Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Hilbert-Transformierte - Versionsgeschichte

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	[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]		[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]
	Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:		Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:
	:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{		:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rmd}\nu \hspace{0.05cm},$$
	+\infty}		:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rmd}\nu \hspace{0.05cm}.$$
	{ \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}\nu \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
	+\infty}
	{ \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

	Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:		Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:
	:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad		:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
	{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

	Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,  genügt eine Gleichung.  Dabei gilt:		Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,  genügt eine Gleichung.  Dabei gilt:
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	'''(1)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:		*Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:
	:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,		:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$


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	'''(2)'''  Richtig ist der  <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  erhält man für die Impulsantwort  $h_2(t)$  den Frequenzgang:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  erhält man für die Impulsantwort  $h_2(t)$  den Frequenzgang:
	:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi		:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pif \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pif \tau)\hspace{0.05cm}.$$
	f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
	f \tau)\hspace{0.05cm}.$$

	*Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz		*Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz
	:$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}		:$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}-\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm}\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}\bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm}\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.05cm}.$$
	\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}
	-\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm}
	\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}
	\bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm}
	\sin (2\pi f \tau)
	\hspace{0.05cm}.$$


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	'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
	*Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:		*Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:
	:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{		:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rmd}t \hspace{0.05cm}= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi ft}}\hspace{0.1cm}{\rmd}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pif\hspace{0.05cm}t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}2\pif\hspace{0.05cm}T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
	+\infty}
	{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}t \hspace{0.05cm}
	= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{
	T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f
	t}}\hspace{0.1cm}{\rm
	d}t
	= \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi
	f\hspace{0.05cm}
	t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}
	2\pi
	f\hspace{0.05cm}
	T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

	*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]]  kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]]  kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi		:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pif T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi fT)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pif T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi fT}\hspace{0.05cm}.$$
	f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
	T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi
	f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f
	T}\hspace{0.05cm}.$$

	*Weiter gilt mit der Umformung  $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:		*Weiter gilt mit der Umformung  $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
	:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x		:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi fT)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
	{\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f
	T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
	\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:33 Uhr

2021-10-09T15:33:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 17:33 Uhr
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	'''(4)'''  Richtig ist <u>Nein</u>:		'''(4)'''  Richtig ist <u>Nein</u>:
	*Die Impulsantwort  $h_4(t)$  ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum  $H_4(f)$  keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.		*Die Impulsantwort  $h_4(t)$  ist nicht kausal,  so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum  $H_4(f)$  keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:31 Uhr

2021-10-09T15:31:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 17:31 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:		*Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:
	:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,		:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,
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	'''(2)'''  Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  erhält man für die Impulsantwort  $h_2(t)$  den Frequenzgang:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  erhält man für die Impulsantwort  $h_2(t)$  den Frequenzgang:
	:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi		:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi

Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:14 Uhr

2021-10-09T15:14:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Oktober 2021, 17:14 Uhr
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	[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]		[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]
	Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:		Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:
	:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{		:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
	+\infty}		+\infty}
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	{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

	Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:		Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,  genügt eine Gleichung.  Dabei gilt:

	* Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.		* Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
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	Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.		Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall.  Zum Beispiel wird sie auch verwendet,  um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

	Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.		Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.

	Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.		Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil,  so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.

Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:23 Uhr

2019-10-30T09:23:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Oktober 2019, 11:23 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Die Fourier–Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:		*Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:
	:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,		:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,
	\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	*Mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] und dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]]  und dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]]  erhält man für die Impulsantwort  $h_2(t)$  den Frequenzgang:
	:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi		:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
	f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi		f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
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	\sin (2\pi f \tau)		\sin (2\pi f \tau)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
	*Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit Breite $T$ und Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion gemäß dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:		*Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:
	:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{		:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{
	+\infty}		+\infty}
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	T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$		T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

	*Mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]] kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]]  kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi		:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
	f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f		f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
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	T}\hspace{0.05cm}.$$		T}\hspace{0.05cm}.$$

	*Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:		*Weiter gilt mit der Umformung  $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
	:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x		:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
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	T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)		T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	'''(4)'''  Richtig ist <u>Nein</u>:		'''(4)'''  Richtig ist <u>Nein</u>:
	*Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.		*Die Impulsantwort  $h_4(t)$  ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum  $H_4(f)$  keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:18 Uhr

2019-10-30T09:18:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Oktober 2019, 11:18 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:

	Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.		Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.





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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist ebenfalls  $\alpha$.		- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist ebenfalls  $\alpha$.
	+ Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist Null.		+ Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist Null.
Zeile 54:		Zeile 57:

	{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_2(t) = \delta(t- \tau)$  die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_2(t) = \delta(t- \tau)$  die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.		- Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
	- Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.		- Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.

Guenter am 25. November 2018 um 14:02 Uhr

2018-11-25T14:02:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2018, 16:02 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.		Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

	Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.		Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.

	Zerlegt man $H(f)$ jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.		Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.


Zeile 38:		Zeile 38:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz\|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz\|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Hilbert-Transformation]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Hilbert-Transformation]].


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie ausgehend von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$. Welche Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist ebenfalls $\alpha$.		- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist ebenfalls  $\alpha$.
	+ Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist ~~$0$~~.		+ Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist Null.
	- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten $\alpha$ verläuft sinusförmig.		- Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  verläuft sinusförmig.


	{Ermitteln Sie ausgehend von $h_2(t) = \delta(t- \tau)$ die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion. Welche Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie ausgehend von  $h_2(t) = \delta(t- \tau)$  die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.		- Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
	- Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist ~~$0$~~.		- Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
	+ Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.		+ Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.


	{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen $h_3(t)$ die Hilbert–Transformierte der Funktion ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$ Welche Aussagen treffen zu?		{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen  $h_3(t)$  die Hilbert–Transformierte der Funktion  ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.		+ Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
	+ Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.		+ Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.


	{Lässt sich aus der Impulsantwort $h_4(t)$ eine Hilbert–Korrespondenz ableiten?		{Lässt sich aus der Impulsantwort  $h_4(t)$  eine Hilbert–Korrespondenz ableiten?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz\|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz\|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Hilbert-Transformation]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation\|Hilbert-Transformation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 15. März 2018 um 14:51 Uhr

2018-03-15T14:51:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. März 2018, 16:51 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Fourier–Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:		'''(1)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,		*Die Fourier–Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:
			:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha ,
	\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$

	~~Richtig ist somit der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.~~

			'''(2)'''  Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
	'''(2)'''  Mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] und dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:		*Mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatz]] und dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Satz von Euler]] erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:
	$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi		:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
	f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi		f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
	f \tau)\hspace{0.05cm}.$$		f \tau)\hspace{0.05cm}.$$

	Daraus ergibt sich ~~entsprechend dem <u>letzten Lösungsvorschlag</u>~~ die Hilbert–Korrespondenz		*Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz
	$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}		:$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm}
	\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}		\leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm}
	-\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm}		-\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm}
Zeile 99:		Zeile 99:


	'''(3)'''  Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit ~~der~~ Breite $T$ und ~~der~~ Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion ~~entsprechend~~ dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:		'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
	$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{		*Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit Breite $T$ und Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion gemäß dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:
			:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{
	+\infty}		+\infty}
	{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm		{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
Zeile 115:		Zeile 116:
	T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$		T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

	Mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]] kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]] kann hierfür auch geschrieben werden:
	$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi		:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
	f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f		f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
	T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi		T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi
Zeile 122:		Zeile 123:
	T}\hspace{0.05cm}.$$		T}\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:		*Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
	$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x		:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
	{\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f		{\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f
	T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)		T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	~~Daraus folgt, dass <u>beide Lösungsalternativen</u> richtig sind.~~


	'''(4)'''  <u>Nein</u>. Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.		'''(4)'''  Richtig ist <u>Nein</u>:
			*Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
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	[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]		[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png\|right\|frame\|Betrachtete Impulsantworten]]
	Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:		Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:
	:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\nu \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}\nu \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

	Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:		Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:
Zeile 89:		Zeile 89:
	'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
	*Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:		*Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegral]]:
	:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t \hspace{0.05cm}= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi ft}}\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pif\hspace{0.05cm}t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}2\pif\hspace{0.05cm}T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}{ h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}= \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi ft}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pif\hspace{0.05cm}t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}2\pif\hspace{0.05cm}T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

	*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]]  kann hierfür auch geschrieben werden:		*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Eulerschen Satz]]  kann hierfür auch geschrieben werden:
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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.1 Folgerungen aus dem Zuordnungssatz^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.1 Folgerungen aus dem Zuordnungssatz^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.1Z:_Hilbert_Transform]]