Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum - Versionsgeschichte

Tasnad am 10. Juni 2020 um 08:03 Uhr

2020-06-10T08:03:58Z

Guenter am 24. März 2020 um 16:41 Uhr

2020-03-24T16:41:02Z

Guenter am 24. März 2020 um 16:33 Uhr

2020-03-24T16:33:53Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:20 Uhr

2018-12-18T16:20:45Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:16 Uhr

2018-12-18T16:16:17Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:12 Uhr

2018-12-18T16:12:12Z

Guenter am 18. Dezember 2018 um 16:11 Uhr

2018-12-18T16:11:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:23:41Z

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Guenter am 5. Juli 2017 um 13:01 Uhr

2017-07-05T13:01:01Z

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.
+*$x(t)$&nbsp; ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit&nbsp; $t = 0$.
-*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
+*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn&nbsp; $η ≥ π/2$&nbsp; ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
-*Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:
+*Mit&nbsp; $T_0 = 2π/ω_0$&nbsp; gilt beispielsweise:
 :$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
    {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Dieses Signal ist periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.
+*Dieses Signal ist periodisch.&nbsp; Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.
 '''(2)'''&nbsp; Die Fourierkoeffizienten lauten:
 :$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:
+*Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution&nbsp; $α = ω_0 · t$&nbsp; erhält man:
 :$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
-Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
+*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
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 :$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +
 \frac{\rm  j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α:
+*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von&nbsp; $\alpha$:
 :$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
    {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
+*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
 :$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
    -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
-Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
+*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
 :$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:
+'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für&nbsp; $η = 2$:
 :$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
 :$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
 :$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
-:$$D_{–3} = – D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D_{–3} = -D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

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 :$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
 :$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausgedrückt werden:
+*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und&nbsp; $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
 :$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese sind in der Grafik im Bereich &nbsp;$0 ≤ η ≤ 5$&nbsp; dargestellt. Für negative Werte von &nbsp;$n$&nbsp; erhält man:
+*Diese sind in der Grafik im Bereich &nbsp;$0 ≤ η ≤ 5$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Für negative Werte von &nbsp;$n$&nbsp; erhält man:
 :$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
 *Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
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 *Sind die Funktionswerte für &nbsp;$n = 0$&nbsp; und &nbsp;$n = 1$&nbsp; bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für &nbsp;$n ≥ 2$&nbsp; iterativ ermittelt werden:
 :$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
-*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]] benutzen.
+*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art_(neues_Applet)| Besselfunktion erster Art]]&nbsp; benutzen.
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 - Die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; erhält man über das Fourierintegral.
-{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.
+{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.&nbsp; Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
 |type="[]"}
 - Alle &nbsp;$D_n$&nbsp; sind gleich &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
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 { Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+  Alle $D_n$ sind rein reell.
++  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein reell.
--  Alle $D_n$ sind rein imaginär.
+-  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein imaginär.
-{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
+{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
 |type="{}"}
 $D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$. Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
+*$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.
 *Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:
 :$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
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 '''(5)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
-:$$ D{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
+:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
-:$$D{–3} = – D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D_{–3} = – D_3  \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$

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 <quiz display=simple>
-{Welche Eigenschaften besitzt das Signal $x(t)$?
+{Welche Eigenschaften besitzt das Signal &nbsp;$x(t)$?
 |type="[]"}
-- $x(t)$ ist für alle Zeiten $t$ imaginär.
+- $x(t)$&nbsp; ist für alle Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; imaginär.
-+ $x(t)$ ist periodisch.
++ $x(t)$&nbsp; ist periodisch.
-- Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das Fourierintegral.
+- Die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; erhält man über das Fourierintegral.
-{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten $D_n$ mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.
+{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.
 <br>Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
 |type="[]"}
-- Alle $D_n$ sind gleich ${\rm J}_η(0)$.
+- Alle &nbsp;$D_n$&nbsp; sind gleich &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
-+ Es gilt $D_n = {\rm J}_n(η)$.
++ Es gilt &nbsp;$D_n = {\rm J}_n(η)$.
-- Es gilt $D_n = -{\rm J}_η(n)$.
+- Es gilt &nbsp;$D_n = -{\rm J}_η(n)$.
 { Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
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 -  Alle $D_n$ sind rein imaginär.
-{Für $η = 2$ lauten die Koeffizienten $D_0 = 0.224$ und $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten $D_2$ und $D_3$.
+{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
 |type="{}"}
 $D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }
 $D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }
-{Wie lauten die Fourierkoeffizienten $D_{-2}$ und $D_{-3}$ ?
+{Wie lauten die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_{-2}$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$ ?
 |type="{}"}
 $D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }

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 *Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
 *Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul [[Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung]] nutzen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.