Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Oktober 2021 um 12:04 Uhr

2021-10-13T12:04:56Z

Guenter am 13. Oktober 2021 um 11:59 Uhr

2021-10-13T11:59:44Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:45 Uhr

2021-09-09T16:45:39Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 10:27 Uhr

2019-10-31T10:27:26Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 10:23 Uhr

2019-10-31T10:23:12Z

Guenter am 26. November 2018 um 07:41 Uhr

2018-11-26T07:41:18Z

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2018-11-26T07:25:50Z

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2018-03-15T15:53:56Z

Guenter am 15. März 2018 um 15:50 Uhr

2018-03-15T15:50:58Z

Guenter am 15. März 2018 um 15:47 Uhr

2018-03-15T15:47:20Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei&nbsp; $t= 0$&nbsp; ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert&nbsp; $1$&nbsp; liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; einschließt, so erhält man:
+*Berücksichtigt man,&nbsp; dass die Diracfunktion nur bei&nbsp; $t= 0$&nbsp; ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert&nbsp; $1$&nbsp; liefert,&nbsp; solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; einschließt,&nbsp; so erhält man:
 :$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
   L}(p) = 1  \hspace{0.05cm} .$$
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-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind wieder die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Die Sprungfunktion&nbsp; $b(t) = \gamma(t)$&nbsp; ist das Integral über die Diracfunktion&nbsp; $a(t) = \delta(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man kann den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; anwenden:
 :$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:
+*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,&nbsp; erhält man mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:
 :$$c(t)= b(t) - b(t-T)  \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
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   \hspace{0.05cm} .$$
-*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierspektrum]]:
+*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,&nbsp; gilt für das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierspektrum]]:
 :$$C(f) =  C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f}} =   \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>,&nbsp; da gilt:
 :$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
   d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
 \frac{1}{p \cdot  T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
 T}\hspace{0.05cm} .$$
-*Da sich&nbsp; $d(t)$&nbsp; bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen&nbsp; $D_{\rm L}(p)$&nbsp; und&nbsp; $D(f)$&nbsp; gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
+*Da sich&nbsp; $d(t)$&nbsp; bis ins Unendliche erstreckt,&nbsp; ist der einfache Zusammenhang zwischen&nbsp; $D_{\rm L}(p)$&nbsp; und&nbsp; $D(f)$&nbsp; gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
 *$D(f)$&nbsp; beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png|right|frame|Vier kausale Zeitsignale]]
-Die Fourier&ndash;Transformation kann man für jedes deterministische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
+Die Fourier&ndash;Transformation kann man für jedes deterministische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; anwenden.&nbsp; Für die Spektralfunktion gilt dann:
 :$$X(f) =    \int_{-\infty}^{
 +\infty}
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   d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
-Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Distributionen (Diracfunktionen).
+Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Distributionen&nbsp; (Diracfunktionen).
-Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
+Bei allen kausalen Signalen&nbsp; (und nur bei diesen)&nbsp; ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
 :$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
 \infty}
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-Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation]]&nbsp; gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace&ndash;Transformation, wobei&nbsp; $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; zu setzen ist:
+Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation]]&nbsp; gelten meist&nbsp; (allerdings nicht immer)&nbsp; auch für die Laplace&ndash;Transformation,&nbsp; wobei&nbsp; $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; zu setzen ist:
 * Zum Beispiel lautet der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; in Laplace&ndash; bzw. Fourier&ndash;Darstellung:
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
 *Das Lernvideo &nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp;  könnte hilfreich sein .
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 - $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
 + $C_{\rm L}(p) =  \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
-+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$ &nbsp;mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.
++ $C(f) = C_{\rm L}(p)$&nbsp; mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.
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 + $D_{\rm L}(p) =  \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
 - $D_{\rm L}(p) =  1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
-- $D(f) = D_{\rm L}(p)$ &nbsp;mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.
+- $D(f) = D_{\rm L}(p)$&nbsp; mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation ~~und p–Übertragungsfunktion~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei $t= 0$ ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert $1$ liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt $t= 0$ einschließt, so erhält man:
+*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei&nbsp; $t= 0$&nbsp; ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert&nbsp; $1$&nbsp; liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; einschließt, so erhält man:
 :$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
   L}(p) = 1  \hspace{0.05cm} .$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Die Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$ ist das Integral über die Diracfunktion $a(t) = \delta(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;, man kann den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] anwenden:
+*Die Sprungfunktion&nbsp; $b(t) = \gamma(t)$&nbsp; ist das Integral über die Diracfunktion&nbsp; $a(t) = \delta(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man kann den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; anwenden:
 :$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
   d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot
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 \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm
 \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:
+*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:
 :$$c(t)= b(t) - b(t-T)  \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
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   \hspace{0.05cm} .$$
-*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierspektrum]]:
+*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierspektrum]]:
 :$$C(f) =  C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f}} =   \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
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 :$$C(f) =  T \cdot {\rm si} (2 \pi  f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi  f{T})-1}{2\pi f}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 139: / Zeile 142: @@
 \frac{1}{p \cdot  T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
 T}\hspace{0.05cm} .$$
-*Da sich $d(t)$ bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen $D_{\rm L}(p)$ und $D(f)$ gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
+*Da sich&nbsp; $d(t)$&nbsp; bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen&nbsp; $D_{\rm L}(p)$&nbsp; und&nbsp; $D(f)$&nbsp; gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
-*$D(f)$ beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.
+*$D(f)$&nbsp; beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png|right|frame|Vier kausale Zeitsignale]]
-Die Fourier&ndash;Transformation kann man für jedes deterministische Signal $x(t)$ anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
+Die Fourier&ndash;Transformation kann man für jedes deterministische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
 :$$X(f) =    \int_{-\infty}^{
 +\infty}
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   d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
-Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).
+Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Distributionen (Diracfunktionen).
 Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
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 In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
-* die Diracfunktion $a(t)$,
+* die Diracfunktion&nbsp; $a(t)$,
-* die Sprungfunktion $b(t)$,
+* die Sprungfunktion&nbsp; $b(t)$,
-* die Rechteckfunktion $c(t)$,
+* die Rechteckfunktion&nbsp; $c(t)$,
-* die Rampenfunktion $d(t)$.
+* die Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$.
-Die [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation]] gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace&ndash;Transformation, wobei $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$ zu setzen ist:
+Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation]]&nbsp; gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace&ndash;Transformation, wobei&nbsp; $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; zu setzen ist:
-* Zum Beispiel lautet der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] in Laplace&ndash; bzw. Fourier&ndash;Darstellung:
+* Zum Beispiel lautet der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; in Laplace&ndash; bzw. Fourier&ndash;Darstellung:
 :$$x(t- \tau) \quad
 \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
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 X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
-* Dagegen ergeben sich beim [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] Unterschiede:
+* Dagegen ergeben sich beim&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; Unterschiede:
 :$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
   d}\tau \quad
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
 \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 87: / Zeile 90: @@
-{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$??
+{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$?
 |type="[]"}
 + $D_{\rm L}(p) =  \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
   d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
-Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: unendlich große Energie &ndash; beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).
+Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).
 Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
 L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm
-e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$
+e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
 :$$x(t- \tau) \quad
 \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
-X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$
+X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
 * Dagegen ergeben sich beim [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] Unterschiede:
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
-*Das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] könnte hilfreich sein .
+*Das Lernvideo &nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp;  könnte hilfreich sein .
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals $a(t) = \delta(t)$?
+{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals&nbsp; $a(t) = \delta(t)$?
 |type="[]"}
 + $A_{\rm L}(p) = 1$.
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
-{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$?
+{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion&nbsp; $b(t) = \gamma(t)$?
 |type="[]"}
 + $B_{\rm L}(p) = 1/p$.
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
-{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion $c(t)$?
+{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion&nbsp; $c(t)$?
 |type="[]"}
 - $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
-+ $C_{\rm L}(p) =  [1-{\rm e}^{-pT}]/p$.
++ $C_{\rm L}(p) =  \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
-+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.
++ $C(f) = C_{\rm L}(p)$ &nbsp;mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.
-{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion $d(t)$??
+{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$??
 |type="[]"}
-+ $D_{\rm L}(p) =  [1-{\rm e}^{-pT}]/(p^2T)$.
++ $D_{\rm L}(p) =  \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
-- $D_{\rm L}(p) =  1-{\rm e}^{-pT}$.
+- $D_{\rm L}(p) =  1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
-- $D(f) = D_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.
+- $D(f) = D_{\rm L}(p)$ &nbsp;mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.