Aufgaben:Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen - Versionsgeschichte

Tasnad am 10. Juni 2020 um 08:04 Uhr

2020-06-10T08:04:07Z

Guenter am 25. März 2020 um 13:56 Uhr

2020-03-25T13:56:54Z

Guenter am 24. März 2020 um 16:51 Uhr

2020-03-24T16:51:02Z

Guenter am 24. März 2020 um 16:43 Uhr

2020-03-24T16:43:56Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:45 Uhr

2018-12-18T16:45:11Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:39 Uhr

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2018-12-18T16:36:03Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.3 Summe zweier Schwingungen nach Aufgaben:Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen

2018-01-03T14:23:56Z

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Guenter am 5. Juli 2017 um 14:02 Uhr

2017-07-05T14:02:54Z

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
-*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
+*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
 :$$2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot  {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ.$$
-*Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung $166^\circ \approx 180^\circ$ ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.
+*Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung&nbsp; $166^\circ \approx 180^\circ$&nbsp; ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.
-'''(2)'''&nbsp; Es gilt allgemein $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.
+'''(2)'''&nbsp; Es gilt allgemein&nbsp; $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$.
-*Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm  kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt.
+*Da&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; auf Frequenzen&nbsp; $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; auf den Bereich&nbsp; $±3 \ \rm  kHz$&nbsp; begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf&nbsp; $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$&nbsp; beschränkt.
 *Daraus folgt:
 :$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
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 '''(3)'''&nbsp; Das Faltungsprodukt für die Frequenz $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation.
-*Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden.
+'''(3)'''&nbsp; Das Faltungsprodukt für die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt sich durch Multiplikation von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; mit&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; und anschließender Summation.
 *Damit erhält man:
 :$$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
-Somit erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von&nbsp; $B_2(f)$&nbsp; nach rechts – oder von&nbsp; $B_1(f)$&nbsp; nach links – um&nbsp; $1 \ \rm kHz$&nbsp; erfolgen.&nbsp; Somit erhält man:
 :$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})
   +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)
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 '''(5)'''&nbsp; Die Diraclinie $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ entspricht der $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei $f = -2 \ \rm kHz$. Diese ist
 :$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm}  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
   B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$

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 [[Datei:P_ID1084__Mod_A_3_3.png|right|frame|Zwei verschiedene Besselspektren]]
-Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet
+Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet bei Normierung auf die Trägeramplitude&nbsp; $(A_{\rm T} = 1)$:&nbsp;
 :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
-wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$.&nbsp; Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
+Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]] benutzen.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
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 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
+{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$.&nbsp; Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Ortskurve ist eine Ellipse.
 - Die Ortskurve ist ein Kreis.
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 - Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel &nbsp;$90^\circ$.
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$.&nbsp; Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
 |type="{}"}
 $f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$

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 Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet
 :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
-wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$&nbsp;. Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
+wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$.&nbsp; Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
 Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion &nbsp;$B_1(f)$, wenn das Quellensignal
 :$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
-anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit &nbsp;$η_1 = 0.9$&nbsp; wie folgt:
+anliegt.&nbsp; Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit &nbsp;$η_1 = 0.9$&nbsp; wie folgt:
 :$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
 {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
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 Im Fragebogen bezeichnen
-*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; die Spektralfunktion des  äquivalenten TP–Signals,
+*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; die Spektralfunktion des  äquivalenten Tiefpass–Signals,
 *$S_+(f)$&nbsp; die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
 jeweils unter der Annahme, dass &nbsp;$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$&nbsp; anliegt und die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
-*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen, dessen Öffnungswinkel $2 · K_{\rm PM} · q_{\rm max} = 2 \cdot  {\rm 1/V} \cdot 1.45 \ \rm V = 2.9 \ \rm rad \approx 166^\circ$ beträgt.
+*Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{\rm TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen mit folgendem Öffnungswinkel:
 *Mit der (zugegebenermaßen sehr groben) Näherung $166^\circ \approx 180^\circ$ ergibt sich tatsächlich ein Halbkreis.
 '''(2)'''&nbsp; Es gilt $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm  kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt. Daraus folgt:
 :$$f_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= -5 \ \rm kHz},$$
 :$$f_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {=+5 \ \rm kHz}.$$
@@ Zeile 100: / Zeile 104: @@
-'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um $1 \ \rm kHz$ erfolgen. Somit erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um $1 \ \rm kHz$ erfolgen.
 :$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz})
   +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)

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 <quiz display=simple>
-{Es gelte $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$?
+{Es gelte &nbsp;$q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$?
 |type="[]"}
--  Die Ortskurve ist eine Ellipse.
+- Die Ortskurve ist eine Ellipse.
 - Die Ortskurve ist ein Kreis.
 + Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
-- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel $90^\circ$.
+- Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel &nbsp;$90^\circ$.
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen $f_{\rm min}$ und $f_{\rm max}$ liegen Spektrallinien?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion &nbsp;$S_{\rm TP}(f)$. Zwischen welchen Frequenzen &nbsp;$f_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm max}$&nbsp; liegen Spektrallinien?
 |type="{}"}
 $f_{\rm min} \ = \ $ { -5.15--4.85 } $\ \rm kHz$
 $f_{\rm max} \ = \ ${ 5 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 0$.
+{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei &nbsp;$f = 0$.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0.72 3% }
+${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0.72 3% }
-${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $ { 0. }
+${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 0)\big] \ = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei $f = 1\ \rm  kHz$.
+{Berechnen Sie das Gewicht der Diracfunktion bei &nbsp;$f = 1\ \rm  kHz$.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)] \ = \ $ { 0.36 3% }
+${\rm Re}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.36 3% }
-${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)] \ = \ $ { 0.03 3% }
+${\rm Im}\big[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.03 3% }
-{Berechnen Sie das Gewicht der $S_+(f)$–Diracfunktion bei $f = 98 \ \rm kHz$.
+{Berechnen Sie das Gewicht der &nbsp;$S_+(f)$–Diracfunktion bei &nbsp;$f = 98 \ \rm kHz$.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm  kHz)] \ = \ $ { 0.09 3% }
+${\rm Re}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.09 3% }
-${\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm  kHz)] \ = \ $ { 0.12 3% }
+${\rm Im}\big[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm  kHz)\big] \ = \ $ { 0.12 3% }
 </quiz>

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 Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet
 :$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$
-wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_{\rm T = 1}$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = \rm 1/V$ angenommen.
+wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird &nbsp;$(A_{\rm T} = 1)$&nbsp;. Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 1/V$&nbsp; angenommen.
-Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
+Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion &nbsp;$B_1(f)$, wenn das Quellensignal
 :$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
-anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:
+anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit &nbsp;$η_1 = 0.9$&nbsp; wie folgt:
 :$${\rm J}_0 (0.9)  = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm}
 {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
-Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal
+Die Besselfunktion &nbsp;$B_2(f)$&nbsp; ergibt sich für das Quellensignal
 :$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$
 Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier  aus folgender Angabe:
 :$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.
+Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; und des cosinusförmigen Trägersignals &nbsp;$z(t)$&nbsp; die Spektrallinien bei &nbsp;$±3 \ \rm kHz$&nbsp; jeweils positiv–imaginär sind.
 Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal
 :$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$
-am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
+am Eingang des Phasenmodulators anliegt.
 Im Fragebogen bezeichnen
-*$S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des  äquivalenten TP–Signals,
+*$S_{\rm TP}(f)$&nbsp; die Spektralfunktion des  äquivalenten TP–Signals,
-*$S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
+*$S_+(f)$&nbsp; die Spektralfunktionen des analytischem Signals,
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul [[Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung]] nutzen.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]] benutzen.
-−

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(kein Unterschied)

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 <quiz display=simple>
-{Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$?
+{Es gelte $q(t) = q_1(t)+q_2(t)$. Welche geometrische Figur beschreibt die angegebene Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$?
 |type="[]"}
 -  Die Ortskurve ist eine Ellipse.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen, dessen Öffnungswinkel $2 · K_{PM} · q_{max} = 2.9 (≈ π = 180 °)$ beträgt. Richtig ist somit die dritte Alternative.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>dritte Antwort</u>:
-'''2.'''  Es gilt $S_{TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5$ kHz beschränkt: $f_{min} = –5 kHz$, $f_{max} = 5 kHz$.
+'''(2)'''&nbsp; Es gilt $S_{\rm TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 \ \rm kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 \ \rm  kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5 \ \rm kHz$ beschränkt. Daraus folgt:
-'''5.'''  Die Diraclinie $S_+(f = 98 kHz)$ entspricht der $S_{TP}(f)$–Linie bei $f = –2 kHz$. Diese ist
-$$S_{\rm TP}(f = -2\,{\rm kHz}) =  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) +$$
+'''(5)'''&nbsp; Die Diraclinie $S_+(f = 98 \ \rm kHz)$ entspricht der $S_{\rm TP}(f)$–Linie bei $f = -2 \ \rm kHz$. Diese ist
-$$  +  B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = -3\,{\rm kHz})=$$
+:$$S_{\rm TP}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -2\,{\rm kHz}) \hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm}  B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0) +
-$$= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}= 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
+  B_{1}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} -3\,{\rm kHz})= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}\hspace{-0.03cm}=\hspace{-0.03cm} 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}