Aufgaben:Aufgabe 3.3: Rauschen bei Kanalentzerrung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:24Z

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.3 Kanalverzerrungen und Entzerrung^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.3 Kanalverzerrungen und Entzerrung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.3:_Noise_at_Channel_Equalization]]

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2026-02-25T13:19:28Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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Zeile 80:		Zeile 80:

	'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:		'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
	:$$\alpha^2 = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d^2}= \frac{10^{-9} \cdot s_0^2 \cdot T \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d^2} = 10^{-9} \cdot \frac{ f_{\rm G} \~~cdotT~~}{\sqrt{2} \cdot (\sigma_d/s_0)^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha^2 = 10^{-9} \cdot \frac{0.35}{\sqrt{2} \cdot 0.044^2} \approx 1.28 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha^2 = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d^2}= \frac{10^{-9} \cdot s_0^2 \cdot T \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d^2} = 10^{-9} \cdot \frac{ f_{\rm G} \cdot T}{\sqrt{2} \cdot (\sigma_d/s_0)^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha^2 = 10^{-9} \cdot \frac{0.35}{\sqrt{2} \cdot 0.044^2} \approx 1.28 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

	In  ${\rm dB}$  ausgedrückt erhält man somit		In  ${\rm dB}$  ausgedrückt erhält man somit
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	den maximalen Wert besitzt.  Mit  $x = f \cdot T$  gilt somit für die Optimierungsfunktion:		den maximalen Wert besitzt.  Mit  $x = f \cdot T$  gilt somit für die Optimierungsfunktion:
	:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{26}{2\cdot \sqrt{x}} - 13 \cdot 2 \cdot x = 0$$		:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{26}{2\cdot \sqrt{x}} - 13 \cdot 2 \cdot x = 0$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1} { \sqrt{x}} = 2 \cdot x\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1} { x} = 4 \~~cdotx~~^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x^3 = 0.25\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x \approx 0.63\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1} { \sqrt{x}} = 2 \cdot x\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1} { x} = 4 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x^3 = 0.25\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x \approx 0.63\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ergibt sich  $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.		Damit ergibt sich  $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:16Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Wir betrachten zwei unterschiedliche Systemvarianten,  die beide NRZ–Rechteck–Sendeimpulse benutzen und durch AWGN–Rauschen beeinträchtigt werden.		Wir betrachten zwei unterschiedliche Systemvarianten,  die beide NRZ–Rechteck–Sendeimpulse benutzen und durch AWGN–Rauschen beeinträchtigt werden.
	*In beiden Fällen wird zur Rauschleistungsbegrenzung ein Gaußtiefpass		*In beiden Fällen wird zur Rauschleistungsbegrenzung ein Gaußtiefpass
	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm exp}(- \pi \cdot		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm exp}(- \pi \cdot\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$
	\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$

	:mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$  verwendet,  so dass beide Systeme mit  $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$  auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.		:mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$  verwendet,  so dass beide Systeme mit  $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$  auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.
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	Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:		Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:
	* Der Kanalfrequenzgang von System  $\rm A$  ist frequenzunabhängig:   $H_{\rm K}(f) = \alpha$.  Für das Empfangsfilter ist demnach  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$  anzusetzen,  so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:		* Der Kanalfrequenzgang von System  $\rm A$  ist frequenzunabhängig:   $H_{\rm K}(f) = \alpha$.  Für das Empfangsfilter ist demnach  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$  anzusetzen,  so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:
	:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$
	\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}
	\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$
	* Dagegen ist für System  $\rm B$  ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate)  $a_* = 80 \, {\rm dB}$  $($bzw.  $9.2 \, {\rm Np})$  vorausgesetzt,  so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:		* Dagegen ist für System  $\rm B$  ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate)  $a_* = 80 \, {\rm dB}$  $($bzw.  $9.2 \, {\rm Np})$  vorausgesetzt,  so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot		:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$
	* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider  $($mit  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35)$:		* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider  $($mit  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35)$:
	:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G		:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left[18.4 \cdot \sqrt{2 f T} - 2\pi \cdot \frac{(f \cdot T)^2}{(2 \cdot 0.35)^2}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
	}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left
	[18.4 \cdot \sqrt{2 f T} - 2\pi \cdot \frac{(f \cdot T)^2}{(2 \cdot 0.35)^2}
	\right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Funktionsverlauf  $\rm B$  ist in obiger Grafik rot dargestellt.  Die Rauchleistungsdichte für das System  $\rm A$  ist blau gezeichnet.		Dieser Funktionsverlauf  $\rm B$  ist in obiger Grafik rot dargestellt.  Die Rauchleistungsdichte für das System  $\rm A$  ist blau gezeichnet.

	Für das System  $\rm B$  wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit		Für das System  $\rm B$  wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}		:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$
	\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$

	bestimmt.  Die Messung ergab  $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$,  was dem Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$  entspricht.		bestimmt.  Die Messung ergab  $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$,  was dem Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$  entspricht.
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$ folgt $\rho_{\rm U} = 10^{\rm 1.48} ≈ 30.2$  und weiter mit der angegebenen Gleichung:		'''(1)'''  Aus  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$ folgt $\rho_{\rm U} = 10^{\rm 1.48} ≈ 30.2$  und weiter mit der angegebenen Gleichung:
	:$$\sqrt{\rho_{\rm U}} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\sqrt{\rho_{\rm U}} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_d = \frac{0.478 \cdot s_0/2}{ \sqrt{30.2}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.044 \cdot s_0 }\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \sigma_d = \frac{0.478 \cdot s_0/2}{ \sqrt{30.2}}
	\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.044 \cdot s_0 }\hspace{0.05cm}.$$


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	'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:		'''(3)'''  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
	:$$\alpha^2 = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d^2}		:$$\alpha^2 = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d^2}= \frac{10^{-9} \cdot s_0^2 \cdot T \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d^2} = 10^{-9} \cdot \frac{ f_{\rm G} \cdotT}{\sqrt{2} \cdot (\sigma_d/s_0)^2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha^2 = 10^{-9} \cdot \frac{0.35}{\sqrt{2} \cdot 0.044^2} \approx 1.28 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{10^{-9} \cdot s_0^2 \cdot T \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}
	\cdot \sigma_d^2} = 10^{-9} \cdot \frac{ f_{\rm G} \~~cdot~~
	T}{\sqrt{2} \cdot (\sigma_d/s_0)^2}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha^2 = 10^{-9} \cdot \frac{
	0.35}{\sqrt{2} \cdot 0.044^2} \approx 1.28 \cdot 10^{-7}
	\hspace{0.05cm}.$$

	In  ${\rm dB}$  ausgedrückt erhält man somit		In  ${\rm dB}$  ausgedrückt erhält man somit
	:$$20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha^2 =		:$$20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha^2 =-70\,{\rm dB}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}1.28\hspace{0.15cm}\underline { =-68.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
	-70\,{\rm dB}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}1.28\hspace{0.15cm}\underline { =
	-68.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$


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	den maximalen Wert besitzt.  Mit  $x = f \cdot T$  gilt somit für die Optimierungsfunktion:		den maximalen Wert besitzt.  Mit  $x = f \cdot T$  gilt somit für die Optimierungsfunktion:
	:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot		:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{26}{2\cdot \sqrt{x}} - 13 \cdot 2 \cdot x = 0$$
	\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1} { \sqrt{x}} = 2 \cdot x\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1} { x} = 4 \cdotx^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x^3 = 0.25\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x \approx 0.63\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{26}
	{2\cdot \sqrt{x}} - 13 \cdot 2 \cdot x = 0$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1} { \sqrt{x}} = 2 \cdot x
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1} { x} = 4 \~~cdot~~
	x^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x^3 = 0.25
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x \approx 0.63
	\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ergibt sich  $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.		Damit ergibt sich  $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.
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	[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$]]		[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$]]
	:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2		:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$
	Daraus folgt:		Daraus folgt:
	*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz  $f \cdot T \approx 0.63$  um den Faktor  $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$  größer ist als bei der Frequenz  $f = 0$.		*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz  $f \cdot T \approx 0.63$  um den Faktor  $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$  größer ist als bei der Frequenz  $f = 0$.

Guenter am 19. Juni 2022 um 10:36 Uhr

2022-06-19T10:36:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2022, 12:36 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$ folgt $\rho_{\rm U} = 10^{\rm 1.48} ≈ 30.2$ und weiter mit der angegebenen Gleichung:		'''(1)'''  Aus  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$ folgt $\rho_{\rm U} = 10^{\rm 1.48} ≈ 30.2$  und weiter mit der angegebenen Gleichung:
	:$$\sqrt{\rho_{\rm U}} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\sqrt{\rho_{\rm U}} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} \sigma_d = \frac{0.478 \cdot s_0/2}{ \sqrt{30.2}}		\hspace{0.3cm} \sigma_d = \frac{0.478 \cdot s_0/2}{ \sqrt{30.2}}
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	'''(2)'''  Bei gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ (und damit gleichem $\rho_{\rm U}$) muss $\sigma_d$ genau den gleichen Wert besitzen wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet, da auch die Augenöffnung gleich bleibt   ⇒   $\sigma_d/s_0 \underline{= 0.044}.$		'''(2)'''  Bei gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  $($und damit gleichem $\rho_{\rm U})$  muss  $\sigma_d$  genau den gleichen Wert besitzen wie in der Teilaufgabe  '''(1)'''  berechnet,  da auch die Augenöffnung gleich bleibt   ⇒   $\sigma_d/s_0 \underline{= 0.044}.$


Zeile 98:		Zeile 98:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	In ${\rm dB}$ ausgedrückt erhält man somit		In  ${\rm dB}$  ausgedrückt erhält man somit
	:$$20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha^2 =		:$$20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\alpha^2 =
	-70\,{\rm dB}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}1.28\hspace{0.15cm}\underline { =		-70\,{\rm dB}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}1.28\hspace{0.15cm}\underline { =
Zeile 104:		Zeile 104:


	'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  ist wegen $H_{\rm E}(f = 0) = 1$ der normierte Wert gleich $1$, das heißt, es ist ${\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0) = N_0/2$.		'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  ist wegen  $H_{\rm E}(f = 0) = 1$  der normierte Wert gleich  $1$,  das heißt,  es ist  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0) = N_0/2$.

	Dagegen ist bei System  $\rm A$  dieser Wert aufgrund der Komponenten der frequenzunabhängigen Kabeldämpfung $\alpha$ um $1/\alpha^2$ größer:		*Dagegen ist bei System  $\rm A$  dieser Wert aufgrund der Komponenten der frequenzunabhängigen Kabeldämpfung  $\alpha$  um  $1/\alpha^2$  größer:
	:$${\rm System}\hspace{0.15cm}{\rm A:}\hspace{0.1cm}\frac{{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f = 0)}{N_0/2} = \frac{1}{\alpha^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.8 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}, \hspace{1.05cm}{\rm System\hspace{0.15cm}B}: \frac{{\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0)}{N_0/2} \, \underline {= 1}.$$		:$${\rm System}\hspace{0.15cm}{\rm A:}\hspace{0.1cm}\frac{{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f = 0)}{N_0/2} = \frac{1}{\alpha^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.8 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}, \hspace{1.05cm}{\rm System\hspace{0.15cm}B}: \frac{{\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0)}{N_0/2} \, \underline {= 1}.$$


	'''(5)'''  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$ ist maximal, wenn der Exponent		'''(5)'''  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$  ist maximal,  wenn der Exponent
	:$$18.4 \cdot \sqrt{2 f T} - 2\pi \cdot \frac{(f \cdot T)^2}{0.49}$$		:$$18.4 \cdot \sqrt{2 f T} - 2\pi \cdot \frac{(f \cdot T)^2}{0.49}$$

	den maximalen Wert besitzt. Mit $x = f \cdot T$ gilt somit für die Optimierungsfunktion:		den maximalen Wert besitzt.  Mit  $x = f \cdot T$  gilt somit für die Optimierungsfunktion:
	:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot		:$$y(x) = 26.022 \cdot \sqrt{x} - 12.823 \cdot x^2 \approx 26 \cdot
	\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}		\sqrt{x} - 13 \cdot x^2 \hspace{0.3cm}
Zeile 124:		Zeile 124:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ergibt sich $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.		Damit ergibt sich  $f_{\rm max} \cdot T\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.63}$.


	'''(6)'''  Mit $x_{\rm max} = 0.63$ erhält man den Funktionswert		'''(6)'''  Mit  $x_{\rm max} = 0.63$  erhält man den Funktionswert

			[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$]]
	:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2		:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2
	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$
	~~[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$]]~~
	Daraus folgt:		Daraus folgt:
	*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz $f \cdot T \approx 0.63$ um den Faktor $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$ größer ist als bei der Frequenz $f = 0$.		*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz  $f \cdot T \approx 0.63$  um den Faktor  $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$  größer ist als bei der Frequenz  $f = 0$.

	*Im Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$ überwiegen somit periodische Anteile mit der Periodendauer $T_0 \approx 1.6 \cdot T$.		*Im Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  überwiegen somit periodische Anteile mit der Periodendauer  $T_0 \approx 1.6 \cdot T$.

	*Die Grafik zeigt eine Simulation und bestätigt dieses Ergebnis.		*Die Grafik zeigt eine Simulation und bestätigt dieses Ergebnis.

Guenter am 19. Juni 2022 um 10:26 Uhr

2022-06-19T10:26:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2022, 12:26 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|"Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung"]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|"Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung"]].

	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].

Guenter am 19. Juni 2022 um 10:26 Uhr

2022-06-19T10:26:06Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:11Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

Guenter am 19. Februar 2019 um 16:09 Uhr

2019-02-19T16:09:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2019, 18:09 Uhr
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	\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.044 \cdot s_0 }\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.044 \cdot s_0 }\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Bei gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ (und damit gleichem $\rho_{\rm U}$) muss $\sigma_d$ genau den gleichen Wert besitzen wie in der Teilaufgabe (a) berechnet, da auch die Augenöffnung gleich bleibt   ⇒   $\sigma_d/s_0 \underline{= 0.044}.$
			'''(2)'''  Bei gleicher Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ (und damit gleichem $\rho_{\rm U}$) muss $\sigma_d$ genau den gleichen Wert besitzen wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet, da auch die Augenöffnung gleich bleibt   ⇒   $\sigma_d/s_0 \underline{= 0.044}.$


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	-68.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$		-68.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Beim System ~~'''~~B~~'''~~ ist wegen $H_{\rm E}(f = 0) = 1$ der normierte Wert gleich $1$, das heißt, es ist ${\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0) = N_0/2$. Dagegen ist bei System ~~'''~~A~~'''~~ dieser Wert aufgrund der Komponenten der frequenzunabhängigen Kabeldämpfung $\alpha$ um $1/\alpha^2$ größer:
			'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  ist wegen $H_{\rm E}(f = 0) = 1$ der normierte Wert gleich $1$, das heißt, es ist ${\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0) = N_0/2$.

			Dagegen ist bei System  $\rm A$  dieser Wert aufgrund der Komponenten der frequenzunabhängigen Kabeldämpfung $\alpha$ um $1/\alpha^2$ größer:
	:$${\rm System}\hspace{0.15cm}{\rm A:}\hspace{0.1cm}\frac{{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f = 0)}{N_0/2} = \frac{1}{\alpha^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.8 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}, \hspace{1.05cm}{\rm System\hspace{0.15cm}B}: \frac{{\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0)}{N_0/2} \, \underline {= 1}.$$		:$${\rm System}\hspace{0.15cm}{\rm A:}\hspace{0.1cm}\frac{{\it \Phi}_{d{\rm N}}(f = 0)}{N_0/2} = \frac{1}{\alpha^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.8 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}, \hspace{1.05cm}{\rm System\hspace{0.15cm}B}: \frac{{\it \Phi}_{d \rm N}(f = 0)}{N_0/2} \, \underline {= 1}.$$


	'''(5)'''  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$ ist maximal, wenn der Exponent		'''(5)'''  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$ ist maximal, wenn der Exponent
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	'''(6)'''  Mit $x_{\rm max} = 0.63$ erhält man den Funktionswert		'''(6)'''  Mit $x_{\rm max} = 0.63$ erhält man den Funktionswert

	:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2		:$$y(x_{\rm max}) \approx 26 \cdot \sqrt{0.63} - 13 \cdot 0.63^2
	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.477}.$$
			[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$]]
	Daraus folgt:		Daraus folgt:
	*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz $f \cdot T \approx 0.63$ um den Faktor $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$ größer ist als bei der Frequenz $f = 0$.		*Die Rauschleistungsdichte ist bei der (normierten) Frequenz $f \cdot T \approx 0.63$ um den Faktor $e^{\rm 15.5} \underline{\approx 5.4 \cdot 10^6}$ größer ist als bei der Frequenz $f = 0$.
	~~[[Datei:P_ID1408__Dig_A_3_3f.png\|frame\|right\|Rauschanteil $d_{{\rm N}(t)}$]]~~
	*Im Rauschanteil $d_{{\rm N}(t)}$ überwiegen somit periodische Anteile mit der Periodendauer $T_0 \approx 1.6 \cdot T$.		*Im Rauschanteil $d_{\rm N}(t)$ überwiegen somit periodische Anteile mit der Periodendauer $T_0 \approx 1.6 \cdot T$.
	*Die Grafik zeigt eine Simulation und bestätigt dieses Ergebnis.		*Die Grafik zeigt eine Simulation und bestätigt dieses Ergebnis.

Guenter am 19. Februar 2019 um 15:56 Uhr

2019-02-19T15:56:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2019, 17:56 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$		\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$

	:mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$ verwendet, so dass beide Systeme mit $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$ auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.		:mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$  verwendet, so dass beide Systeme mit  $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$  auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.
	*Die pro Bit aufgewendete Sendeenergie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$ ist um den Faktor $10^9$ größer als die Rauschleistungsdichte $N_0$   ⇒   $10\cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 90 \, {\rm dB}$.		*Die pro Bit aufgewendete Sendeenergie  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  ist um den Faktor  $10^9$  größer als die Rauschleistungsdichte  $N_0$   ⇒   $10\cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 90 \, {\rm dB}$.


	Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:		Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:
	* Der Kanalfrequenzgang von System ~~'''~~A~~'''~~ ist frequenzunabhängig: $H_{\rm K}(f) = \alpha$. Für das Empfangsfilter ist demnach $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$ anzusetzen, so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:		* Der Kanalfrequenzgang von System  $\rm A$  ist frequenzunabhängig:   $H_{\rm K}(f) = \alpha$. Für das Empfangsfilter ist demnach  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$  anzusetzen, so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:
	:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
	\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}		\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}
	\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$		\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$
	* Dagegen ist für System ~~'''~~B~~'''~~ ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate) $a_* = 80 \, {\rm dB}$ (bzw. $9.2 \, {\rm Np}$) vorausgesetzt, so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:		* Dagegen ist für System  $\rm B$  ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate)  $a_* = 80 \, {\rm dB}$  $($bzw.  $9.2 \, {\rm Np})$  vorausgesetzt, so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot		:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$
	* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider (mit $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$):		* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider $($mit  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35)$:
	:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G		:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G
	}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left		}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left
Zeile 27:		Zeile 27:
	\right ] \hspace{0.05cm}.$$		\right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Funktionsverlauf ~~'''~~B~~'''~~ ist in obiger Grafik rot dargestellt. Die Rauchleistungsdichte für das System ~~'''~~A~~'''~~ ist blau gezeichnet.		Dieser Funktionsverlauf  $\rm B$  ist in obiger Grafik rot dargestellt. Die Rauchleistungsdichte für das System  $\rm A$  ist blau gezeichnet.

	Für das System ~~'''~~B~~'''~~ wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit		Für das System  $\rm B$  wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}		:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}
	\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$		\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$

	bestimmt. Die Messung ergab $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$, was dem Störabstand $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$ entspricht.		bestimmt. Die Messung ergab  $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$, was dem Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$  entspricht.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].


Zeile 46:		Zeile 50:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welcher (normierter) Störeffektivwert tritt bei System ~~'''~~B~~'''~~ auf?		{Welcher (normierter) Störeffektivwert tritt bei System  $\rm B$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\text{System B:}\hspace{0.4cm}~~ \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }		$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }

	{Welcher Störeffektivwert tritt bei System ~~'''~~A~~'''~~ auf, wenn dieses zur genau gleichen (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System ~~'''~~B~~'''~~ führt?		{Welcher Störeffektivwert tritt bei System  $\rm A$  auf, wenn dieses zur genau gleichen (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System  $\rm B$  führt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\text{System A:}\hspace{0.4cm}~~ \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }		$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }

	{Mit welchem Dämpfungsfaktor $\alpha$ ist das System ~~'''~~A~~'''~~ dem System ~~'''~~B~~'''~~ bezüglich der (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit äquivalent?		{Mit welchem Dämpfungsfaktor  $\alpha$  ist das System  $\rm A$  dem System  $\rm B$  bezüglich der (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit äquivalent?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\text{System A:}\hspace{0.4cm}~~ 20 \cdot {\rm lg} \ \alpha \ = \ $ { -70.967--66.833 } ${\ \rm dB}$		$20 \cdot {\rm lg} \ \alpha \ = \ $ { -70.967--66.833 } ${\ \rm dB}$

	{Wie groß ist die auf $N_0/2$ bezogene Rauschleistungsdichte (bei $f = 0$) vor dem Entscheider für System ~~'''~~A~~'''~~ bzw. System ~~'''~~B~~'''~~?		{Wie groß ist die auf  $N_0/2$  bezogene Rauschleistungsdichte  $($bei  $f = 0)$  vor dem Entscheider für System  $\rm A$  bzw. System  $\rm B$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{System A:}\hspace{0.4cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 7.8 3% } $\ \cdot 10^6$		$\text{System A:}\hspace{0.4cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 7.8 3% } $\ \cdot 10^6$
	$\text{System B:}\hspace{0.42cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^0$		$\text{System B:}\hspace{0.42cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^0$

	{Für den Rest der Aufgabe betrachten wir ausschließlich das System ~~'''~~B~~'''~~. Bei welcher Frequenz $f_{\rm max}$ besitzt ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$ sein Maximum?		{Für den Rest der Aufgabe betrachten wir ausschließlich das System  $\rm B$. Bei welcher Frequenz  $f_{\rm max}$  besitzt  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$  sein Maximum?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\text{System B:}\hspace{0.4cm}~~ f_{\rm max} \cdot T\ = \ ${ 0.63 3% }		$f_{\rm max} \cdot T\ = \ ${ 0.63 3% }

	{Um welchen Faktor ist die Rauschleistungsdichte bei der Frequenz $f_{\rm max}$ größer als bei $f = 0$?		{Um welchen Faktor ist die Rauschleistungsdichte bei der Frequenz  $f_{\rm max}$  größer als bei  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_{d \rm N}(f_{\rm max})/{\it \Phi}_{d \rm N}(0)\ = \ $ { 5.4 3% } $\ \cdot 10^6$		${\it \Phi}_{d \rm N}(f_{\rm max})/{\it \Phi}_{d \rm N}(0)\ = \ $ { 5.4 3% } $\ \cdot 10^6$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2022, 12:26 Uhr
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	[[Datei:P_ID1407__Dig_A_3_3.png \|right\|frame\|Rausch–LDS vor dem Entscheider]]		[[Datei:P_ID1407__Dig_A_3_3.png \|right\|frame\|Rausch–LDS vor dem Entscheider]]
	Wir betrachten zwei unterschiedliche Systemvarianten, die beide NRZ–Rechteck–Sendeimpulse benutzen und durch AWGN–Rauschen beeinträchtigt werden.		Wir betrachten zwei unterschiedliche Systemvarianten,  die beide NRZ–Rechteck–Sendeimpulse benutzen und durch AWGN–Rauschen beeinträchtigt werden.
	*In beiden Fällen wird zur Rauschleistungsbegrenzung ein Gaußtiefpass		*In beiden Fällen wird zur Rauschleistungsbegrenzung ein Gaußtiefpass
	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm exp}(- \pi \cdot		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm exp}(- \pi \cdot
	\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$		\frac{f^2}{(2f_{\rm G})^2})$$

	:mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$  verwendet, so dass beide Systeme mit  $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$  auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.		:mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$  verwendet,  so dass beide Systeme mit  $\ddot{o}(T_{\rm D} = 0) = 0.478 \cdot s_0$  auch die gleiche Augenöffnung aufweisen.

	*Die pro Bit aufgewendete Sendeenergie  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  ist um den Faktor  $10^9$  größer als die Rauschleistungsdichte  $N_0$   ⇒   $10\cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 90 \, {\rm dB}$.		*Die pro Bit aufgewendete Sendeenergie  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  ist um den Faktor  $10^9$  größer als die Rauschleistungsdichte  $N_0$   ⇒   $10\cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 90 \, {\rm dB}$.


	Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:		Die beiden Systeme unterscheiden sich wie folgt:
	* Der Kanalfrequenzgang von System  $\rm A$  ist frequenzunabhängig:   $H_{\rm K}(f) = \alpha$. Für das Empfangsfilter ist demnach  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$  anzusetzen, so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:		* Der Kanalfrequenzgang von System  $\rm A$  ist frequenzunabhängig:   $H_{\rm K}(f) = \alpha$.  Für das Empfangsfilter ist demnach  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)/\alpha$  anzusetzen,  so dass für die Detektionsrauschleistung gilt:
	:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
	\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}		\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}
	\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$		\cdot \alpha^2} \hspace{0.05cm}.$$
	* Dagegen ist für System  $\rm B$  ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate)  $a_* = 80 \, {\rm dB}$  $($bzw.  $9.2 \, {\rm Np})$  vorausgesetzt, so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:		* Dagegen ist für System  $\rm B$  ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Dämpfung (bei der halben Bitrate)  $a_* = 80 \, {\rm dB}$  $($bzw.  $9.2 \, {\rm Np})$  vorausgesetzt,  so dass für den Betragsfrequenzgang gilt:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot		:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm e}^{- 9.2 \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{2 f T}}\hspace{0.05cm}.$$
	* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider $($mit  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35)$:		* Somit lautet die Gleichung für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider  $($mit  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35)$:
	:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G		:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = {N_0}/{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G
	}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left		}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} = {N_0}/{2} \cdot {\rm exp}\left
Zeile 27:		Zeile 28:
	\right ] \hspace{0.05cm}.$$		\right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Funktionsverlauf  $\rm B$  ist in obiger Grafik rot dargestellt. Die Rauchleistungsdichte für das System  $\rm A$  ist blau gezeichnet.		Dieser Funktionsverlauf  $\rm B$  ist in obiger Grafik rot dargestellt.  Die Rauchleistungsdichte für das System  $\rm A$  ist blau gezeichnet.

	Für das System  $\rm B$  wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit		Für das System  $\rm B$  wurde messtechnisch die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
Zeile 33:		Zeile 34:
	\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$		\right) \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.2cm} \rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}$$

	bestimmt. Die Messung ergab  $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$, was dem Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$  entspricht.		bestimmt.  Die Messung ergab  $p_{\rm U} = 4 \cdot 10^{\rm -8}$,  was dem Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} = 14.8 \, {\rm dB}$  entspricht.


Zeile 41:		Zeile 42:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|"Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung"]].

	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

Zeile 50:		Zeile 52:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welcher (normierter) Störeffektivwert tritt bei System  $\rm B$  auf?		{Welcher  (normierter)  Störeffektivwert tritt bei System  $\rm B$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }		$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }

	{Welcher Störeffektivwert tritt bei System  $\rm A$  auf, wenn dieses zur genau gleichen (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System  $\rm B$  führt?		{Welcher Störeffektivwert tritt bei System  $\rm A$  auf,  wenn dieses zur genau gleichen (ungünstigsten) Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System  $\rm B$  führt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }		$\sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.044 3% }
Zeile 67:		Zeile 69:
	$\text{System B:}\hspace{0.42cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^0$		$\text{System B:}\hspace{0.42cm} {\it \Phi}_{d \rm N} (f = 0)/(N_0/2) \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^0$

	{Für den Rest der Aufgabe betrachten wir ausschließlich das System  $\rm B$. Bei welcher Frequenz  $f_{\rm max}$  besitzt  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$  sein Maximum?		{Für den Rest der Aufgabe betrachten wir ausschließlich das System  $\rm B$.  Bei welcher Frequenz  $f_{\rm max}$  besitzt  ${\it \Phi}_{d \rm N}(f)$  sein Maximum?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm max} \cdot T\ = \ ${ 0.63 3% }		$f_{\rm max} \cdot T\ = \ ${ 0.63 3% }