Aufgaben:Aufgabe 3.3: Momente bei cos²-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Januar 2022 um 13:59 Uhr

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Guenter am 5. Januar 2022 um 13:55 Uhr

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Guenter am 5. Januar 2022 um 13:54 Uhr

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Guenter am 5. Januar 2022 um 13:53 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:48 Uhr

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Guenter am 15. November 2019 um 14:40 Uhr

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Guenter am 8. August 2018 um 13:19 Uhr

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Guenter am 8. August 2018 um 13:10 Uhr

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Guenter am 8. August 2018 um 13:09 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Unter allen Umst&auml;nden richtig sind <u>die Aussagen 3, 4 und 5</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Unter allen Umst&auml;nden richtig sind&nbsp; <u>die Aussagen 3, 4 und 5</u>:
-*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt, wie aus dem&nbsp; <i>Satz von Steiner</i>&nbsp; ersichtlich ist.
+*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt,&nbsp; wie aus dem&nbsp; "Satz von Steiner"&nbsp; ersichtlich ist.
-*Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall&nbsp; $x = 0$.
+*Die zweite Aussage gilt nur im&nbsp; (trivialen)&nbsp; Sonderfall&nbsp; $x = 0$.
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 '''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gleich der Streuung&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz&nbsp; $\sigma_x^2$.
-*Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; den Mittelwert&nbsp; $m_x {= 0}$&nbsp; aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert.
+*Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; den Mittelwert&nbsp; $m_x {= 0}$&nbsp; aufweist,&nbsp; ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert.
-*Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung&nbsp; $($bezogen auf&nbsp; $1 \ \rm \Omega)$&nbsp; bezeichnet. Somit gilt:
+*Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung&nbsp; $($bezogen auf&nbsp; $1 \ \rm \Omega)$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Somit gilt:
 :$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>erstgenannte Vorschlag</u>:
 * Die Variante&nbsp; $y = 2x$&nbsp; w&uuml;rde eine zwischen&nbsp; $-4$&nbsp; und&nbsp; $+4$&nbsp; verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e liefern.
 *Beim letzten Vorschlag&nbsp; $y = x/2-1$&nbsp; w&auml;re der Mittelwert&nbsp; $m_y = -1$.
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-'''(5)'''&nbsp; Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass&nbsp; $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$&nbsp; gelten muss.
+'''(5)'''&nbsp; Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich,&nbsp; dass&nbsp; $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$&nbsp; gelten muss.

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−	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente\|Erwartungswerte und Momente]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente\|Erwartungswerte und Momente]].

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 [[Datei:P_ID119__Sto_A_3_3.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;WDF <br>und eine ähnliche WDF]]
-Wie in&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]]&nbsp; und&nbsp; [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]]&nbsp; betrachten wir die auf den Wertebereich von&nbsp; $-2$&nbsp; bis&nbsp; $+2$&nbsp; beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
+Wie in&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]]&nbsp; und&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_VTF_zur_Aufgabe_3.1|Aufgabe 3.2]]&nbsp; betrachten wir die auf den Wertebereich von&nbsp; $-2$&nbsp; bis&nbsp; $+2$&nbsp; beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
 :$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

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 :$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
-Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$, die nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$&nbsp; mit folgender WDF liefert:
+Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$,&nbsp; die nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$&nbsp; mit folgender WDF liefert:
 :$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot  y).$$
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-{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals&nbsp; $x(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil&nbsp; (lineare Mittelwert)&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $ { 0. }
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-{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; lässt sich aus&nbsp; $x$&nbsp; ableiten. Welche Zuordnung gilt?
+{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; lässt sich aus&nbsp; $x$&nbsp; ableiten.&nbsp; Welche Zuordnung gilt?
 |type="()"}
 + $y = 1+x/2.$

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 {Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; lässt sich aus&nbsp; $x$&nbsp; ableiten. Welche Zuordnung gilt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $y = 1+x/2.$
 - $y = 2x.$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Unter allen Umst&auml;nden richtig sind <u>die Aussagen 3, 4 und 5</u>:
-*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt, wie aus dem <i>Satz von Steiner</i> ersichtlich ist.
+*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt, wie aus dem&nbsp; <i>Satz von Steiner</i>&nbsp; ersichtlich ist.
-*Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.
+*Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall&nbsp; $x = 0$.
 Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgr&ouml;&szlig;en mit unsymmetrischer WDF.
-*Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
+*Das bedeutet: &nbsp;Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
 '''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$.
 *Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert.
-*Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gleich der Streuung&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz&nbsp; $\sigma_x^2$.
 :$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
-Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus:
+*Mit der Beziehung&nbsp; $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$&nbsp; folgt daraus:
 :$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x  +  \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
-Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit $a = \pi/2$:
+*Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit&nbsp; $a = \pi/2$:
 :$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6}  +  \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a  x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot  x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm}
 \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>:
-* Die Variante $y = 2x$ w&uuml;rde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e liefern.
+* Die Variante&nbsp; $y = 2x$&nbsp; w&uuml;rde eine zwischen&nbsp; $-4$&nbsp; und&nbsp; $+4$&nbsp; verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e liefern.
-*Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ w&auml;re der Mittelwert $m_y = -1$.
+*Beim letzten Vorschlag&nbsp; $y = x/2-1$&nbsp; w&auml;re der Mittelwert&nbsp; $m_y = -1$.
 '''(6)'''&nbsp; Der Mittelwert &auml;ndert nichts an der Varianz und an der Streuung.
-:Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe '''(3)''' ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
+*Durch die Stauchung um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
 :$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID119__Sto_A_3_3.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;WDF <br>und ähnliche WDF]]
+[[Datei:P_ID119__Sto_A_3_3.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;WDF <br>und eine ähnliche WDF]]
-Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
+Wie in&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]]&nbsp; und&nbsp; [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]]&nbsp; betrachten wir die auf den Wertebereich von&nbsp; $-2$&nbsp; bis&nbsp; $+2$&nbsp; beschr&auml;nkte Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
 :$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
-Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
+Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$, die nur Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2$&nbsp; mit folgender WDF liefert:
 :$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot  y).$$
 *Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
-*Au&szlig;erhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ &nbsp;bzw.&nbsp; $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ &nbsp;bzw.&nbsp;  $f_y(y) = 0$.
+*Au&szlig;erhalb der Bereiche&nbsp; $-2 < x < +2$ &nbsp;bzw.&nbsp; $0 < x < +2$&nbsp; gilt jeweils&nbsp; $f_x(x) = 0$ &nbsp;bzw.&nbsp;  $f_y(y) = 0$.
-*Beide Zufallsgr&ouml;&szlig;en können als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.
+*Beide Zufallsgr&ouml;&szlig;en können als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $y(t)$&nbsp; aufgefasst werden.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 *F&uuml;r die L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; zu?
-<br>Verwendet sind folgende Größen: &nbsp; linearer Mittelwert $m_1$, quadratischer Mittelwert $m_2$, Varianz $\sigma^2$.
+<br>Verwendet sind folgende Größen: &nbsp; linearer Mittelwert&nbsp; $m_1$,&nbsp; quadratischer Mittelwert&nbsp; $m_2$,&nbsp; Varianz&nbsp; $\sigma^2$.
 |type="[]"}
-- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
+- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $m_1 \ne 0$.
-- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 = 0$.
+- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $m_1 = 0$.
-+ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_2 = 0$.
++ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $m_2 = 0$.
-+ $m_2 > \sigma^2$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
++ $m_2 > \sigma^2$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $m_1 \ne 0$.
-+ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
++ $m_1 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $f_x(-x) = f_x(x)$.
-- $f_x(-x) = f_x(x)$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 = 0$.
+- $f_x(-x) = f_x(x)$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls &nbsp; $m_1 = 0$.
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $ { 0. }
-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ =  \ $ { 0.722 3% }
-{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ lässt sich aus $x$ ableiten. Welche Zuordnung gilt?
+{Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; lässt sich aus&nbsp; $x$&nbsp; ableiten. Welche Zuordnung gilt?
 |type="[]"}
 + $y = 1+x/2.$
@@ Zeile 57: / Zeile 60: @@
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $m_y\ =  \ $   { 1 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_y\ =  \ $ { 0.361 3% }