Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.2Z:_Two-dimensional_Probability_Mass_Function]]

Guenter am 17. August 2021 um 09:51 Uhr

2021-08-17T09:51:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. August 2021, 11:51 Uhr
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	Wir betrachten die Zufallsgrößen  $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  und  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{XY}(X,\ Y)$  gegeben ist.		Wir betrachten die Zufallsgrößen  $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  und  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{XY}(X,\ Y)$  gegeben ist.
	*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  ermittelt werden.		*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  ermittelt werden.
	*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit  (englisch:  ''Marginal Probability'').		*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit  (englisch:  "Marginal Probability").


	Gilt  $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig.  Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.		Gilt  $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig.  Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.

	Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen  $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$  und  $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus  $X$  und  $Y$  durch Modulo–2–Operationen ergeben:		Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen  $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$  und  $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$,  die sich aus  $X$  und  $Y$  durch Modulo–2–Operationen ergeben:

	:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$		:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$

Guenter am 30. Januar 2020 um 13:51 Uhr

2020-01-30T13:51:49Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Man kommt von $P_{XY}(X, Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:		'''(1)'''  Man kommt von  $P_{XY}(X,\ Y)$  zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$, indem man alle  $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
	:$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$		:$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$
	Man erhält folgende Zahlenwerte:		*Man erhält somit folgende Zahlenwerte:
	:$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$		:$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
	:$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$		:$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
Zeile 80:		Zeile 80:


	'''(2)'''  Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' gilt nun:
			'''(2)'''  Analog zur Teilaufgabe  '''(1)'''  gilt nun:
	:$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$		:$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
	:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$		:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
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	~~'''(3)'''  Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein. Dies trifft hier nicht zu:     Antwort   <u>'''Nein'''</u>.~~

			'''(3)'''  Bei statistischer Unabhängigkeit sollte  $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$  sein.
			*Dies trifft hier nicht zu:     Antwort   <u>'''Nein'''</u>.



			'''(4)'''  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$  kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$, <br>indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend  $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$  zusammenfasst.

	'''(4)'''  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.		[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png\|right\|frame\|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]

	~~[[Datei~~:~~P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu~~.~~png\|center\|frame\|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]~~		Berücksichtigt man noch  $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
			:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
			:$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
			:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
			:$$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$

	~~Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:~~
	~~:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}~~
	~~P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}$$~~
	~~:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},\hspace{0.5cm}~~
	~~P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$~~


	'''(5)'''  Richtig ist die Antwort   <u>'''Ja'''</u>:		'''(5)'''  Richtig ist die Antwort   <u>'''Ja'''</u>:
	*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:   $P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ]$ ~~  bzw.  ~~ $P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ]$.		*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:
	*Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.		:$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$
			:$$P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ].$$
			*Damit gilt:  $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$  und  $V$  sind statistisch unabhängig.

Guenter am 30. Januar 2020 um 13:39 Uhr

2020-01-30T13:39:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2020, 15:39 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
	*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in  [[Aufgaben:3.~~02_Erwartungswertberechnungen~~\|Aufgabe 3.2]].		*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in  [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_Erwartungswertberechnungen\|Aufgabe 3.2]].
	*Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz  ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.		*Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz  ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
	*Die so erzwungene Eigenschaft  $\|X\| = \|Y\|$  war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes  ${\rm E}[P_X(X)]$  von Vorteil.		*Die so erzwungene Eigenschaft  $\|X\| = \|Y\|$  war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes  ${\rm E}[P_X(X)]$  von Vorteil.

Guenter am 30. Januar 2020 um 13:38 Uhr

2020-01-30T13:38:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2020, 15:38 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$]]		[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße  $XY$]]
	Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,Y)$ gegeben ist.		Wir betrachten die Zufallsgrößen  $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  und  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{XY}(X,\ Y)$  gegeben ist.
	*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.		*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  ermittelt werden.
	*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability'').		*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit  (englisch:  ''Marginal Probability'').


	Gilt  $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen ~~zwischen $X$ und $Y$~~.		Gilt  $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig.  Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.

	Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0, 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0, 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:		Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen  $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$  und  $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus  $X$  und  $Y$  durch Modulo–2–Operationen ergeben:

	:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$		:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$





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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
	*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [[~~http://www.lntwww.de/~~Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen\|Aufgabe 3.2]].		*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in  [[Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen\|Aufgabe 3.2]].
	*Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.		*Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz  ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
	*Die so erzwungene Eigenschaft $\|X\| = \|Y\|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.		*Die so erzwungene Eigenschaft  $\|X\| = \|Y\|$  war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes  ${\rm E}[P_X(X)]$  von Vorteil.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$?		{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_X(0) \ = \ $ { 0.5 3% }		$P_X(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 38:		Zeile 41:
	$P_X(3) \ = \ ${ 0.375 3% }		$P_X(3) \ = \ ${ 0.375 3% }

	{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$?		{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_Y(Y)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_Y(0) \ = \ $ { 0.5 3% }		$P_Y(0) \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 44:		Zeile 47:
	$P_Y(2) \ = \ $ { 0.25 3% }		$P_Y(2) \ = \ $ { 0.25 3% }

	{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?		{Sind die Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Ja,		- Ja,
Zeile 50:		Zeile 53:


	{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$.		{Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten  $P_{UV}( U,\ V)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_{UV}( U = 0, V = 0) \ = \ $ { 0.375 3% }		$P_{UV}( U = 0,\ V = 0) \ = \ $ { 0.375 3% }
	$P_{UV}( U = 0, V = 1) \ = \ $ { 0.375 3% }		$P_{UV}( U = 0,\ V = 1) \ = \ $ { 0.375 3% }
	$P_{UV}( U = 1, V = 0) \ = \ $ { 0.125 3% }		$P_{UV}( U = 1,\ V = 0) \ = \ $ { 0.125 3% }
	$P_{UV}( U =1, V = 1) \ = \ $ { 0.125 3% }		$P_{UV}( U =1,\ V = 1) \ = \ $ { 0.125 3% }

	{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?		{Sind die Zufallsgrößen  $U$  und  $V$  statistisch unabhängig?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Ja,		+ Ja,

Guenter am 8. Oktober 2018 um 13:25 Uhr

2018-10-08T13:25:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Oktober 2018, 15:25 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	:$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$		:$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
	:$$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$		:$$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$
	:$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = [ 1/2, 1/8 , 0 , 3/8 ].$$		:$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = \big [ 1/2, \ 1/8 , \ 0 , \ 3/8 \big ].$$

	'''(2)'''  Analog zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
			'''(2)'''  Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' gilt nun:
	:$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$		:$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
	:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 ~~= 0.500~~\hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},~~\hspace{0.5cm}~~P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$		:$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
	:$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ].$$		:$$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$
			:$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = \big [ 1/2, \ 1/4 , \ 1/4 ].$$


			'''(3)'''  Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein. Dies trifft hier nicht zu:     Antwort   <u>'''Nein'''</u>.

	~~'''(3)'''  Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein. Dies trifft hier nicht zu:     <u>Antwort Nein</u>.~~

	~~[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png\|right\|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]~~
	'''(4)'''  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.		'''(4)'''  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.

			[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png\|center\|frame\|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]

	Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:		Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
	:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$		:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}
	~~:$$~~P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}		P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}$$
	P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},\hspace{0.5cm}		:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},\hspace{0.5cm}
	P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$		P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$

	'''(5)'''  Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:   $P_U(U) = [1/2 , 1/2 ]$   bzw.   $P_V(V)=[3/4, 1/4]$. ~~<br>~~Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig ~~  ⇒  ~~
	~~<u>Antwort Ja</u>.~~		'''(5)'''  Richtig ist die Antwort   <u>'''Ja'''</u>:
			*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:   $P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ]$   bzw.   $P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ]$.
			*Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.

Guenter am 8. Oktober 2018 um 13:09 Uhr

2018-10-08T13:09:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Oktober 2018, 15:09 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png\|right\|~~2D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen~~ der ~~Zufallsgrößen <i>X</i> und <i>Y</i>~~]]		[[Datei:P_ID2752__Inf_Z_3_2_neu.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$]]
	Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{~~X,Y~~}(X,Y)$ gegeben ist.		Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,Y)$ gegeben ist.
	*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.		*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
	*Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability'').		*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability'').

	~~Gilt $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.~~

	Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \{ 0, 1 \}$ und $V= \{ 0, 1 \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:		Gilt  $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.

			Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0, 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0, 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:

	:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$		:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$





Zeile 41:		Zeile 45:

	{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?		{Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Ja,		- Ja,
	+ Nein.		+ Nein.
Zeile 54:		Zeile 58:

	{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?		{Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Ja,		+ Ja,
	- Nein.		- Nein.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
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	*Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.		*Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
	*Die so erzwungene Eigenschaft $\|X\| = \|Y\|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.		*Die so erzwungene Eigenschaft $\|X\| = \|Y\|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.2Z 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion nach Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion

2018-01-03T14:03:24Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.2Z 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion nach Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion

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(kein Unterschied)

Guenter am 5. Juni 2017 um 10:54 Uhr

2017-06-05T10:54:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2017, 12:54 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 ~~Vorbemerkungen~~ zu 2D-Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]