Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:20Z

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^3.1 Phasenmodulation (PM)^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^3.1 Phasenmodulation (PM)^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.2Z:_Bessel_Spectrum]]

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2026-02-24T13:39:14Z

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Tasnad am 10. Juni 2020 um 08:03 Uhr

2020-06-10T08:03:58Z

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Zeile 32:		Zeile 32:
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
	*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.		*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
	*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  [[Applets:~~Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)~~\| Besselfunktion erster Art]]  benutzen.		*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art\| Besselfunktion erster Art]]  benutzen.

Guenter am 24. März 2020 um 16:41 Uhr

2020-03-24T16:41:02Z

Guenter am 24. März 2020 um 16:33 Uhr

2020-03-24T16:33:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. März 2020, 18:33 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
	:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und ~~n–ter~~ Ordnung ausgedrückt werden:		*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt. Für negative Werte von  $n$  erhält man:		*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt.  Für negative Werte von  $n$  erhält man:
	:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:		*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
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	*Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:		*Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$





Zeile 29:		Zeile 32:
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
	*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.		*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
	*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)\| Besselfunktion erster Art]] benutzen.		*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)\| Besselfunktion erster Art]]  benutzen.


Zeile 43:		Zeile 46:
	- Die Spektralfunktion  $X(f)$  erhält man über das Fourierintegral.		- Die Spektralfunktion  $X(f)$  erhält man über das Fourierintegral.

	{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten  $D_n$  mit den Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n(η)$.		{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten  $D_n$  mit den Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n(η)$.  Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
	~~<br>~~Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Alle  $D_n$  sind gleich  ${\rm J}_η(0)$.		- Alle  $D_n$  sind gleich  ${\rm J}_η(0)$.
Zeile 51:		Zeile 53:

	{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?		{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Alle $D_n$ sind rein reell.		+ Alle  $D_n$  sind rein reell.
	- Alle $D_n$ sind rein imaginär.		- Alle  $D_n$  sind rein imaginär.

	{Für  $η = 2$  lauten die Koeffizienten  $D_0 = 0.224$  und  $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten  $D_2$  und  $D_3$.		{Für  $η = 2$  lauten die Koeffizienten  $D_0 = 0.224$  und  $D_1 = 0.577$.  Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten  $D_2$  und  $D_3$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }		$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:20 Uhr

2018-12-18T16:20:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Dezember 2018, 18:20 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$. Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist ⇒   Antwort 1 ist falsch.		*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.
			*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.
	*Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:		*Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:
	:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =		:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
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	'''(5)'''  Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:		'''(5)'''  Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
	:$$ D{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$		:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
	:$$D{–3} = – D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$		:$$D_{–3} = – D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:16 Uhr

2018-12-18T16:16:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Dezember 2018, 18:16 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Welche Eigenschaften besitzt das Signal $x(t)$?		{Welche Eigenschaften besitzt das Signal  $x(t)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $x(t)$ ist für alle Zeiten $t$ imaginär.		- $x(t)$  ist für alle Zeiten  $t$  imaginär.
	+ $x(t)$ ist periodisch.		+ $x(t)$  ist periodisch.
	- Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das Fourierintegral.		- Die Spektralfunktion  $X(f)$  erhält man über das Fourierintegral.

	{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten $D_n$ mit den Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n(η)$.		{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten  $D_n$  mit den Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n(η)$.
	<br>Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?		<br>Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Alle $D_n$ sind gleich ${\rm J}_η(0)$.		- Alle  $D_n$  sind gleich  ${\rm J}_η(0)$.
	+ Es gilt $D_n = {\rm J}_n(η)$.		+ Es gilt  $D_n = {\rm J}_n(η)$.
	- Es gilt $D_n = -{\rm J}_η(n)$.		- Es gilt  $D_n = -{\rm J}_η(n)$.

	{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?		{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
Zeile 55:		Zeile 55:
	- Alle $D_n$ sind rein imaginär.		- Alle $D_n$ sind rein imaginär.

	{Für $η = 2$ lauten die Koeffizienten $D_0 = 0.224$ und $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten $D_2$ und $D_3$.		{Für  $η = 2$  lauten die Koeffizienten  $D_0 = 0.224$  und  $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten  $D_2$  und  $D_3$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }		$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }
	$D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }		$D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }

	{Wie lauten die Fourierkoeffizienten $D_{-2}$ und $D_{-3}$ ?		{Wie lauten die Fourierkoeffizienten  $D_{-2}$  und  $D_{-3}$ ?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }		$D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:12 Uhr

2018-12-18T16:12:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Dezember 2018, 18:12 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
	:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	*~~Die~~ komplexen Fourierkoeffizienten ~~kann man~~ mit ~~den~~ Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ~~ausdrücken~~:		*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausgedrückt werden:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt. Für negative Werte von  $n$  erhält man:		*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt. Für negative Werte von  $n$  erhält man:

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:11 Uhr

2018-12-18T16:11:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.		*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
	*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul [[Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung]] nutzen.		*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul [[Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung]] nutzen.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn  $η ≥ π/2$  ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.		*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn  $η ≥ π/2$  ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.
	*Mit  $T_0 = 2π/ω_0$  gilt beispielsweise:		*Mit  $T_0 = 2π/ω_0$  gilt beispielsweise:
	:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =		:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
	*Dieses Signal ist periodisch.  Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.		*Dieses Signal ist periodisch.  Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.

Zeile 91:		Zeile 90:

	'''(3)'''  Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:		'''(3)'''  Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
	:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +		:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha + \frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	\frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von  $\alpha$:		*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von  $\alpha$:
	:$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=		:$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}={\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	{\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:		*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
	:$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=		:$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=-{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	-{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:		*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
	:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 24. März 2020, 18:41 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.		*$x(t)$  ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit  $t = 0$.
	*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.		*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn  $η ≥ π/2$  ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.
	*Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:		*Mit  $T_0 = 2π/ω_0$  gilt beispielsweise:
	:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =		:$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
	{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$		{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
	*Dieses Signal ist periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.		*Dieses Signal ist periodisch.  Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.



	'''(2)'''  Die Fourierkoeffizienten lauten:		'''(2)'''  Die Fourierkoeffizienten lauten:
	:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:		*Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution  $α = ω_0 · t$  erhält man:
	:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$		:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
	Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.		*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.



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	:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +		:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +
	\frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		\frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α:		*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von  $\alpha$:
	:$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=		:$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
	{\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$		{\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:		*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
	:$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=		:$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
	-{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$		-{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
	Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:		*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
	:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.		*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.



	'''(4)'''  Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:		'''(4)'''  Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für  $η = 2$:
	:$$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$		:$$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
	:$$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$		:$$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
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	'''(5)'''  Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:		'''(5)'''  Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
	:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$		:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
	:$$D_{–3} = – D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$		:$$D_{–3} = -D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

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	Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.		Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.

	Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$:		*Die Fourierreihendarstellung lautet mit  $T_0 = 2π/ω_0$:
	:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$		:$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
	:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	~~Diese~~ komplexen Fourierkoeffizienten ~~können~~ mit ~~Hilfe der~~ Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ~~ausgedrückt werden~~:		*Die komplexen Fourierkoeffizienten kann man mit den Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausdrücken:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
	Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man:		*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt. Für negative Werte von  $n$  erhält man:
	:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
	Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:		*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
	Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:		*Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:
	:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation\|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
	*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.		*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
	*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das ~~Interaktionsmodul~~ [[~~Werte der~~ Besselfunktion erster Art ~~und n–ter Ordnung~~]] ~~nutzen~~.		*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)\| Besselfunktion erster Art]] benutzen.