Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:21Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
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	In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:		In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
	* $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:		* $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
	:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\~~rmG~~}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.		* $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.
	* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.		* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 BER mit Impulsinterferenzen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 BER mit Impulsinterferenzen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.2Z:_Optimum_Cutoff_Frequency_for_Gaussian_Low-pass]]

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2026-02-25T13:19:29Z

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← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2026, 15:19 Uhr
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	Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für		Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für
	:$${\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \~~cdotT~~< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \~~cdotT~~ \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}\hspace{0.05cm}.$$


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	'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:		'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4\cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824}\hspace{0.05cm},$$		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4\cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdots_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \~~cdotT~~}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238}\hspace{0.05cm},$$		:$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdots_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \cdot T}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238}\hspace{0.05cm},$$
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
	:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left(\sqrt{\rho_{\rm U}}\right) = {\rm Q} \left(\sqrt{14.7}\right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left(\sqrt{\rho_{\rm U}}\right) = {\rm Q} \left(\sqrt{14.7}\right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:15Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2_ret.png\|right\|frame\|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]]		[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2_ret.png\|right\|frame\|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]]
	Wie in  [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]]  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis		Wie in  [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]]  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
	p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}
	\right)$$

	maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S, \ min}$.		maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S, \ min}$.
Zeile 12:		Zeile 10:
	In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:		In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
	* $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:		* $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
	:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rmG}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
	\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm
	G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.		* $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.
	* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.		* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
	*Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:		*Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
	:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(		:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.		Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.
Zeile 79:		Zeile 73:
	*Dagegen führt die &bdquo;worst–case”–Folge zur Augenlinie $-s_0 + 2 \cdot g_d(t)$.		*Dagegen führt die &bdquo;worst–case”–Folge zur Augenlinie $-s_0 + 2 \cdot g_d(t)$.
	*Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:		*Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:		'''(2)'''  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0\cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\right] - s_0 = s_0\cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\right] - s_0 = s_0
	\cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\right]
	\hspace{0.05cm}.$$

	Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für		Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für
	:$${\rm Q} \left(		:$${\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdotT< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdotT \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}\hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \~~cdot~~
	T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \~~cdot~~
	T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich		'''(3)'''  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
	[[Datei:P_ID1395__Dig_Z_3_2_c.png\|right\|frame\|$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz]]		[[Datei:P_ID1395__Dig_Z_3_2_c.png\|right\|frame\|$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz]]
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} =		:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} =\frac{s_0^2\cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$
	\frac{s_0^2
	\cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$

	Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:		Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
	:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
	{E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2}\cdot\frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T\right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2}
	\cdot
	\frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
	Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:		Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:
	* $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$		* $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
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	'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:		'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4\cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824}\hspace{0.05cm},$$
	\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4		:$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdots_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \cdotT}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238}\hspace{0.05cm},$$
	\cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824}		:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left(\sqrt{\rho_{\rm U}}\right) = {\rm Q} \left(\sqrt{14.7}\right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
	:$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\~~cdot~~
	~~s_0~~^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \~~cdot~~
	T}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{
	s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238}
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \~~cdot~~
	0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
	:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left(
	\sqrt{\rho_{\rm U}}
	\right) = {\rm Q} \left(
	\sqrt{14.7}
	\right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 10. Oktober 2022 um 11:28 Uhr

2022-10-10T11:28:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2022, 13:28 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:~~P_ID1383__Dig_Z_3_2~~.png\|right\|frame\|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]]		[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2_ret.png\|right\|frame\|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]]
	Wie in  [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]]  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis		Wie in  [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]]  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

Guenter am 19. Februar 2019 um 15:38 Uhr

2019-02-19T15:38:45Z

Guenter am 19. Februar 2019 um 15:23 Uhr

2019-02-19T15:23:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2019, 17:23 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png\|right\|frame\|Augendiagramme ohne und mit Rauschen]]		[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png\|right\|frame\|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]]
	Wie in [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]] wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis		Wie in  [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass\|Aufgabe 3.2]]  wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter  $H_{\rm G}(f)$  betrachtet. Dessen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}		p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}
	\right)$$		\right)$$

	maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.		maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S, \ min}$.

	In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:		In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
	* $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:		* $\sigma_d^2$  ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
	:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
	\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm		\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm
	G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$		G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen.		* $\ddot{o}(T_{\rm D})$  gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu  $T_{\rm D} = 0$  angenommen.
	* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.		* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  allein durch die Amplitude  $s_0$  des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert  $g_0$  des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
	*Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:		*Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
	:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \~~left~~ [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(		:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T		\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
	\right)\~~right~~]\hspace{0.05cm}.$$		\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$

			Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.
			*Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt.
			*Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für  $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.




	Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.


	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].


Zeile 37:		Zeile 43:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.		+ Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.
	- Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$.		- Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt  $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$.
	+ Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$.		+ Bei gaußförmigem Impulsformer gilt  $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$.

	{Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge?		{Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge?
Zeile 44:		Zeile 50:
	$f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $ { 0.27 3% }		$f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $ { 0.27 3% }

	{Berechnen Sie das ungünstigste SNR für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?		{Berechnen Sie das ungünstigste SNR für  $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ { 11.04 3% } $\ \rm dB$		$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ { 11.04 3% } $\ \rm dB$
Zeile 52:		Zeile 58:
	{Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend?		{Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm U}$ (bzw. $\rho_{\rm U}$) ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.		+ Die Optimierung hinsichtlich  $p_{\rm U}$  $($bzw.  $\rho_{\rm U})$  ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
	+ Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$.		+ Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von  $E_{\rm B}/N_0$.
	- Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm S}$ führt zum exakt gleichen Ergebnis.		- Die Optimierung hinsichtlich  $p_{\rm S}$  führt zum exakt gleichen Ergebnis.

	{~~Berechnen~~ Sie für die optimale Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ folgende Größen, wobei wieder $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$ gelten soll.		{Bestimmen Sie für die optimale Grenzfrequenz  $f_{\rm G, \ opt}$  folgende Größen, wobei wieder  $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$  gelten soll.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $ { 1.824 3% }		$\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $ { 1.824 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen\|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
	* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.2Z Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass nach Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass

2018-01-04T06:26:51Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.2Z Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass nach Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass

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(kein Unterschied)

Guenter am 9. November 2017 um 06:32 Uhr

2017-11-09T06:32:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 08:32 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 ~~Bitfehlerrate~~ mit Impulsinterferenzen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 BER mit Impulsinterferenzen^]]

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2019, 17:38 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:		'''(2)'''  Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
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	T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}		T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich		'''(3)'''  Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
Zeile 108:		Zeile 110:
	\right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$		\right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$

	Mit der Angabe $~~&bdquo;~~E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB ~~”~~$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:		Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
	:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$		{E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
Zeile 120:		Zeile 122:
	* $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$		* $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
	* $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$		* $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$
	Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz   ⇒   Teilaufgabe (2).
			Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz   ⇒   Teilaufgabe '''(2)'''.


	'''(4)'''  Richtig ~~sinddie~~ <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
	*Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.		*Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.
	*Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.		*Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.
	*Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.		*Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.
	*Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm B}/4$.		*Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$.
	*Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:		*Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:
	:: $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$		:: $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$
Zeile 134:		Zeile 137:


	'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) nbsp; ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
			'''(5)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)'''   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
	:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(		:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4		\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4