Aufgaben:Aufgabe 3.2: Vom Spektrum zum Signal - Versionsgeschichte

Guenter am 21. April 2021 um 14:15 Uhr

2021-04-21T14:15:50Z

Guenter am 21. April 2021 um 14:10 Uhr

2021-04-21T14:10:10Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:59 Uhr

2019-09-25T14:59:26Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:50 Uhr

2019-09-25T14:50:31Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:59 Uhr

2018-07-23T14:59:02Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 08:50 Uhr

2018-01-16T08:50:53Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 08:31 Uhr

2018-01-16T08:31:42Z

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2018-01-01T17:17:41Z

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Guenter am 16. Januar 2017 um 16:04 Uhr

2017-01-16T16:04:17Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;$x(t)$&nbsp; ist <u>rein reell</u>:
-*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$&nbsp; ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner).
+*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$&nbsp; ist der Integrand eine ungerade Funktion&nbsp; (gerader Zähler, ungerader Nenner).
 *Somit ist das Integral von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; gleich Null.
-*Demgegenüber liefert beim reellen Anteil&nbsp; $x_{\rm R}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert.
+*Demgegenüber liefert beim reellen Anteil&nbsp; $x_{\rm R}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; gerader Integrand&nbsp; (ungerader Zähler, ungerader Nenner)&nbsp; einen von Null verschiedenen Wert.
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-'''(3)'''&nbsp; Bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; besitzt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $t \rightarrow 0$&nbsp; lautet&nbsp; $x_+ = +2\,\text{V}$.
+'''(3)'''&nbsp; Bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; besitzt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Sprungstelle.&nbsp; Der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $t \rightarrow 0$&nbsp; lautet&nbsp; $x_+ = +2\,\text{V}$.
-*Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man&nbsp; $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt dann:
+*Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man&nbsp; $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$.&nbsp; Für den tatsächlichen Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt dann:
 :$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} +    x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
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 Hier noch ein zweiter Lösungsweg:
-*Der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $f → 0$&nbsp; ist&nbsp; $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert&nbsp; $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
+*Der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $f → 0$&nbsp; ist&nbsp; $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$,&nbsp; der linksseitige Grenzwert&nbsp; $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
 *Auch bezüglich des Spektralwertes bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt also der Zusammenhang:

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 <quiz display=simple>
 {Welche der folgenden Aussagen treffen für das Zeitsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $x(t)$&nbsp; ist eine komplexe Funktion.
 + $x(t)$&nbsp; ist rein reell.
 - $x(t)$&nbsp; ist rein imaginär.
-{Berechnen Sie den Signalverlauf&nbsp; $x(t)$&nbsp; im gesamten Definitionsgebiet. Welche Werte treten zu den Zeiten&nbsp; $t = 1\, \text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = -\hspace{-0.05cm}1\, \text{ ms}$&nbsp; auf?
+{Berechnen Sie den Signalverlauf&nbsp; $x(t)$&nbsp; im gesamten Definitionsgebiet.&nbsp; <br>Welche Werte treten zu den Zeiten&nbsp; $t = 1\, \text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = -\hspace{-0.05cm}1\, \text{ ms}$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $x(t=+1\, \text{ms}) \ = \ $ { 2 3% } $\ \text{V}$
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 $x(t=0) \ = \ $ { 0. } $\ \text{V}$
-{Wie groß ist der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
+{Wie groß ist der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f=0) \ = \ ${ 0. } $\ \text{V/Hz}$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;$x(t)$ ist <u>rein reell</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;$x(t)$&nbsp; ist <u>rein reell</u>:
-*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner).
+*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$&nbsp; ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner).
-*Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null.
+*Somit ist das Integral von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; gleich Null.
-*Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_{\rm R}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert.
+*Demgegenüber liefert beim reellen Anteil&nbsp; $x_{\rm R}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; gerader Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert.
 '''(2)'''&nbsp; Mit der Abkürzung $a = 2\pi t$ kann für das Zeitsignal geschrieben werden:
 :$$x(t) = x_{\rm R} \left( t \right) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi }\int_0^\infty  {\frac{{\sin( {af} )}}{f}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f.$$
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 :$$x(t) = \frac{{4\,{\rm V}}}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ) = 2\;{\rm V} \cdot {\mathop{\rm sign}\nolimits} ( t ).$$
-*Für $t > 0$ ist $x(t) = +2\,\text{V}$ .
+*Für&nbsp; $t > 0$&nbsp; ist&nbsp; $x(t) = +2\,\text{V}$ .
-*Entsprechend gilt $x(t) = -\hspace{-0.1cm}2\,\text{V}$ für $t < 0$.
+*Entsprechend gilt&nbsp; $x(t) = -\hspace{-0.1cm}2\,\text{V}$&nbsp; für&nbsp; $t < 0$.
-*Das Signal $x(t)$ beschreibt also eine Sprungfunktion von $-\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$ auf $+2\,\text{V}$.
+*Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; beschreibt also eine Sprungfunktion von&nbsp; $-\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$ auf $+2\,\text{V}$.
 '''(3)'''&nbsp; Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = +2\,\text{V}$. Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
 :$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} +    x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung
 :$$x( t = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X( f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 0.$$
 '''(4)'''&nbsp; Der Spektralwert bei $f = 0$ ist gleich dem Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ über die Zeitfunktion $x(t)$:
 :$$X( f = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 Hier noch ein zweiter Lösungsweg:
-*Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
+*Der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $f → 0$&nbsp; ist&nbsp; $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert&nbsp; $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
-*Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:
+*Auch bezüglich des Spektralwertes bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt also der Zusammenhang:
 :$$X( {f = 0}) = {1}/{2}\cdot \left( {X_{ +}   + X_{-}  } \right) = 0.$$

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 :$$X(f) = \frac{{2\,{\rm V}}}{ { {\rm j}\pi f}}.$$
-Die zugehörige Zeitfunktion $x(t)$ kann mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegrals]] ermittelt werden:
+Die zugehörige Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|zweiten Fourierintegrals]]&nbsp; ermittelt werden:
 :$$x(t)  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X(f)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d} f =  x_{\rm R} (t) + {\rm j} \cdot x_{\rm I} (t),$$
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 :$$x_{\rm R} (t) = 2\,{\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}}\hspace{0.1cm} {\rm d}f, $$
 :$$x_{\rm I} (t) = -2\, {\rm V} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{ {\cos ( {2\pi ft} )}}{ {\pi f}}} \hspace{0.1cm}{\rm d}f.$$
@@ Zeile 23: / Zeile 26: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
 *Benutzen Sie zur Lösung eventuell die nachfolgenden Angaben:
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen für das Zeitsignal $x(t)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen für das Zeitsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- $x(t)$ ist eine komplexe Funktion.
+- $x(t)$&nbsp; ist eine komplexe Funktion.
-+ $x(t)$ ist rein reell.
++ $x(t)$&nbsp; ist rein reell.
-- $x(t)$ ist rein imaginär.
+- $x(t)$&nbsp; ist rein imaginär.
-{Berechnen Sie den Signalverlauf $x(t)$ im gesamten Definitionsgebiet. Welche Werte treten zu den Zeiten $t = 1\, \text{ms}$ und $t = -\hspace{0.1cm}1\, \text{ ms}$ auf?
+{Berechnen Sie den Signalverlauf&nbsp; $x(t)$&nbsp; im gesamten Definitionsgebiet. Welche Werte treten zu den Zeiten&nbsp; $t = 1\, \text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = -\hspace{-0.05cm}1\, \text{ ms}$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $x(t=+1\, \text{ms}) \ = \ $ { 2 3% } $\ \text{V}$
 $x(t=-1 \text{ms})\hspace{0.2cm} = \ $  { -2.1--1.9 } $\ \text{V}$
-{Wie lautet der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Wie lautet der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $x(t=0) \ = \ $ { 0. } $\ \text{V}$
-{Wie groß ist der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$?
+{Wie groß ist der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f=0) \ = \ ${ 0. } $\ \text{V/Hz}$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und -rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
 *Benutzen Sie zur Lösung eventuell die nachfolgenden Angaben:
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 - $x(t)$ ist rein imaginär.
-{Berechnen Sie den Signalverlauf $x(t)$ im gesamten Definitionsgebiet. Welche Werte treten zu den Zeiten $t = 1\, \text{ms}$ und $t = -\hspace{0.1cm}1\, \text{ms}$auf?
+{Berechnen Sie den Signalverlauf $x(t)$ im gesamten Definitionsgebiet. Welche Werte treten zu den Zeiten $t = 1\, \text{ms}$ und $t = -\hspace{0.1cm}1\, \text{ ms}$ auf?
 |type="{}"}
 $x(t=+1\, \text{ms}) \ = \ $ { 2 3% } $\ \text{V}$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;$x(t)$ ist <u>rein reell</u>:
-*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner). Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null.
+*Beim imaginären Signalanteil &nbsp; &rArr; &nbsp;  $x_{\rm I}(t)$ ist der Integrand eine ungerade Funktion (gerader Zähler, ungerader Nenner).
-*Demgegenüber liefert beim reellen Anteil $x_{\rm R}(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; der gerade Integrand (ungerader Zähler, ungerader Nenner) einen von Null verschiedenen Wert.
+*Somit ist das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ gleich Null.
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-'''(3)'''&nbsp; Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = 2\,\text{V}$. Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
+'''(3)'''&nbsp; Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = +2\,\text{V}$. Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
 :$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} +    x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
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 Hier noch ein zweiter Lösungsweg:
-*Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = –\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
+*Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = -\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$.
 *Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:

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-'''3.''' Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = 2\,\text{V$. Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
+'''3.''' Bei $t = 0$ besitzt $x(t)$ eine Sprungstelle. Der rechtsseitige Grenzwert für $t \rightarrow 0$ lautet $x_+ = 2\,\text{V}$. Nähert man sich der Sprungstelle von negativen Zeiten beliebig nahe, so erhält man $x_– = -\hspace{-0.05cm}2\,\text{V}$. Für den tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$ gilt dann:
-$$x( {t = 0} ) = \frac{1}{2}\cdot ( x_{+} +    x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
+$$x( {t = 0} ) = {1}/{2}\cdot ( x_{+} +    x_{-} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 Zum gleichen Ergebnis kommt man bei Berücksichtigung der Beziehung
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 $$X( f = 0) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t)}\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-Hier noch ein zweiter Lösungsweg: Der rechtsseitige Grenzwert für $f$ → 0 ist $X_+ = –\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:
+Hier noch ein zweiter Lösungsweg: Der rechtsseitige Grenzwert für $f → 0$ ist $X_+ = –\text{j} \cdot \infty$, der linksseitige Grenzwert $X_- = \text{j} \cdot \infty$. Auch bezüglich des Spektralwertes bei $f = 0$ gilt also der Zusammenhang:
 $$X( {f = 0}) = {1}/{2}\cdot \left( {X_{ +}   + X_{-}  } \right) = 0.$$