Aufgaben:Aufgabe 3.2: G–Matrix eines Faltungscodierers - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juni 2019 um 15:13 Uhr

2019-06-04T15:13:50Z

Guenter am 4. Juni 2019 um 15:07 Uhr

2019-06-04T15:07:39Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 18. Januar 2018 um 16:28 Uhr

2018-01-18T16:28:51Z

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2018-01-18T15:47:16Z

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Guenter am 7. Januar 2018 um 16:00 Uhr

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2018-01-04T06:45:06Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Gedächtnis des betrachteten Faltungscodierers ist $m = 2$. Damit setzt sich die Generatormatrix $\mathbf{G}$ aus den $m + 1 \ \underline {= 3}$ Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ zusammen.
+'''(1)'''&nbsp; Das Gedächtnis des betrachteten Faltungscodierers ist $m = 2$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtigsind die u>Aussage 1 und 2</u>:
 *Aus  den angegebenen Gleichungen
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
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 *Der Eingangswert $u_i^{(1)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(4)}$. Damit lautet die erste Zeile von $\mathbf{G}_0 \text{:} \, 1 \ 1 \ 0 \ 1$  &nbsp; &#8658;  &nbsp; auch Aussage 2 trifft zu.
 *Dagegen ist die Aussage 3 falsch: Nicht die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 0 \ 0$, sondern die erste Spalte. Dies besagt, dass $x_i^{(1)}$ nur von $u_i^{(1)}$ abhängt, aber nicht von $u_i^{(2)}$ oder von $u_i^{(3)}$. Es handelt sich um einen systematischen Code.
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 *Im Gleichungssatz kommt dreimal ein Eingangswert $u_{i&ndash;1}^{(j)}$ mit $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ vor. Somit beinhaltet $\mathbf{G}_1$ insgesamt drei Einsen.
 *Der Eingangswert $u_{i-1}^{(2)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$, während $u_{i-1}^{(3)}$ nur für die Berechnung von $x_i^{(2)}$ herangezogen wird.
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 *Dieses Ergebnis gilt für jeden systematischen Code mit den Parametern $k = 3$ und $n = 4$.
-[[Datei:P_ID2615__KC_A_3_2d_v1.png|center|frame|Generatormatrix eines Faltungscodes: $k = 4, \ n = 4, \ m = 2$]]
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u> Aussage 2</u>:
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 *Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ (hier auf $9$ Bit) ist auch die Codesequenz $\underline{x}$ begrenzt.
 *Interessiert man sich nur für die ersten Bits, so genügt es, nur den linken oberen Ausschnitt der Generatormatrix wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (4) zu betrachten.
-*Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden. Richtig ist $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ ...)$ und damit Antwort 2.
+*Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden.
-Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe (4) von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.
+Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe '''(4)''' von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.
-*Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
+*Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch für die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
 *Die Codesequenz $\underline{x}$ setzt sich aus den vier Teilsequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(4)}$ zusammen, die in der Grafik aufgrund unterschiedlicher Farbgebung abgelesen werden können.

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 [[Datei:P_ID2614__KC_A_3_1_neu.png|right|frame|Vorgegebener Faltungscodierer]]
-Wir betrachten wie in [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] den nebenstehend gezeichneten Faltungscodierer der Rate $3/4$. Dieser wird durch den folgenden Gleichungssatz charakterisiert:
+Wir betrachten wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]]&nbsp; den nebenstehend gezeichneten Faltungscodierer der Rate&nbsp; $3/4$. Dieser wird durch den folgenden Gleichungssatz charakterisiert:
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
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 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
-Bezieht man sich auf die bei $i = 1$ beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
+Bezieht man sich auf die bei&nbsp; $i = 1$&nbsp; beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
 :$$\underline{\it u} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i ,\text{...} \hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{\it x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it x}_1, \underline{\it x}_2, \text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i , \text{...} \hspace{0.1cm} \right )$$
-mit $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ \text{...} \ , u_i^{(k)})$ bzw. $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ \text{...} \ , x_i^{(n)})$, so kann der Zusammenhang zwischen der Informationssequenz $\underline{u}$ und der Codesequenz $\underline{x}$ durch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in folgender Form ausgedrückt werden:
+mit&nbsp; $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ \text{...} \ , u_i^{(k)})$&nbsp; bzw.&nbsp; $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ \text{...} \ , x_i^{(n)})$, so kann der Zusammenhang zwischen der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; in folgender Form ausgedrückt werden:
 :$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}  \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Generatormatrix eines Faltungscoders mit dem Gedächtnis $m$ ist dabei zu setzen:
+Für die Generatormatrix eines Faltungscoders mit dem Gedächtnis&nbsp; $m$&nbsp; ist dabei zu setzen:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
 		{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots   & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnen $\mathbf{G}_0, \mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2, \ \text{...}$ Teilmatrizen mit jeweils $k$ Zeilen und $n$ Spalten sowie binären Matrixelementen ($0$ oder $1$). Ist das Matrixelement $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, so bedeutet dies, dass das Codebit $x_i^{(j)}$ durch das Informationsbit $u_{i-l}^{(\kappa)}$ beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich $0$.
+*Hierbei bezeichnen&nbsp; $\mathbf{G}_0, \ \mathbf{G}_1, \ \mathbf{G}_2, \ \text{...}$&nbsp; Teilmatrizen mit jeweils&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten sowie binären Matrixelementen&nbsp; $(0$&nbsp; oder&nbsp; $1)$.
 Ziel dieser Aufgabe ist es, die zur Informationssequenz
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 ,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})$$
-gehörige Codesequenz $\underline{x}$ entsprechend den obigen Vorgaben zu berechnen. Das Ergebnis müsste mit dem Ergebnis von [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] übereinstimmen, das allerdings auf anderem Wege erzielt wurde.
+gehörige Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; entsprechend den obigen Vorgaben zu berechnen. Das Ergebnis müsste mit dem Ergebnis von&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]]&nbsp; übereinstimmen, das allerdings auf anderem Wege erzielt wurde.
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-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
-* Die  Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+* Die  Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Aus wie vielen Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ setzt sich die Matrix $\mathbf{G}$ zusammen?
+{Aus wie vielen Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; setzt sich die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; zusammen?
 |type="{}"}
 ${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 3 3% }
-{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix $\mathbf{G}_0$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Insgesamt beinhaltet $\mathbf{G}_0$ acht Einsen.
++ Insgesamt beinhaltet&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; acht Einsen.
-+ Die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 1 \ 0 \ 1$.
++ Die erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; lautet&nbsp; $1 \ 1 \ 0 \ 1$.
-- Die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 0 \ 0$.
+- Die erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; lautet&nbsp; $1 \ 0 \ 0$.
-{Welche aussagen treffen für die Teilmatrix $\mathbf{G}_1$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Teilmatrix&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Die erste Zeile lautet $0 \ 0 \ 0 \ 0$.
++ Die erste Zeile lautet&nbsp; $0 \ 0 \ 0 \ 0$.
-+ Die zweite Zeile lautet $0 \ 1 \ 1 \ 0$.
++ Die zweite Zeile lautet&nbsp; $0 \ 1 \ 1 \ 0$.
-+ Die dritte Zeile lautet $0 \ 1 \ 0 \ 0$.
++ Die dritte Zeile lautet&nbsp; $0 \ 1 \ 0 \ 0$.
-{Ermitteln Sie die ersten neun Zeilen und zwölf Spalten der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie die ersten neun Zeilen und zwölf Spalten der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 - Es gibt mindestens eine Zeile mit lauter Nullen.
 - Es gibt mindestens eine Zeile mit lauter Einsen.
-+ In den Spalten $1, 5, 9$ steht jeweils nur eine einzige Eins.
++ In den Spalten&nbsp; $1, 5, 9$&nbsp; steht jeweils nur eine einzige Eins.
-{Welche Codesequenz $\underline {x}$ ergibt sich für $\underline {u} = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1)$?
+{Welche Codesequenz&nbsp; $\underline {x}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $\underline {u} = (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1)$?
 |type="()"}
-- Es gilt: $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, \ \text{...})$.
+- Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, \ \text{...})$.
-+ Es gilt: $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ \text{...})$.
++ Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ \text{...})$.
-- Es gilt: $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$.
+- Es gilt:&nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$.
 </quiz>

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 ''Hinweise:''
 * Die  Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 *Interessiert man sich nur für die ersten Bits, so genügt es, nur den linken oberen Ausschnitt der Generatormatrix wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (4) zu betrachten.
 *Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden. Richtig ist $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ ...)$ und damit Antwort 2.
 Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe (4) von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.

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-'''(2)'''&nbsp; Aus den angegebenen Gleichungen
+'''(2)'''&nbsp; Richtigsind die u>Aussage 1 und 2</u>:
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}$$
-erkennt man, dass im gesamten Gleichungssatz genau achtmal ein Eingangswert $u_i^{(j)}$ mit $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ vorkommt &#8658; <u>Aussage 1 trifft zu</u>. Der Eingangswert $u_i^{(1)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(4)}$. Damit lautet die erste Zeile von $\mathbf{G}_0 \text{:} \, 1 \ 1 \ 0 \ 1$ &#8658; <u>Aussage 2 trifft zu</u>. Dagegen ist die Aussage 3 falsch: Nicht die erste Zeile von $\mathbf{G}_0$ lautet $1 \ 0 \ 0$, sondern die erste Spalte. Dies besagt, dass $x_i^{(1)}$ nur von $u_i^{(1)}$ abhängt, aber nicht von $u_i^{(2)}$ oder von $u_i^{(3)}$. Es handelt sich um einen systematischen Code.
+erkennt man, dass im gesamten Gleichungssatz genau achtmal ein Eingangswert $u_i^{(j)}$ mit $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ vorkommt &nbsp; &#8658; &nbsp; Aussage 1 trifft zu.
-'''(3)'''&nbsp; Im Gleichungssatz kommt dreimal ein Eingangswert $u_{i&ndash;1}^{(j)}$ mit $j &#8712; \{1, 2, 3\}$ vor. Somit beinhaltet $\mathbf{G}_1$ insgesamt drei Einsen. Der Eingangswert $u_{i&ndash;1}^{(2)}$ beeinflusst die Ausgänge $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$, während $u_{i&ndash;1}^{(3)}$ nur für die Berechnung von $x_i^{(2)}$ herangezogen wird &#8658; <u>Alle Aussagen sind zutreffend</u>.
+'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen sind zutreffend</u>:
-'''(4)'''&nbsp; Die folgende Grafik zeigt den linken oberen Beginn (die Zeilen 1 bis 9 sowie die Spalten 1 bis 12) der Generatormatrix $\mathbf{G}$. Daraus ist ersichtlich, dass die beiden ersten Aussagen falsch sind im Gegensatz zur <u>Aussage 3</u>. Dieses Ergebnis gilt für jeden systematischen Code mit den Parametern $k = 3$ und $n = 4$.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u> Aussage 3</u>:
 [[Datei:P_ID2615__KC_A_3_2d_v1.png|center|frame|Generatormatrix eines Faltungscodes: $k = 4, \ n = 4, \ m = 2$]]
-'''(5)'''&nbsp; Allgemein gilt $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$, wobei $\underline{u}$ und $\underline{x}$ Sequenzen sind, das heißt, dass sie sich bis ins Unendliche fortsetzen. Entsprechend ist die Generatormatrix $\mathbf{G}$ weder nach unten noch nach rechts begrenzt.
+Das gleiche Ergebnis haben wir in der Teilaufgabe (4) von  [[Aufgaben:Aufgabe_3.1:_Analyse_eines_Faltungscodierers| Aufgabe 3.1]] erhalten.
-Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ (hier auf $9 \ \rm Bit$) ist auch die Codesequenz $\underline{x}$ begrenzt. Interessiert man sich nur für die ersten Bits, so genügt es, nur den linken oberen Ausschnitt der Generatormatrix wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (4) zu betrachten. Anhand dieser Grafik kann auch das Ergebnis der Matrizengleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ abgelesen werden. Richtig ist $\underline{x} = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, \ ...)$ und damit <u>Antwort 2</u>. Das gleiche Ergebnis haben wir in [[Aufgaben:3.1_Analyse_eines_Faltungscoders| Aufgabe A3.1d]] erhalten.
+*Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
-Dargestellt sind hier nur $9$ Informationsbits und $9 \cdot n/k = 12$ Codebits. Aufgrund der Teilmatrizen $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ würden sich hier aber auch die Codebits 13 bis 20 noch (teilweise) Einsen ergeben.
+*Die Codesequenz $\underline{x}$ setzt sich aus den vier Teilsequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(4)}$ zusammen, die in der Grafik aufgrund unterschiedlicher Farbgebung abgelesen werden können.
 {{ML-Fuß}}
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