Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:16Z

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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.1Z:_Drawing_Cards]]

Guenter am 16. August 2021 um 15:11 Uhr

2021-08-16T15:11:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2021, 17:11 Uhr
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	* Die zugehörigen Ereignisse  ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$  und  ${\rm Pr}(D_3)$  sind disjunkt:		* Die zugehörigen Ereignisse  ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$  und  ${\rm Pr}(D_3)$  sind disjunkt:

	:$$\rm Pr (~~\it D_{\rm 1}~~) = \rm Pr (~~\it A_{\rm 1}~~ \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$		:$${\rm Pr} (D_1) = {\rm Pr} (A_1 \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
	:$$\rm Pr (~~\it D_{\rm 2}~~) = \rm Pr ( \overline{~~\it A_{\rm 1}~~} \cap ~~\it A_{\rm 2}~~ \cap \overline{~~\it A_{\rm 3}~~}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$		:$${\rm Pr} (D_2) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
	:$$\rm Pr (~~\it D_{\rm 3}~~) = \rm Pr ( \overline{~~\it A_{\rm 1}~~} \cap \overline{~~\it A_{\rm 2}~~} \cap ~~\it A_{\rm 3}~~) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$		:$${\rm Pr} (D_3) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

	*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?		*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
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	*Damit erhält man für die Summe:		*Damit erhält man für die Summe:

	:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (~~\it D_{\rm 1}~~ \cup ~~\it D_{\rm 2}~~ \cup ~~\it D_{\rm 3}~~) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$		:$$p_{\rm 4}= {\rm Pr} (D_1 \cup D_2 \cup D_3) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$


	'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse  $E_i =$  &~~bdquo~~;Es werden genau  $i$  Asse gezogen&~~rdquo~~; mit den Indizes  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,		'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse  $E_i =$  »Es werden genau  $i$  Asse gezogen«  mit den Indizes  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
	*so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.		*so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.
	*Deshalb gilt:		*Deshalb gilt:

Guenter am 16. August 2021 um 14:43 Uhr

2021-08-16T14:43:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2021, 16:43 Uhr
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	*Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist.  <br>Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.		*Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist.  <br>Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.
	*Das Komplementärereignis sagt ~~dann~~ aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern ~~irgend eine~~ andere Karte.		*Das Komplementärereignis  $\overline{\it A_i}$  sagt aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern irgendeine andere Karte.

Guenter am 16. August 2021 um 14:23 Uhr

2021-08-16T14:23:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2021, 16:23 Uhr
Zeile 101:		Zeile 101:
	*so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.		*so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.
	*Deshalb gilt:		*Deshalb gilt:
	:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it ~~E_{\rm 2~~}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$		:$$p_{\rm 5} = \rm Pr ({\it E}_2) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 30. Januar 2020 um 13:04 Uhr

2020-01-30T13:04:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2020, 15:04 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }		$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis:   Die Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$  beschreiben ein so genanntes vollständiges System.		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis:   Die Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$  beschreiben ein so genanntes  &bdquo;vollständiges System”.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }		$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:		'''(1)'''  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß  $(1/8)$:

	:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$		:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$



	'''(2)'''  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:		'''(2)'''  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

	:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \|\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \|( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$		:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \|\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \|( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
	*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.		*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
	*Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):		*Man erhält somit das Ergebnis  $k/m$  $($bei  $m$  Karten sind noch  $k$  Asse enthalten$)$:
	:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$		:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$

	*$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.		*$p_2$  ist kleiner als  $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.


	'''(3)'''  Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man hier:
			'''(3)'''  Analog zur Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man hier:

	:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$		:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$


	'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $~~, da die~~ zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt ~~sind~~:
			'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken.   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $.
			* Die zugehörigen Ereignisse  ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$  und  ${\rm Pr}(D_3)$  sind disjunkt:

	:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$		:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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	*Damit erhält man für die Summe:		*Damit erhält man für die Summe:

	:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$		:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$


	'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse $E_i =$ &bdquo;Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,		'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse  $E_i =$  &bdquo;Es werden genau  $i$  Asse gezogen” mit den Indizes  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
	*so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.		*so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.
	*Deshalb gilt:		*Deshalb gilt:
	:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$		:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$

Guenter am 30. Januar 2020 um 11:54 Uhr

2020-01-30T11:54:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2020, 13:54 Uhr
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	[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif\|right\|frame\|Das gewünschte Ergebnis <br>&bdquo;Drei Asse werden gezogen”]]		[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif\|right\|frame\|Das gewünschte Ergebnis <br>&bdquo;Drei Asse werden gezogen”]]
	Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte		Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen.  Für Frage  '''(1)'''  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
	*diese in den Stapel zurückgelegt wird,		*diese in den Stapel zurückgelegt wird,
	*dieser neu gemischt wird und		*dieser neu gemischt wird und
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	Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).		Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab  '''(2)'''  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden  („Ziehen ohne Zurücklegen“).

			*Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist.  <br>Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.
			*Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern irgend eine andere Karte.





	Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i = 1, 2, 3$ zu setzen. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass, sondern irgend eine andere Karte gezogen wird.


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
	*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] ~~<br>~~im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.		*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.
	*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo ~~<br>~~[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].		*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].


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	Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?		Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }		$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }

	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_2 \ = \ $ { 0.0008 3% }		$p_2 \ = \ $ { 0.0008 3% }

	{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?		{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_3 \ = \ $ { 0.6605 3% }		$p_3 \ = \ $ { 0.6605 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }		$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis:   Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 0, 1, 2, 3$ beschreiben ein vollständiges System.		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis:   Die Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$  beschreiben ein so genanntes vollständiges System.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }		$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }

Guenter am 8. Oktober 2018 um 12:21 Uhr

2018-10-08T12:21:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Oktober 2018, 14:21 Uhr
Zeile 55:		Zeile 55:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß (1/8):		'''(1)'''  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:

	:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$		:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$


	'''(2)'''  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:		'''(2)'''  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

	:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \|\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \|( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$		:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \|\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \|( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
	Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. Man erhält somit das Ergebnis ~~&bdquo;<i>~~k~~</i>~~/~~<i>~~m~~</i>”~~ (bei ~~<i>~~m~~</i>~~ Karten sind noch ~~<i>~~k~~</i>~~ Asse enthalten):		*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
			*Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
	:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$		:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$

	~~<i>p</i><sub>2</sub>~~ ist kleiner als ~~<i>p</i><sub>1</sub>~~, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.		*$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

	'''(3)'''  Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:
			'''(3)'''  Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man hier:

	:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$		:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$


	'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:		'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:
Zeile 77:		Zeile 81:
	:$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$		:$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

	Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein? Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht. Damit erhält man für die Summe ~~<i>p</i><sub>~~4~~</sub> <u>~~= 0.~~3048</u>~~.		*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
			*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
			*Damit erhält man für die Summe:

			:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$


	'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse ~~<i>E<sub>i</sub></i>~~ = &bdquo;Es werden genau ~~<i>i</~~i> Asse gezogen” mit den Indizes ~~<i>~~i~~</i>~~ = 0, 1, 2, 3, so beschreiben ~~<i>E</i><sub>0</sub>~~, ~~<i>E</i><sub>1</sub>~~, ~~<i>E</i><sub>2</sub>~~ und ~~<i>E</i><sub>3</sub>~~ ein vollständiges System. Deshalb gilt:		'''(5)'''  Definiert man die Ereignisse $E_i =$ &bdquo;Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,
			*so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
			*Deshalb gilt:
	:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$		:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$

Guenter am 8. Oktober 2018 um 12:08 Uhr

2018-10-08T12:08:28Z

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	[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif\|right\|Das gewünschte Ergebnis &bdquo;Drei Asse werden gezogen”]]		[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif\|right\|frame\|Das gewünschte Ergebnis <br>&bdquo;Drei Asse werden gezogen”]]
	Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte		Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
	*diese in den Stapel zurückgelegt wird,		*diese in den Stapel zurückgelegt wird,
	*dieser neu gemischt wird und		*dieser neu gemischt wird und
	*anschließend die nächste Karte gezogen wird.		*anschließend die nächste Karte gezogen wird.

	Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab (2) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
			Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).

	Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i = 1, 2, 3$ zu setzen. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass, sondern irgend eine andere Karte gezogen wird.		Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i = 1, 2, 3$ zu setzen. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass, sondern irgend eine andere Karte gezogen wird.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen\|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
	*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;~~Stochastische_Signaltheorie~~”.		*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] <br>im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”.
	*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].		*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo <br>[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].





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	$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }		$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 1, 2, 3$ beschreiben ein vollständiges System.		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis:   Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 0, 1, 2, 3$ beschreiben ein vollständiges System.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }		$p_5 \ = \ $ { 0.0339 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;Stochastische_Signaltheorie”.		*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]] im Buch &bdquo;Stochastische_Signaltheorie”.
	*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].		*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)\|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-03T14:02:51Z

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