}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0}\hspace{-0.3cm} \hspace{1cm}{\rm Im}\{ p_{\rm o2}\} \underline {=-2.5} \cdot 10^6 \, {1}/{{\rm s}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung,  insbesondere im Zeitbereich.		*Die Normierung der Variablen  $p$  und aller Pole und Nullstellen auf die Einheit  $( \rm 1/µ s)$  vereinfacht die numerische Auswertung,  insbesondere im Zeitbereich.
Zeile 146:		Zeile 146:
	:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}\hspace{0.05cm},$$		:$$p^2 + 2A \cdot p + B^2 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x1,\hspace{0.05cm}2}= -A \pm \sqrt{A^2 - B^2}\hspace{0.05cm},$$

	:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\~~rms~~}}\hspace{0.05cm}:$$		:$${\rm Mit}\hspace{0.2cm}A = 2.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{\rm s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sqrt{A^2 - B^2}= 1.5 \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm s}}\hspace{0.05cm}:$$

	:$${\rm Re}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\~~rms~~}}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Re}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm s}}\hspace{0.15cm} \underline {= -1} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Re}\{ p_{\rm x2}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\~~rms~~}}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Re}\{ p_{\rm x2}\}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot 10^6 \cdot {1}/{{\rm s}}\hspace{0.15cm} \underline {= -4} \cdot {1}/{{\rm\mu s}}, \hspace{0.2cm}{\rm Im}\{ p_{\rm x1}\}\hspace{0.15cm} \underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

	Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.		Dieses Ergebnis ist nur eindeutig unter Berücksichtigung der Angabe  $\|p_\text{x2}\| > \|p_\text{x1}\|$.
Zeile 170:		Zeile 170:

	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.3:_p-Transfer_Function]]

← Nächstältere Version		Version vom 13. Oktober 2021, 14:52 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]		[[Datei:P_ID1765__LZI_A_3_3.png\|right\|frame\|Betrachteter Vierpol ]]
	Jedes lineare zeitinvariante System, das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen (Widerstände  $R$, Kapazitäten  $C$, Induktivitäten  $L$, Verstärkerelemente, usw.) realisiert werden kann, ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale  $p$–Übertragungsfunktion der Form		Jedes lineare zeitinvariante System,  das durch eine Schaltung aus diskreten zeitkonstanten Bauelementen  (Widerstände  $R$,  Kapazitäten  $C$,  Induktivitäten  $L$,  Verstärkerelemente, usw.)  realisiert werden kann,  ist kausal und besitzt zudem eine gebrochen–rationale  $p$–Übertragungsfunktion der Form
	:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}		:$$H_{\rm L}(p)= \frac {A_Z \cdot p^Z +\text{ ...} + A_1 \cdot p + A_0}
	{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}		{B_N \cdot p^N + \text{ ...} + B_1 \cdot p + B_0}= \frac {Z(p)}{N(p)}
Zeile 21:		Zeile 21:

	Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:		Die  $Z + N + 1$  Parameter bedeuten:
	* $K = A_Z/B_n$  ist ein konstanter Faktor. Gilt  $Z = N$, so ist dieser dimensionslos.		* $K = A_Z/B_n$  ist ein konstanter Faktor.  Gilt  $Z = N$,  so ist dieser dimensionslos.
	* Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$ Nullstellen  $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}N}$  von  $H_{\rm L}(p)$.		* Die Lösungen der Gleichung  $Z(p) = 0$  ergeben die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}1}$, ... , $p_{{\rm o}Z}$  von  $H_{\rm L}(p)$.
	* Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  ergeben die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$  der Übertragungsfunktion.		* Die Nullstellen des Nennerpolynoms  $N(p)$  ergeben die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}1}$, ... , $p_{{\rm x}N}$  der Übertragungsfunktion.


	Diese Kenngrößen sollen für die in der Grafik gezeigten Schaltung mit folgenden Bauelementen ermittelt werden:		Diese Kenngrößen sollen für die in der Grafik gezeigten Schaltung mit folgenden Bauelementen ermittelt werden:
	:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}$$		:$$R = 50\,\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,\,{\rm µ H}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C = 25\,\,{\rm nF}.$$

	Außerdem ist der Frequenzgang  $H(f)$  nach Fourier zu bestimmen, der sich aus  $H_{\rm L}(p)$  durch die Substitution  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  ergibt.		Außerdem ist der Frequenzgang  $H(f)$  nach Fourier zu bestimmen,  der sich aus  $H_{\rm L}(p)$  durch die Substitution  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  ergibt.


Zeile 35:		Zeile 35:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].

Zeile 53:		Zeile 51:


	{Ermitteln Sie aus  $H_{\rm L}(p)$  den Frequenzgang  $H(f)$, indem Sie  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  setzen.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie aus  $H_{\rm L}(p)$  den Frequenzgang  $H(f)$,  indem Sie  $p= {\rm j } \cdot 2\pi f$  setzen.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es handelt sich um einen Bandpass.		- Es handelt sich um einen Bandpass.