Aufgaben:Aufgabe 3.2: VTF zur Aufgabe 3.1 - Versionsgeschichte

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2022-01-04T13:39:29Z

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2022-01-04T13:24:31Z

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2022-01-04T10:50:11Z

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2022-01-04T10:49:05Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da&nbsp; $x$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e und auf den Bereich&nbsp; $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}< 2|$&nbsp;  begrenzt ist, sind <u>alle drei vorgegebenen Aussagen</u> richtig.
+'''(1)'''&nbsp; Da&nbsp; $x$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e und auf den Bereich&nbsp; $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}< 2|$&nbsp;  begrenzt ist,&nbsp; sind&nbsp; <u>alle drei vorgegebenen Aussagen</u>&nbsp; richtig.
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 *Bei einer diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e steigt die Verteilungsfunktion nur schwach monoton an.
 * Das heißt: &nbsp; Es gibt au&szlig;er Spr&uuml;ngen ausschlie&szlig;lich horizontale Abschnitte der VTF.
-*Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt, ist demzufolge&nbsp; $F_y(-2) = 0.1$, also ungleich Null.
+*Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt,&nbsp; ist demzufolge&nbsp; $F_y(-2) = 0.1$,&nbsp; also ungleich Null.
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 '''(3)'''&nbsp; Die VTF&nbsp; $F_x(r)$&nbsp; berechnet sich als das Integral von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $r$&nbsp; &uuml;ber die WDF&nbsp; $f_x(x)$.
-Aufgrund der Symmetrie kann hierf&uuml;r im Bereich&nbsp; $0 \le r \le +2$&nbsp; geschrieben werden:
+*Aufgrund der Symmetrie kann hierf&uuml;r im Bereich&nbsp; $0 \le r \le +2$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} +  \int_{0}^{r} f_x(x)\;{\rm d}x = \frac{1}{2} +  \int_{0}^{ r} {1}/{2}\cdot \cos^2 ({\pi}/{4}\cdot x)\;{\rm d}x.$$
-In gleicher Weise wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 erh&auml;lt man somit:
+*In gleicher Weise wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 erh&auml;lt man somit:
 :$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} +  \frac{ r}{ 4} +  \frac{1}{2 \pi}   \cdot \sin({\pi}/{2}\cdot  r),$$
 :$$F_{x} (r=0) =\rm \frac{1}{2} + \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin(\rm 0)\hspace{0.15cm}{= 0.500},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Punktsymmetrie um&nbsp; $r=0$&nbsp; &nbsp;bzw.&nbsp; $F_{x} (0) = 1/2$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(-x) = -\sin(x)$&nbsp; gilt diese Formel im gesamten Bereich, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:
+'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Punktsymmetrie um&nbsp; $r=0$&nbsp; &nbsp;bzw.&nbsp; $F_{x} (0) = 1/2$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(-x) = -\sin(x)$&nbsp; gilt diese Formel im gesamten Bereich,&nbsp; wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:
 :$$F_{x} (r=-2) =\rm \frac{1}{2} -  \frac{\rm1}{\rm 2} - \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin(\pi)=0,$$
 :$$F_{x} (r=-1) =\rm \frac{1}{2} -  \frac{\rm1}{\rm 4} - \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.091}.$$
-'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; liegt, gilt:
+'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; liegt,&nbsp; gilt:
 :$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|< 1)= F_{x}(+1) - F_{ x}(-1)= 0.909-0.091\hspace{0.15cm}\underline{= 0.818}.$$
-*Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 &uuml;berein, das durch direkte Integration &uuml;ber die WDF ermittelt wurde.
+*Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 &uuml;berein,&nbsp; das durch direkte Integration &uuml;ber die WDF ermittelt wurde.
 '''(6)'''&nbsp; Die VTF der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $y =0$&nbsp; ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $0$,&nbsp; also gilt
 :$$F_y(r = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID114__Sto_A_3_2.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;VTF (oben),<br> treppenförmige VTF (unten)]]
+[[Datei:P_ID114__Sto_A_3_2.png|right|frame|VTF der kontinuierlichen und der diskreten Zufallsgröße]]
 Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]].
 *Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist in den Bereichen&nbsp; $|x| > 2$&nbsp; identisch Null,&nbsp; und im Bereich&nbsp; $-2 \le x \le +2$&nbsp; gilt:
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]].
+*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]].
 *Gegeben ist die folgende Gleichung:
 :$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4  a}\cdot \sin(2 ax).$$
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-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist. <br>Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; von Aufgabe 3.1.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist. <br>Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; von Aufgabe 3.1.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 1) \ = \  $  { 0.818 3% }

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 }}
-[[Datei:P_ID114__Sto_A_3_2.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;VTF (oben),<br> Dirac&ndash;VTF (unten)]]
+[[Datei:P_ID114__Sto_A_3_2.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;VTF (oben),<br> treppenförmige VTF (unten)]]
 Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]].
 *Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist in den Bereichen&nbsp; $|x| > 2$&nbsp; identisch Null,&nbsp; und im Bereich&nbsp; $-2 \le x \le +2$&nbsp; gilt:

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e und auf den Bereich $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|$ < 2 begrenzt ist, sind <u>alle drei vorgegebenen Aussagen</u> richtig.
+'''(1)'''&nbsp; Da&nbsp; $x$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e und auf den Bereich&nbsp; $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}< 2|$&nbsp;  begrenzt ist, sind <u>alle drei vorgegebenen Aussagen</u> richtig.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind hier nur die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
 *Bei einer diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e steigt die Verteilungsfunktion nur schwach monoton an.
-* Dsas heißt: &nbsp; Es gibt au&szlig;er Spr&uuml;ngen ausschlie&szlig;lich horizontale Abschnitte der VTF.
+* Das heißt: &nbsp; Es gibt au&szlig;er Spr&uuml;ngen ausschlie&szlig;lich horizontale Abschnitte der VTF.
-*Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt, ist demzufolge $F_y(-2) = 0.1$, also ungleich $0$.
+*Da an den Sprungstellen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gilt, ist demzufolge&nbsp; $F_y(-2) = 0.1$, also ungleich Null.
-'''(3)'''&nbsp; Die VTF $F_x(r)$ berechnet sich als das Integral von $-\infty$ bis $r$ &uuml;ber die WDF $f_x(x)$.
+'''(3)'''&nbsp; Die VTF&nbsp; $F_x(r)$&nbsp; berechnet sich als das Integral von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $r$&nbsp; &uuml;ber die WDF&nbsp; $f_x(x)$.
-Aufgrund der Symmetrie kann hierf&uuml;r im Bereich $0 \le r \le +2$ geschrieben werden:
+Aufgrund der Symmetrie kann hierf&uuml;r im Bereich&nbsp; $0 \le r \le +2$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} +  \int_{0}^{r} f_x(x)\;{\rm d}x = \frac{1}{2} +  \int_{0}^{ r} {1}/{2}\cdot \cos^2 ({\pi}/{4}\cdot x)\;{\rm d}x.$$
-In gleicher Weise wie bei der Teilaufgabe '''(7)''' der Aufgabe 3.1 erh&auml;lt man somit:
+In gleicher Weise wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 erh&auml;lt man somit:
 :$$F_{x} (r) =\frac{1}{2} +  \frac{ r}{ 4} +  \frac{1}{2 \pi}   \cdot \sin({\pi}/{2}\cdot  r),$$
 :$$F_{x} (r=0) =\rm \frac{1}{2} + \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin(\rm 0)\hspace{0.15cm}{= 0.500},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Punktsymmetrie um $r=0$ &nbsp;bzw.&nbsp; $F_{x} (0) = 1/2$ und wegen $\sin(-x) = -\sin(x)$ gilt diese Formel im gesamten Bereich, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:
+'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Punktsymmetrie um&nbsp; $r=0$&nbsp; &nbsp;bzw.&nbsp; $F_{x} (0) = 1/2$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(-x) = -\sin(x)$&nbsp; gilt diese Formel im gesamten Bereich, wie die folgende Kontrollrechnung zeigt:
 :$$F_{x} (r=-2) =\rm \frac{1}{2} -  \frac{\rm1}{\rm 2} - \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin(\pi)=0,$$
 :$$F_{x} (r=-1) =\rm \frac{1}{2} -  \frac{\rm1}{\rm 4} - \rm \frac{1}{2 \pi}   \cdot\rm sin({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.091}.$$
-'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $-1$ und $+1$ liegt, gilt:
+'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; liegt, gilt:
 :$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|< 1)= F_{x}(+1) - F_{ x}(-1)= 0.909-0.091\hspace{0.15cm}\underline{= 0.818}.$$
-Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat der Teilaufgabe '''(7)''' der Aufgabe 3.1 &uuml;berein, das durch direkte Integration &uuml;ber die WDF ermittelt wurde.
+*Dieses Ergebnis stimmt exakt mit dem Resultat der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; der Aufgabe 3.1 &uuml;berein, das durch direkte Integration &uuml;ber die WDF ermittelt wurde.
-'''(6)'''&nbsp; Die VTF der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ an der Stelle $y =0$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von $-2$, $-1$ und $0$, also gilt
+'''(6)'''&nbsp; Die VTF der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $y =0$&nbsp; ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $-2$,&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $0$,&nbsp; also gilt
 :$$F_y(r = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.7}.$$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]].
 *Gegeben ist die folgende Gleichung:

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(kein Unterschied)

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 [[Datei:P_ID114__Sto_A_3_2.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;VTF (oben),<br> Dirac&ndash;VTF (unten)]]
-Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]].
+Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die&nbsp; [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]].
-*Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist in den Bereichen $|x| > 2$ identisch Null, und im Bereich $-2 \le x \le +2$ gilt:
+*Die WDF der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist in den Bereichen&nbsp; $|x| > 2$&nbsp; identisch Null,&nbsp; und im Bereich&nbsp; $-2 \le x \le +2$&nbsp; gilt:
 :$$f_x(x)={1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x).$$
-*Auch die diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ist auf den Bereich $\pm 2$ begrenzt. Hier gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:
+*Auch die diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist auf den Bereich&nbsp; $\pm 2$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Hier gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:
 :$${\rm \Pr}(y=0)=0.4,$$
 :$${\rm \Pr}(y=+1)={\rm \Pr}(y=-1)=0.2,$$
 :$${\rm \Pr}(y=+2)={\rm \Pr}(y=-2)=0.1.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
 *Gegeben ist die folgende Gleichung:
 :$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4  a}\cdot \sin(2 ax).$$
-*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]].
+*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind f&uuml;r die Verteilungsfunktion $F_x(r)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ richtig?
+{Welche der folgenden Aussagen sind f&uuml;r die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_x(r)$&nbsp; der wertkontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; richtig?
 |type="[]"}
-+ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte $r \le -2$ gleich  $F_x(r) \equiv 0$.
++ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte&nbsp; $r \le -2$&nbsp; gleich&nbsp;  $F_x(r) \equiv 0$.
-+ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte $r \ge +2$  gleich  $F_x(r) \equiv 1$.
++ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte&nbsp; $r \ge +2$&nbsp;  gleich&nbsp;  $F_x(r) \equiv 1$.
-+ Der Verlauf von $F_x(r)$ ist monoton steigend.
++ Der Verlauf von&nbsp; $F_x(r)$&nbsp; ist monoton steigend.
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind f&uuml;r die Verteilungsfunktion $F_y(r)$ der wertdiskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ richtig?
+{Welche der folgenden Aussagen sind f&uuml;r die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_y(r)$&nbsp; der wertdiskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; richtig?
 |type="[]"}
-- Die VTF ist f&uuml;r alle Werte $r \le -2$ gleich  $F_y(r) \equiv 0$.
+- Die VTF ist f&uuml;r alle Werte&nbsp; $r \le -2$&nbsp; gleich&nbsp;  $F_y(r) \equiv 0$.
-+ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte $r \ge +2$  gleich  $F_y(r) \equiv 1$.
++ Die VTF ist f&uuml;r alle Werte&nbsp; $r \ge +2$&nbsp;  gleich&nbsp;  $F_y(r) \equiv 1$.
-+ Der Verlauf von $F_y(r)$ ist monoton steigend.
++ Der Verlauf von&nbsp; $F_y(r)$&nbsp; ist monoton steigend.
-{Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_x(r)$. Beschr&auml;nken Sie sich hier auf den Bereich  $0 \le r \le +2$. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $r = +1$?
+{Berechnen Sie die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_x(r)$.&nbsp; Beschr&auml;nken Sie sich hier auf den Bereich&nbsp;  $0 \le r \le +2$. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $r = +1$?
 |type="{}"}
 $F_x(r=+1) \ = \ $ { 0.909 3% }
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $F_x(r)$ und $F_x(-r)$? Geben Sie den VTF-Wert f&uuml;r $-1$ ein.
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $F_x(r)$&nbsp; und&nbsp; $F_x(-r)$?&nbsp; Geben Sie den VTF-Wert&nbsp; $F_x(r=-1)$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $F_x(r=-1) \ = \  $  { 0.091 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $1$ ist. <br>Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(7)''' von Aufgabe 3.1.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist. <br>Vergleichen Sie das Resultat mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; von Aufgabe 3.1.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 1) \ = \  $  { 0.818 3% }
-{Welchen Wert erh&auml;lt man f&uuml;r die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ an der Stelle $r = 0$?
+{Welchen Wert erh&auml;lt man f&uuml;r die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $r = 0$?
 |type="{}"}
 $F_y(r = 0)\ =  \ $ { 0.7 3% }