Aufgaben:Aufgabe 3.2: Laplace-Transformation - Versionsgeschichte

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   \hspace{0.05cm} .$$
 *Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion.
-*Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen,&nbsp; da hier das Argument der Arcustangens&ndash;Funktion dimensionsbehaftet ist.
+*Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen,&nbsp; da hier das Argument der&nbsp; $\rm arctan$&ndash;Funktion dimensionsbehaftet ist.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>:
 *Entsprechend der Laplace&ndash;Definition gilt mit den vorgegebenen Gleichungen:
 :$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
   d}t = \frac{p}{p^2 + \omega_0^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Der Vorschlag 3 scheidet aus, da&nbsp; $X_{\rm L}(p)$&nbsp; die Einheit &bdquo;Sekunde&rdquo; aufweisen muss (Integral über die Zeit), während&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $\omega_0$&nbsp; jeweils die Einheit &bdquo;1/s&rdquo;  besitzen.
+*Der Vorschlag 3 scheidet aus,&nbsp; da&nbsp; $X_{\rm L}(p)$&nbsp; die Einheit &bdquo;Sekunde&rdquo; aufweisen muss&nbsp; (Integral über die Zeit),&nbsp; während&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $\omega_0$&nbsp; jeweils die Einheit &bdquo;1/s&rdquo;  besitzen.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Hier gilt bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''':
 :$$Y_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 *Die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion der kausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion lautet mit dem vorne angegebenen Integral:
 :$$Z_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
@@ Zeile 138: / Zeile 138: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
 *Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion.
-*Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da hier das Argument der Arcustangens&ndash;Funktion dimensionsbehaftet ist.
+*Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen,&nbsp; da hier das Argument der Arcustangens&ndash;Funktion dimensionsbehaftet ist.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Aus&nbsp; $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$&nbsp; folgt mit dem Faltungssatz:
 :$$Z(f) = S(f) \star {\it \Gamma}(f) = {1}/{2}
 \cdot S(f) \star \delta (f) + S(f) \star \frac{1}{{\rm j} \cdot
 \pi f}\hspace{0.05cm}.$$
-*Da&nbsp; $S(f)$&nbsp; reell ist, ergibt sich der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; als der erste Term dieser Gleichung:
+*Da&nbsp; $S(f)$&nbsp; reell ist,&nbsp; ergibt sich der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; als der erste Term dieser Gleichung:
 :$${\rm Re}[ Z(f)] =  {1}/{2}
 \cdot S(f) \star \delta (f) = {1}/{2} \cdot S(f)
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; hat somit die gleiche Rechteckform wie&nbsp; $S(f)$, ist aber nur halb so hoch:
+*Der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; hat somit die gleiche Rechteckform wie&nbsp; $S(f)$,&nbsp; ist aber nur halb so hoch:
 :$${\rm Re}\{ Z(f)\}= \left\{ \begin{array}{c} T/2 \\
    \end{array} \right.
@@ Zeile 165: / Zeile 165: @@
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt für den Imaginärteil:
 :$${\rm Im}\{ Z(f)\} = S(f) \star \frac{(-1)}{{\rm j} \cdot

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 *$\sin(t)/t$&ndash;Signal mit äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $T$:
-:$$z(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
+:$$z(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})=  {\rm sinc} ({t}/{T})\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x ={\rm sinc}(x)/\pi \hspace{0.05cm}.$$
-Da&nbsp; $z(t)$&nbsp; ebenso wie die Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion <u>nicht</u> die folgende Gleichung herangezogen werden:
+Da&nbsp; $z(t)$&nbsp; ebenso wie die Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion die folgende Gleichung&nbsp;  '''<u>nicht</u>'''&nbsp;  herangezogen werden:
 :$$Z(f) =  Z_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f}} .$$
-Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass&nbsp; $z(t) =  s(t) \cdot \gamma(t)$&nbsp; gilt, wobei&nbsp; $s(t)$&nbsp; hier die herkömmliche symmetrische&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion bezeichnet:
+Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass&nbsp; $z(t) =  s(t) \cdot \gamma(t)$&nbsp; gilt,&nbsp; wobei&nbsp; $s(t)$&nbsp; hier die herkömmliche symmetrische&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion bezeichnet:
-:$$s(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T}) \quad
+:$$s(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})=  {\rm sinc} ({t}/{T}) \quad
 \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad S(f)$$
@@ Zeile 43: / Zeile 42: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
 *Gegeben sind folgende bestimmte Integrale:
 :$$\int_{0}^{

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   d}t = \frac{p}{p^2 + \omega_0^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Der Vorschlag 3 scheidet von vorneherein aus, da $X_{\rm L}(p)$ die Einheit &bdquo;Sekunde&rdquo; aufweisen muss (Integral über die Zeit), während $p$ und $\omega_0$ jeweils die Einheit &bdquo;1/s&rdquo;  besitzen.
+*Der Vorschlag 3 scheidet aus, da&nbsp; $X_{\rm L}(p)$&nbsp; die Einheit &bdquo;Sekunde&rdquo; aufweisen muss (Integral über die Zeit), während&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $\omega_0$&nbsp; jeweils die Einheit &bdquo;1/s&rdquo;  besitzen.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Hier gilt bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(1)''':
+*Hier gilt bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''':
 :$$Y_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
 \infty}
@@ Zeile 129: / Zeile 130: @@
   d}t = \frac{\omega_0}{p^2 + \omega_0^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die $p$&ndash;Übertragungsfunktion der kausalen $\rm si$&ndash;Funktion lautet mit dem vorne angegebenen Integral:
+*Die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion der kausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion lautet mit dem vorne angegebenen Integral:
 :$$Z_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
 \infty}
@@ Zeile 138: / Zeile 140: @@
   d}t = \frac{T}{\pi} \cdot {\rm arctan} \; \frac{\pi}{p\cdot T}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen si&ndash;Funktion.
+*Der Vorschlag 1 gilt nur für die Fouriertransformierte der akausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion.
 *Der Vorschlag 2 kann schon allein deshalb nicht stimmen, da hier das Argument der Arcustangens&ndash;Funktion dimensionsbehaftet ist.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Aus $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$ folgt mit dem Faltungssatz:
+*Aus&nbsp; $z(t) = s(t) \cdot \gamma(t)$&nbsp; folgt mit dem Faltungssatz:
 :$$Z(f) = S(f) \star {\it \Gamma}(f) = {1}/{2}
 \cdot S(f) \star \delta (f) + S(f) \star \frac{1}{{\rm j} \cdot
 \pi f}\hspace{0.05cm}.$$
-*Da $S(f)$ reell ist, ergibt sich der Realteil von $Z(f)$ als der erste Term dieser Gleichung:
+*Da&nbsp; $S(f)$&nbsp; reell ist, ergibt sich der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; als der erste Term dieser Gleichung:
 :$${\rm Re}[ Z(f)] =  {1}/{2}
 \cdot S(f) \star \delta (f) = {1}/{2} \cdot S(f)
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Realteil von $Z(f)$ hat somit die gleiche Rechteckform wie $S(f)$, ist aber nur halb so hoch:
+*Der Realteil von&nbsp; $Z(f)$&nbsp; hat somit die gleiche Rechteckform wie&nbsp; $S(f)$, ist aber nur halb so hoch:
 :$${\rm Re}\{ Z(f)\}= \left\{ \begin{array}{c} T/2 \\
    \end{array} \right.
@@ Zeile 162: / Zeile 165: @@
 \end{array}
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{{\rm Vorschlag \hspace{0.15cm} 1}}.$$
@@ Zeile 169: / Zeile 173: @@
 \pi f} \hspace{0.05cm}.$$
-*Für hinreichend große Frequenzen $f \ge 1/(2T)$ liefert dieses Faltungsintegral:
+*Für hinreichend große Frequenzen&nbsp; $f \ge 1/(2T)$&nbsp; liefert dieses Faltungsintegral:
 :$${\rm Im}\{ Z(f)\} = -T \cdot \int_{f- 1/(2T)}^{
 f+ 1/(2T)} {  \frac{1}{2\pi x}}\hspace{0.1cm}{\rm

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 [[Datei:P_ID1763__LZI_A_3_2.png|right|frame|Drei kausale Zeitfunktionen]]
-Kausale Signale und Systeme beschreibt man meist mittels der Laplace&ndash;Transformation. Ist $x(t)$ für alle Zeiten $t < 0$ identisch Null, so lautet die Laplace&ndash;Transformierte:
+Kausale Signale und Systeme beschreibt man meist mittels der Laplace&ndash;Transformation.&nbsp; Ist&nbsp; $x(t)$&nbsp; für alle Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null, so lautet die Laplace&ndash;Transformierte:
 :$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
 \infty}
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   d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
-In dieser Aufgabe sollen die Laplace&ndash;Transformierten der in der Grafik dargestellten kausalen Signale ermittelt werden. Die folgenden Gleichungen gelten jeweils nur für $t \ge 0$. Für negative Zeiten sind alle Signale identisch Null.
+In dieser Aufgabe sollen die Laplace&ndash;Transformierten der in der Grafik dargestellten kausalen Signale ermittelt werden.&nbsp; Die folgenden Gleichungen gelten jeweils nur für&nbsp; $t \ge 0$.&nbsp; Für negative Zeiten sind alle Signale identisch Null.
-*Cosinussignal mit der Periodendauer $T_0$:
+*Cosinussignal mit der Periodendauer&nbsp; $T_0$:
 :$$x(t) = {\rm cos} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm cos} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
-*Sinussignal mit Periodendauer $T_0$:
+*Sinussignal mit Periodendauer&nbsp; $T_0$:
 :$$y(t) = {\rm sin} (2\pi \cdot {t}/{T_0})= {\rm sin} (\omega_0 \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
-*$\sin(t)/t$&ndash;Signal mit äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand $T$:
+*$\sin(t)/t$&ndash;Signal mit äquivalenten Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $T$:
 :$$z(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
   \hspace{0.05cm}.$$
-Da $z(t)$ ebenso wie die Signale $x(t)$ und $y(t)$ nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion <u>nicht</u> die folgende Gleichung herangezogen werden:
+Da&nbsp; $z(t)$&nbsp; ebenso wie die Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht energiebegrenzt ist, kann zur Berechnung der Spektralfunktion <u>nicht</u> die folgende Gleichung herangezogen werden:
 :$$Z(f) =  Z_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
   f}} .$$
-Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass $z(t) =  s(t) \cdot \gamma(t)$ gilt, wobei $s(t)$ hier die herkömmliche symmetrische $\rm si$&ndash;Funktion bezeichnet:
+Vielmehr ist zu berücksichtigen, dass&nbsp; $z(t) =  s(t) \cdot \gamma(t)$&nbsp; gilt, wobei&nbsp; $s(t)$&nbsp; hier die herkömmliche symmetrische&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion bezeichnet:
 :$$s(t) =  {\rm si} (\pi \cdot {t}/{T}) \quad
 \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad S(f)$$
-$S(f)$ ist eine um $f  = 0$ symmetrische Rechteckfunktion mit der Höhe $T$ und der Breite $1/T$.
+$S(f)$&nbsp; ist eine um&nbsp; $f  = 0$&nbsp; symmetrische Rechteckfunktion mit Höhe&nbsp; $T$&nbsp; und Breite&nbsp; $1/T$.
-Die Fouriertansformierte der Sprungfunktion $\gamma(t)$ lautet:
+Die Fouriertansformierte der Sprungfunktion&nbsp; $\gamma(t)$&nbsp; lautet:
 :$$\gamma(t) \quad
 \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad {\it \Gamma}(f) = {1}/{2}
 \cdot \delta (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 68: / Zeile 71: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte $X_{\rm L}(p)$ der kausalen Cosinusfunktion  $x(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?
+{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte&nbsp; $X_{\rm L}(p)$&nbsp; der kausalen Cosinusfunktion&nbsp;  $x(t)$.&nbsp; Wie lautet die richtige Lösung?
 |type="()"}
 - $X_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
@@ Zeile 74: / Zeile 77: @@
 - $X_{\rm L}(p) = 1/(p^2 + \omega_0^2)$.
-{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte $Y_{\rm L}(p)$ der kausalen Sinusfunktion  $y(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?
+{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; der kausalen Sinusfunktion&nbsp;  $y(t)$.&nbsp; Wie lautet die richtige Lösung?
 |type="()"}
 + $Y_{\rm L}(p) = \omega_0/(p^2 + \omega_0^2)$.
@@ Zeile 81: / Zeile 84: @@
-{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte $Z_{\rm L}(p)$ der kausalen $\rm si$&ndash;Funktion  $z(t)$. Wie lautet die richtige Lösung?
+{Berechnen Sie die Laplace&ndash;Transformierte&nbsp; $Z_{\rm L}(p)$&nbsp; der kausalen&nbsp; $\rm si$&ndash;Funktion&nbsp;  $z(t)$.&nbsp; Wie lautet die richtige Lösung?
 |type="()"}
 - $Z_{\rm L}(p)$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
@@ Zeile 88: / Zeile 91: @@
-{Berechnen Sie den Realteil des Spektrums $Z(f)$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie den Realteil des Spektrums&nbsp; $Z(f)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + ${\rm Re}\big[Z(f)\big]$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
@@ Zeile 94: / Zeile 97: @@
-{Berechnen Sie den Imaginärteil von $Z(f)$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie den Imaginärteil von&nbsp; $Z(f)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- ${\rm Im}\big[Z(f)\big]$ hat einen rechteckförmigen Verlauf.
+- ${\rm Im}\big[Z(f)\big]$&nbsp; hat einen rechteckförmigen Verlauf.
-+ ${\rm Im}\big[Z(f)\big]$ ist proportional zu $\ln\; \big|(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)\big|.$
++ ${\rm Im}\big[Z(f)\big]$&nbsp; ist proportional zu&nbsp; $\ln\; \big|(f \cdot T -0.5)/(f \cdot T +0.5)\big|.$