Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion - Versionsgeschichte

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Guenter am 30. Januar 2020 um 13:38 Uhr

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2018-10-08T13:25:49Z

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2018-10-08T13:09:28Z

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-06-05T10:54:12Z

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2017-05-30T10:43:54Z

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 Wir betrachten die Zufallsgrößen&nbsp; $X =  \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$&nbsp; und&nbsp; $Y =  \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{XY}(X,\ Y)$&nbsp; gegeben ist.
 *Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; und&nbsp; $P_Y(Y)$&nbsp; ermittelt werden.
-*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Marginal Probability'').
+*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit&nbsp; (englisch:&nbsp; "Marginal Probability").
 Gilt  &nbsp;$P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; statistisch unabhängig.&nbsp; Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
-Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen&nbsp; $U=  \big \{ 0,\ 1 \big \}$&nbsp; und&nbsp; $V= \big  \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; durch Modulo–2–Operationen ergeben:
+Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen&nbsp; $U=  \big \{ 0,\ 1 \big \}$&nbsp; und&nbsp; $V= \big  \{ 0,\ 1 \big \}$,&nbsp; die sich aus&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; durch Modulo–2–Operationen ergeben:
 :$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm}   V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Man kommt von  $P_{XY}(X, Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
+'''(1)'''&nbsp; Man kommt von&nbsp;  $P_{XY}(X,\ Y)$&nbsp; zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X)$, indem man alle&nbsp; $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
 :$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$
-Man erhält folgende Zahlenwerte:
+*Man erhält somit folgende Zahlenwerte:
 :$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
 :$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 =  1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 '''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' gilt nun:
 :$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
 :$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Ausgehend von  der linken Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.
+[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png|right|frame|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]
-[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png|center|frame|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]
+Berücksichtigt man noch&nbsp; $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist die Antwort &nbsp; <u>'''Ja'''</u>:
-*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:  &nbsp; $P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ]$ &nbsp; bzw. &nbsp;  $P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ]$.
+*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:  &nbsp;
-*Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot  P_V(V)$  &nbsp; &rArr;  &nbsp;  $U$ und $V$  sind statistisch unabhängig.
+:$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
-*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
+*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
 *Dort wurde die Zufallsgrößen&nbsp;  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$&nbsp;  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
 *Die so erzwungene Eigenschaft&nbsp; $|X| = |Y|$&nbsp;   war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes&nbsp; ${\rm E}[P_X(X)]$&nbsp; von Vorteil.

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 }}
-[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$]]
+[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße&nbsp; $XY$]]
-Wir betrachten die Zufallsgrößen $X =  \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y =  \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,Y)$ gegeben ist.
+Wir betrachten die Zufallsgrößen&nbsp; $X =  \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$&nbsp; und&nbsp; $Y =  \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{XY}(X,\ Y)$&nbsp; gegeben ist.
-*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
+*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; und&nbsp; $P_Y(Y)$&nbsp; ermittelt werden.
-*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability'').
+*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Marginal Probability'').
-Gilt  &nbsp;$P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.
+Gilt  &nbsp;$P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; statistisch unabhängig.&nbsp; Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
-Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U=  \big \{ 0, 1 \big \}$ und $V= \big  \{ 0, 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
+Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen&nbsp; $U=  \big \{ 0,\ 1 \big \}$&nbsp; und&nbsp; $V= \big  \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; durch Modulo–2–Operationen ergeben:
 :$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm}   V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
-*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [[http://www.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
+*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
-*Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
+*Dort wurde die Zufallsgrößen&nbsp;  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$&nbsp;  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
-*Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$   war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.
+*Die so erzwungene Eigenschaft&nbsp; $|X| = |Y|$&nbsp;   war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes&nbsp; ${\rm E}[P_X(X)]$&nbsp; von Vorteil.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$?
+{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X)$?
 |type="{}"}
 $P_X(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 $P_X(3) \ = \ ${ 0.375 3% }
-{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$?
+{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_Y(Y)$?
 |type="{}"}
 $P_Y(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
@@ Zeile 44: / Zeile 47: @@
 $P_Y(2) \ = \ $ { 0.25 3% }
-{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?
+{Sind die Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; statistisch unabhängig?
 |type="()"}
 - Ja,
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-{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$.
+{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $P_{UV}( U,\ V)$.
 |type="{}"}
-$P_{UV}( U = 0, V = 0) \ = \ $ { 0.375 3% }
+$P_{UV}( U = 0,\ V = 0) \ = \ $ { 0.375 3% }
-$P_{UV}( U = 0, V = 1) \ = \ $ { 0.375 3% }
+$P_{UV}( U = 0,\ V = 1) \ = \ $ { 0.375 3% }
-$P_{UV}( U = 1, V = 0) \ = \ $ { 0.125 3% }
+$P_{UV}( U = 1,\ V = 0) \ = \ $ { 0.125 3% }
-$P_{UV}( U =1, V = 1) \ = \ $ { 0.125 3% }
+$P_{UV}( U =1,\ V = 1) \ = \ $ { 0.125 3% }
-{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?
+{Sind die Zufallsgrößen&nbsp; $U$&nbsp; und&nbsp; $V$&nbsp; statistisch unabhängig?
 |type="()"}
 + Ja,

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 :$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 =  1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
 :$$P_X(X = 2) =  0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$
-:$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}    P_X(X) = [ 1/2, 1/8 , 0 , 3/8 ].$$
+:$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}    P_X(X) = \big [ 1/2, \ 1/8 , \ 0 , \ 3/8 \big ].$$
 '''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
 :$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
-:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 = 0.500\hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},\hspace{0.5cm}P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$
+:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
-:$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}  P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ].$$
+:$$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$
 '''(4)'''&nbsp; Ausgehend von  der linken Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.
 Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
-:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.375},$$
+:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.375},\hspace{0.5cm}
-:$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.375},\hspace{0.5cm}
+P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.375},\hspace{0.5cm}$$
-P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.125},\hspace{0.5cm}
+:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.125},\hspace{0.5cm}
 P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.125}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:  &nbsp; $P_U(U) = [1/2 , 1/2 ]$ &nbsp; bzw. &nbsp;  $P_V(V)=[3/4, 1/4]$.  <br>Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot  P_V(V)$  &nbsp; &rArr;  &nbsp;  $U$ und $V$  sind statistisch unabhängig  &nbsp; &rArr;  &nbsp;
-<u>Antwort Ja</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die Antwort &nbsp; <u>'''Ja'''</u>:

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