Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier - Versionsgeschichte

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	'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:		'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:
	:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \~~cdotT~~}\hspace{0.05cm} .$$		:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.		*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.

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	[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]		[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]
	Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:		Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rmd}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
	+\infty}
	{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).		Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).

	Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:		Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
	:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{		:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rmd}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
	\infty}
	{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:		In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
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	* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:		* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
	:$$x(t- \tau) \quad		:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rmL}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rme}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm		:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
	L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm
	e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$x(t- \tau) \quad
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\~~quad~~
	X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$

	* Dagegen ergeben sich beim  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  Unterschiede:		* Dagegen ergeben sich beim  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  Unterschiede:
	:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rmL}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	d}\tau \quad		:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
	L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot
	\frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \quad
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\~~quad~~
	X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
	\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$


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	'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:		*Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:
	:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm		:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rmL}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$
	L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$


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	'''(2)'''  Richtig sind wieder die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind wieder die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:		*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:
	:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot{1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot		:$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$
	{1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
	\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm
	\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$


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	'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,  erhält man mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:		*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,  erhält man mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:
	:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}		:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]\hspace{0.05cm} .$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
	\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:		*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:
	:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it		:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \itf}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
	f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:		*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}		:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$



	'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:		'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:
	:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rmd}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdotT}\hspace{0.05cm} .$$
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
	\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \~~cdot~~
	T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.		*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.

Guenter am 13. Oktober 2021 um 12:04 Uhr

2021-10-13T12:04:56Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt, so erhält man:		*Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:
	:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm		:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
	L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$		L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$
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	'''(2)'''  Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind wieder die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:		*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:
	:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
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	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:		*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,  erhält man mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:
	:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}		:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)		\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
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	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:		*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:
	:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it		:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
	f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]		f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
Zeile 134:		Zeile 134:


	'''(4)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da gilt:		'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:
	:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot		d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
	\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot		\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
	T}\hspace{0.05cm} .$$		T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.		*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 13. Oktober 2021 um 11:59 Uhr

2021-10-13T11:59:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Oktober 2021, 13:59 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]		[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]
	Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:		Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{
	+\infty}		+\infty}
Zeile 10:		Zeile 10:
	d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$		d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen (Diracfunktionen).		Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).

	Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:		Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
	:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{		:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{
	\infty}		\infty}
Zeile 29:		Zeile 29:


	Die  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation]]  gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei  $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$  zu setzen ist:		Die  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation]]  gelten meist  (allerdings nicht immer)  auch für die Laplace–Transformation,  wobei  $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$  zu setzen ist:

	* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:		* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
Zeile 57:		Zeile 57:


			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
	*Das Lernvideo   [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  könnte hilfreich sein .		*Das Lernvideo   [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  könnte hilfreich sein .
Zeile 87:		Zeile 84:
	- $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.		- $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
	+ $C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.		+ $C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
	+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.		+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.


Zeile 94:		Zeile 91:
	+ $D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.		+ $D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
	- $D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.		- $D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
	- $D(f) = D_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.		- $D(f) = D_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.

Guenter am 9. September 2021 um 16:45 Uhr

2021-09-09T16:45:39Z

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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation ~~und p–Übertragungsfunktion~~^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]

Guenter am 31. Oktober 2019 um 10:27 Uhr

2019-10-31T10:27:26Z

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei $t= 0$ ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert $1$ liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt $t= 0$ einschließt, so erhält man:		*Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt, so erhält man:
	:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm		:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
	L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$		L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$



	'''(2)'''  Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$ ist das Integral über die Diracfunktion $a(t) = \delta(t)$   ⇒  , man kann den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] anwenden:		*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:
	:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot		d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot
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	\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm		\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm
	\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$		\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$



	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:		*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]:
	:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}		:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)		\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
Zeile 125:		Zeile 127:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:		*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:
	:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it		:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
	f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]		f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
Zeile 132:		Zeile 134:
	:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}		:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 139:		Zeile 142:
	\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot		\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
	T}\hspace{0.05cm} .$$		T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich $d(t)$ bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen $D_{\rm L}(p)$ und $D(f)$ gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$ beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.		*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 31. Oktober 2019 um 10:23 Uhr

2019-10-31T10:23:12Z

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	[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]		[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]
	Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal $x(t)$ anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:		Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{
	+\infty}		+\infty}
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	d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$		d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).		Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen (Diracfunktionen).

	Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:		Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
Zeile 20:		Zeile 20:
	In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:		In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:

	* die Diracfunktion $a(t)$,		* die Diracfunktion  $a(t)$,

	* die Sprungfunktion $b(t)$,		* die Sprungfunktion  $b(t)$,

	* die Rechteckfunktion $c(t)$,		* die Rechteckfunktion  $c(t)$,

	* die Rampenfunktion $d(t)$.		* die Rampenfunktion  $d(t)$.


	Die [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation]] gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$ zu setzen ist:		Die  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation]]  gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei  $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$  zu setzen ist:

	* Zum Beispiel lautet der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:		* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
	:$$x(t- \tau) \quad		:$$x(t- \tau) \quad
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm		\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
Zeile 40:		Zeile 40:
	X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$		X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$

	* Dagegen ergeben sich beim [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] Unterschiede:		* Dagegen ergeben sich beim  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  Unterschiede:
	:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \quad		d}\tau \quad
Zeile 51:		Zeile 51:
	X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +		X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
	\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$		\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$





Zeile 87:		Zeile 90:


	{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion  $d(t)$??		{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion  $d(t)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.		+ $D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.

Guenter am 26. November 2018 um 07:41 Uhr

2018-11-26T07:41:18Z

Guenter am 26. November 2018 um 07:25 Uhr

2018-11-26T07:25:50Z

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Zeile 10:		Zeile 10:
	d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$		d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen: unendlich große Energie – beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).		Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).

	Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:		Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
Zeile 35:		Zeile 35:
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm		\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
	L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm		L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm
	e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$		e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$x(t- \tau) \quad		:$$x(t- \tau) \quad
	\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad		\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
	X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$		X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$

	* Dagegen ergeben sich beim [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] Unterschiede:		* Dagegen ergeben sich beim [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] Unterschiede:
Zeile 58:		Zeile 58:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion\|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
	*Das Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] könnte hilfreich sein .		*Das Lernvideo   [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  könnte hilfreich sein .


Zeile 66:		Zeile 66:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals $a(t) = \delta(t)$?		{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals  $a(t) = \delta(t)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $A_{\rm L}(p) = 1$.		+ $A_{\rm L}(p) = 1$.
Zeile 73:		Zeile 73:


	{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$?		{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $B_{\rm L}(p) = 1/p$.		+ $B_{\rm L}(p) = 1/p$.
Zeile 80:		Zeile 80:


	{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion $c(t)$?		{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion  $c(t)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.		- $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
	+ $C_{\rm L}(p) = [1-{\rm e}^{-pT}]/p$.		+ $C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
	+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.		+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.


	{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion $d(t)$??		{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion  $d(t)$??
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $D_{\rm L}(p) = [1-{\rm e}^{-pT}]/(p^2T)$.		+ $D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
	- $D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-pT}$.		- $D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
	- $D(f) = D_{\rm L}(p)$ mit $p = 2 \pi f$.		- $D(f) = D_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]		[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png\|right\|frame\|Vier kausale Zeitsignale]]
	Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:		Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:
	:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$		:$$X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).		Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).

	Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:		Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
	:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$		:$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{\infty}{ x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

	In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:		In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
Zeile 26:		Zeile 26:

	* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:		* Zum Beispiel lautet der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
	:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\~~rmL~~}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\~~rme~~}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$		:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$		:$$x(t- \tau) \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$

	* Dagegen ergeben sich beim  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  Unterschiede:		* Dagegen ergeben sich beim  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  Unterschiede:
	:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\~~rmL~~}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$		:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$		:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quadX(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$


Zeile 82:		Zeile 82:
	'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:		*Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:
	:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\~~rmL~~}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$		:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$


Zeile 88:		Zeile 88:
	'''(2)'''  Richtig sind wieder die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind wieder die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:		*Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  anwenden:
	:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot{1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$		:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot{1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$		:$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$

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	*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:		*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:
	:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \~~itf~~}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]\hspace{0.05cm}.$$		:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
	*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:		*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$		:$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
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	'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:		'''(4)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>,  da gilt:
	:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$		:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.		*$D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.
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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.2Z:_Laplace_and_Fourier]]

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	'''(2)'''  Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind wieder die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$ ist das Integral über die Diracfunktion $a(t) = \delta(t)$, ~~so dass~~ man den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] anwenden ~~kann~~:		*Die Sprungfunktion $b(t) = \gamma(t)$ ist das Integral über die Diracfunktion $a(t) = \delta(t)$   ⇒  , man kann den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] anwenden:
	:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot		d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot
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	:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}		:$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)		\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
	\cdot {\rm e}^{-p T} = {1}/{p} \cdot \~~left~~ [ 1- {\rm e}^{-p T} \~~right~~ ]		\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:		*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Fourierspektrum]]:
	:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it		:$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg \|_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
	f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \~~left~~ [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \cdot 2\pi f T} \~~right~~ ]		f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:		*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
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	:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm		:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
	d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot		d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
	\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p T}}{p^2 \cdot		\frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
	T}\hspace{0.05cm} .$$		T}\hspace{0.05cm} .$$
	*Da sich $d(t)$ bis ins Unendliche erstreckt, ist ~~dagegen~~ der einfache Zusammenhang zwischen $D_{\rm L}(p)$ und $D(f)$ ~~entsprechend dem~~ Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.		*Da sich $d(t)$ bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen $D_{\rm L}(p)$ und $D(f)$ gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
	*$D(f)$ beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.		*$D(f)$ beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}