Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen - Versionsgeschichte

Guenter am 16. August 2021 um 15:11 Uhr

2021-08-16T15:11:36Z

Guenter am 16. August 2021 um 14:43 Uhr

2021-08-16T14:43:14Z

Guenter am 16. August 2021 um 14:23 Uhr

2021-08-16T14:23:14Z

Guenter am 30. Januar 2020 um 13:04 Uhr

2020-01-30T13:04:35Z

Guenter am 30. Januar 2020 um 11:54 Uhr

2020-01-30T11:54:21Z

Guenter am 8. Oktober 2018 um 12:21 Uhr

2018-10-08T12:21:44Z

Guenter am 8. Oktober 2018 um 12:08 Uhr

2018-10-08T12:08:28Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.1Z Karten ziehen nach Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen

2018-01-03T14:02:51Z

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Guenter am 5. Juni 2017 um 10:53 Uhr

2017-06-05T10:53:09Z

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 * Die zugehörigen Ereignisse&nbsp; ${\rm Pr}(D_1)$,&nbsp;  ${\rm Pr}(D_2)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(D_3)$&nbsp; sind disjunkt:
-:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+:$${\rm Pr} (D_1) = {\rm Pr} (A_1 \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+:$${\rm Pr} (D_2) =  {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) =  \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
+:$${\rm Pr} (D_3) =  {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap  \overline{A_2} \cap A_3) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
 *Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
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 *Damit erhält man für die Summe:
-:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
+:$$p_{\rm 4}= {\rm Pr} (D_1 \cup D_2 \cup D_3) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i =$&nbsp; &bdquo;Es werden genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse gezogen&rdquo; mit den Indizes&nbsp; $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i =$&nbsp; &raquo;Es werden genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse gezogen&laquo;&nbsp; mit den Indizes&nbsp; $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
 *so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und $E_3$&nbsp; ein vollständiges System.
 *Deshalb gilt:

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	*Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist.  <br>Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.		*Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist.  <br>Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.
−	*Das Komplementärereignis sagt ~~dann~~ aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern ~~irgend eine~~ andere Karte.	+	*Das Komplementärereignis  $\overline{\it A_i}$  sagt aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern irgendeine andere Karte.

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 *so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und $E_3$&nbsp; ein vollständiges System.
 *Deshalb gilt:
-:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$
+:$$p_{\rm 5} = \rm Pr ({\it E}_2) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 $p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp;  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$&nbsp; beschreiben ein so genanntes vollständiges System.
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp;  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$&nbsp; beschreiben ein so genanntes&nbsp; &bdquo;vollständiges System&rdquo;.
 |type="{}"}
 $p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:
+'''(1)'''&nbsp; Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß&nbsp; $(1/8)$:
 :$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$
-−
 '''(2)'''&nbsp; Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 :$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
 *Die bedingten Wahrscheinlichkeiten k&ouml;nnen nach der klassischen Definition berechnet werden.
-*Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
+*Man erhält somit das Ergebnis&nbsp; $k/m$&nbsp; $($bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse enthalten$)$:
 :$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
-*$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
+*$p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
 '''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man hier:
 :$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:
 :$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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 *Damit erhält man für die Summe:
-:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3})  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
+:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i =$ &bdquo;Es werden genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i =$&nbsp; &bdquo;Es werden genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse gezogen&rdquo; mit den Indizes&nbsp; $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
-*so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
+*so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und $E_3$&nbsp; ein vollständiges System.
 *Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$

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 [[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Das gewünschte Ergebnis <br>&bdquo;Drei Asse werden gezogen&rdquo;]]
-Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
+Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen.&nbsp; Für Frage&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
 *diese in den Stapel zurückgelegt wird,
 *dieser neu gemischt wird und
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-Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
+Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab&nbsp; '''(2)'''&nbsp; davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden&nbsp; („Ziehen ohne Zurücklegen“).
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
-*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels   [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] <br>im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
+*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels&nbsp;   [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo <br>[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo &nbsp;[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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-Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$,  dass drei Asse gezogen werden?
+Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“.&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$,  dass drei Asse gezogen werden?
 |type="{}"}
   $p_1 \ = \ $  { 0.002 3%  }
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
 |type="{}"}
 $p_2 \ = \ $ { 0.0008 3% }
-{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie   groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen  wird?
+{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“.&nbsp; Wie   groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen  wird?
 |type="{}"}
 $p_3 \ = \ $ { 0.6605 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?
 |type="{}"}
 $p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit  $i = 0, 1, 2, 3$ beschreiben ein vollständiges System.
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp;  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$&nbsp; beschreiben ein so genanntes vollständiges System.
 |type="{}"}
 $p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }

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 *Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels   [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;Stochastische_Signaltheorie&rdquo;.
 *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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