Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: si-Quadrat-Spektrum mit Diracs - Versionsgeschichte

Guenter am 21. April 2021 um 14:37 Uhr

2021-04-21T14:37:32Z

Guenter am 21. April 2021 um 14:33 Uhr

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2019-09-25T15:12:45Z

Guenter am 25. September 2019 um 15:09 Uhr

2019-09-25T15:09:55Z

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2019-09-25T15:05:50Z

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2018-07-23T15:07:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 09:04 Uhr

2018-01-16T09:04:56Z

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−	'''(2)'''  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei  $f = 0$  gegeben. Man erhält  ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.	+	'''(2)'''  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei  $f = 0$  gegeben.  Man erhält  ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.

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 }}
-[[Datei:P_ID496__Sig_Z_3_2_neu.png|right|frame|$\rm si$-Quadrat-Spektrum mit Diracs]]
+[[Datei:P_ID496__Sig_Z_3_2_neu.png|right|frame|$\rm si^2$&ndash;Spektrum mit Diracs]]
 Das skizzierte Spektrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; eines Zeitsignals&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; setzt sich zusammen aus
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 Der kontinuierliche Anteil lautet mit&nbsp; $f_0 = 200\, \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:
 :$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
-Die Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat das Gewicht&nbsp; $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen&nbsp; $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht&nbsp; $0.5\,\text{V}$.
+Die Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat das Gewicht&nbsp; $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$.&nbsp; Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen&nbsp; $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht&nbsp; $0.5\,\text{V}$.

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 '''(1)'''&nbsp;  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt&nbsp; $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm &micro; s}}$.
-*Der Spektralwert&nbsp; $X_0 = X_1(f = 0)$&nbsp; gibt die Impulsfläche von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; an. Diese ist gleich&nbsp; ${A} \cdot {T}$.&nbsp; Daraus folgt:
+*Der Spektralwert&nbsp; $X_0 = X_1(f = 0)$&nbsp; gibt die Impulsfläche von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; an.
 :$$A = \frac{X_0 }{T}  = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID498__Sig_Z_3_2_a_neu.png|right|frame|Fläche des Dreieckimpulses]]
-'''(1)'''&nbsp;  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm &micro; s}}$.
+'''(1)'''&nbsp;  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt&nbsp; $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm &micro; s}}$.
-Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an. Diese ist gleich ${A} \cdot {T}$. Daraus folgt:
+*Der Spektralwert&nbsp; $X_0 = X_1(f = 0)$&nbsp; gibt die Impulsfläche von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; an. Diese ist gleich&nbsp; ${A} \cdot {T}$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$A = \frac{X_0 }{T}  = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$
-'''(3)'''&nbsp;  Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.
+'''(2)'''&nbsp;  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gegeben. Man erhält&nbsp; ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.
 '''(4)'''&nbsp;  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt ${t} = 0$ auf (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):
 :$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$
-Die minimalen Werte von ${x(t)}$ ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$ liefert:
+*Die minimalen Werte von&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert&nbsp; $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$&nbsp; liefert:
 :$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID496__Sig_Z_3_2_neu.png|right|frame|$\rm si$-Quadrat-Spektrum mit Diracs]]
-Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus
+Das skizzierte Spektrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; eines Zeitsignals&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; setzt sich zusammen aus
-* einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,
+* einem kontinuierlichen Anteil&nbsp; $X_1(f)$,
 * dazu drei diracförmigen Spektrallinien.
-Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:
+Der kontinuierliche Anteil lautet mit&nbsp; $f_0 = 200\, \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:
 :$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
-Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.
+Die Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat das Gewicht&nbsp; $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen&nbsp; $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht&nbsp; $0.5\,\text{V}$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
-*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $y(t)$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:
+*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um&nbsp; $t = 0$&nbsp; symmetrischer Dreieckimpuls&nbsp; $y(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; ${A}$&nbsp; und der absoluten Dauer&nbsp; $2T$&nbsp; $($das heißt:&nbsp; die Signalwerte sind nur zwischen&nbsp; $–T$&nbsp; und&nbsp; $+T$&nbsp; ungleich $0)$&nbsp; folgende Spektralfunktion besitzt:
 :$$Y( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche Werte besitzen die Parameter ${A}$ (Amplitude) und ${T}$ (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils $x_1(t)$?
+{Welche Werte besitzen die Parameter&nbsp; ${A}$&nbsp; (Amplitude) und&nbsp; ${T}$&nbsp; (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils&nbsp; $x_1(t)$?
 |type="{}"}
 $A\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
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-{Wie groß ist der Gleichsignalanteil ${B}$ des Signals?
+{Wie groß ist der Gleichsignalanteil&nbsp; ${B}$&nbsp; des Signals?
 |type="{}"}
 $B\ = \ $  { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie groß ist die Amplitude $C$ des periodischen Anteils von $x(t)$?
+{Wie groß ist die Amplitude&nbsp; $C$&nbsp; des periodischen Anteils von&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $C\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals $x(t)$?
+{Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $x_\text{max}\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$

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 }}
-[[Datei:P_ID496__Sig_Z_3_2_neu.png|right|si-Quadrat-Spektrum mit Diracs]]
+[[Datei:P_ID496__Sig_Z_3_2_neu.png|right|frame|si-Quadrat-Spektrum mit Diracs]]
 Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus
-:* einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,
+* einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,
 Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{V/Hz}$:
 :$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
 Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und -rücktransformation]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren]].
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:
+*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $y(t)$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:
 :$$Y( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$
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 {Welche Werte besitzen die Parameter ${A}$ (Amplitude) und ${T}$ (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils $x_1(t)$?
 |type="{}"}
-$A$ &nbsp;= { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$A\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$T$ &nbsp;= { 5 3% } &nbsp;$\text{$\mu$s}$
+$T\ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\text{$\mu$s}$
 {Wie groß ist der Gleichsignalanteil ${B}$ des Signals?
 |type="{}"}
-$B$ &nbsp;=  { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
+$B\ = \ $  { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
 {Wie groß ist die Amplitude $C$ des periodischen Anteils von x(t)?
 |type="{}"}
-$C$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$C\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
 {Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals $\text{x(t)}$?
 |type="{}"}
-$x_\text{max}$ &nbsp;= { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$x_\text{max}\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$x_\text{min}$ &nbsp;= { -2.06--1.94 } &nbsp;$\text{V}$
+$x_\text{min}\ = \ $ { -2.06--1.94 } &nbsp;$\text{V}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID498__Sig_Z_3_2_a_neu.png|right|Dreieckimpuls]]
+[[Datei:P_ID498__Sig_Z_3_2_a_neu.png|right|frame|Dreieckimpuls]]
-'''1.'''  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0 = 5 \,{\rm \mu s}$. Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an. Diese ist gleich ${A} \cdot {T}$. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp;  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0 = 5 \,{\rm \mu s}$. Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an. Diese ist gleich ${A} \cdot {T}$. Daraus folgt:
 :$$A = \frac{X_0 }{T}  = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$
-'''2.'''  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei der Frequenz $f = 0$ gegeben. Man erhält ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= –\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}}$.
+'''(2)'''&nbsp;  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei der Frequenz $f = 0$ gegeben. Man erhält ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= –\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}}$.
-'''3.'''  Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.
+'''(3)'''&nbsp;  Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.
-'''4.'''  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt ${t} = 0$ auf (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):
+'''(4)'''&nbsp;  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt ${t} = 0$ auf (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):
 $$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \text{V}}.$$

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(kein Unterschied)