Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Hilbert-Transformierte - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:33 Uhr

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Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:31 Uhr

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Guenter am 9. Oktober 2021 um 15:14 Uhr

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Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:23 Uhr

2019-10-30T09:23:16Z

Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:18 Uhr

2019-10-30T09:18:07Z

Guenter am 25. November 2018 um 14:02 Uhr

2018-11-25T14:02:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 15. März 2018 um 14:51 Uhr

2018-03-15T14:51:39Z

Guenter am 15. März 2018 um 14:41 Uhr

2018-03-15T14:41:03Z

Guenter am 15. März 2018 um 14:17 Uhr

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 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Nein</u>:
-*Die Impulsantwort&nbsp; $h_4(t)$&nbsp; ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum&nbsp; $H_4(f)$&nbsp; keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
+*Die Impulsantwort&nbsp; $h_4(t)$&nbsp; ist nicht kausal,&nbsp; so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum&nbsp; $H_4(f)$&nbsp; keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
 {{ML-Fuß}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Die Fourier&ndash;Transformierte von&nbsp; $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; lautet:
 :$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der&nbsp; <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 *Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; erhält man für die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; den Frequenzgang:
 :$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi

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 [[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png|right|frame|Betrachtete Impulsantworten]]
-Der Zusammenhang zwischen dem Real&ndash; und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert&ndash;Transformation beschrieben. Hierbei gilt:
+Der Zusammenhang zwischen dem Real&ndash; und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert&ndash;Transformation beschrieben.&nbsp; Hierbei gilt:
 :$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =   - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 +\infty}
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 {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
-Da sich die Hin&ndash; und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:
+Da sich die Hin&ndash; und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,&nbsp; genügt eine Gleichung.&nbsp; Dabei gilt:
 * Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
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-Die Hilbert&ndash;Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass&ndash;Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
+Die Hilbert&ndash;Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall.&nbsp; Zum Beispiel wird sie auch verwendet,&nbsp; um zu einem reellen Bandpass&ndash;Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
 Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten &nbsp;$h(t)$&nbsp; die zugehörigen Frequenzgänge &nbsp;$H(f)$&nbsp; entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.
-Zerlegt man &nbsp;$H(f)$&nbsp; jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil, so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.
+Zerlegt man &nbsp;$H(f)$&nbsp; jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil,&nbsp; so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Fourier&ndash;Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:
+*Die Fourier&ndash;Transformierte von&nbsp; $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; lautet:
 :$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
   \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \}  = 0\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] und dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:
+*Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; erhält man für die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; den Frequenzgang:
 :$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
 f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
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 \sin (2\pi f \tau)
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
-*Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit Breite $T$ und Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion gemäß dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]:
+*Für die rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_3(t)$&nbsp; mit Breite&nbsp; $T$&nbsp; und Höhe&nbsp; $1/T$&nbsp; erhält man die Spektralfunktion gemäß dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]:
 :$$H_3(f) =    \int_{-\infty}^{
 +\infty}
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 T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Eulerschen Satz]] kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit dem&nbsp;  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Eulerschen Satz]]&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
 f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
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 T}\hspace{0.05cm}.$$
-*Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
+*Weiter gilt mit der Umformung&nbsp; $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
 :$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \}  =  {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
@@ Zeile 132: / Zeile 134: @@
 T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Nein</u>:
-*Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
+*Die Impulsantwort&nbsp; $h_4(t)$&nbsp; ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum&nbsp; $H_4(f)$&nbsp; keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
 {{ML-Fuß}}

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 Zerlegt man &nbsp;$H(f)$&nbsp; jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil, so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.
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 <quiz display=simple>
 {Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist ebenfalls &nbsp;$\alpha$.
 + Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist Null.
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 {Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_2(t) =  \delta(t- \tau)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
 - Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 Die Hilbert&ndash;Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass&ndash;Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
-Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.
+Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten &nbsp;$h(t)$&nbsp; die zugehörigen Frequenzgänge &nbsp;$H(f)$&nbsp; entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.
-Zerlegt man $H(f)$ jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil, so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.
+Zerlegt man &nbsp;$H(f)$&nbsp; jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil, so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]].
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie ausgehend von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist ebenfalls $\alpha$.
+- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist ebenfalls &nbsp;$\alpha$.
-+ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ ist $0$.
++ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist Null.
-- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten $\alpha$ verläuft sinusförmig.
+- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; verläuft sinusförmig.
-{Ermitteln Sie ausgehend von $h_2(t) =  \delta(t- \tau)$ die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_2(t) =  \delta(t- \tau)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 - Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
-- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist $0$.
+- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
 + Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.
-{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen $h_3(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$ Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen &nbsp;$h_3(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion &nbsp;${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
++ Die Hilbert Transformierte lautet &nbsp;${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
-+ Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.
++ Die Hilbert Transformierte lautet &nbsp;${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.
-{Lässt sich aus der Impulsantwort $h_4(t)$ eine Hilbert&ndash;Korrespondenz ableiten?
+{Lässt sich aus der Impulsantwort &nbsp;$h_4(t)$&nbsp; eine Hilbert&ndash;Korrespondenz ableiten?
 |type="()"}
 - Ja.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png|right|Betrachtete Impulsantworten]]
+[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png|right|frame|Betrachtete Impulsantworten]]
 Der Zusammenhang zwischen dem Real&ndash; und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert&ndash;Transformation beschrieben. Hierbei gilt:
-$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =   - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
+:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =   - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 +\infty}
   { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
   d}\nu \hspace{0.05cm},$$
-$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} =    \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
+:$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} =    \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 +\infty}
   { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:
-$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
+:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
 {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 * Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.
 Die Hilbert&ndash;Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass&ndash;Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
-Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden. Zerlegt man $H(f)$ jeweils in Real&ndash; und Imaginärteil, so können daraus Hilbert&ndash;Korrespondenzen abgeleitet werden.
+Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten $h(t)$ die zugehörigen Frequenzgänge $H(f)$ entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Therieseite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
@@ Zeile 52: / Zeile 60: @@
-{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen $h_3(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$ Welche Aussagen treffen zu?
+{Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen $h_3(t)$ die Hilbert&ndash;Transformierte der Funktion ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + Die Hilbert Transformierte lautet ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
@@ Zeile 59: / Zeile 67: @@
 {Lässt sich aus der Impulsantwort $h_4(t)$ eine Hilbert&ndash;Korrespondenz ableiten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Ja.
 + Nein.