Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Faltungscodes der Rate 1/2 - Versionsgeschichte

Guenter am 8. November 2022 um 09:38 Uhr

2022-11-08T09:38:02Z

Guenter am 8. November 2022 um 09:26 Uhr

2022-11-08T09:26:07Z

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2022-11-06T17:57:45Z

Guenter am 3. Juni 2019 um 14:48 Uhr

2019-06-03T14:48:03Z

Guenter am 3. Juni 2019 um 14:38 Uhr

2019-06-03T14:38:51Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 15:41 Uhr

2018-01-18T15:41:38Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 15:27 Uhr

2018-01-18T15:27:06Z

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2018-01-04T06:44:48Z

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Hussain am 22. November 2017 um 16:15 Uhr

2017-11-22T16:15:58Z

Hussain am 22. November 2017 um 16:12 Uhr

2017-11-22T16:12:32Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für beide Coder gilt $k = 1$ und $n = 2$.
+'''(1)'''&nbsp; Für beide Coder gilt&nbsp; $k = 1$&nbsp; und&nbsp; $n = 2$.
-*Das Gedächtnis $m$ und die Einflusslänge $\nu$ sind unterschiedlich &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antworten 3 und 4</u>.
+*Das Gedächtnis&nbsp; $m$&nbsp; und die Einflusslänge&nbsp; $\nu$&nbsp; sind unterschiedlich &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antworten 3 und 4</u>.
 '''(2)'''&nbsp; Das Schieberegister von Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; beinhaltet zwar zwei Speicherzellen.
-Da aber $x_i^{(1)} = u_i$ ist und $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ außer vom aktuellen Informationsbit $u_i$ nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit $u_{i-1}$ beeinflusst wird, ist
+Da aber &nbsp; $x_i^{(1)} = u_i$ ist &nbsp; und &nbsp; $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ &nbsp; außer vom aktuellen Informationsbit&nbsp; $u_i$&nbsp; nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit&nbsp; $u_{i-1}$&nbsp; beeinflusst wird,&nbsp; ist
-*das Gedächtnis $m = 1$, und
+[[Datei:P_ID2599__KC_Z_3_1b.png|right|frame|Äquivalente Coder–Darstellungen]]
 *die Einflusslänge $\nu = m + 1 = 2$.
-Die Grafik zeigt die beiden Coder in anderer Darstellung, wobei die &bdquo;Gedächtnis&ndash;Speicherzellen&rdquo; gelb hinterlegt sind.
+Die Grafik zeigt die beiden Coder in anderer Darstellung,&nbsp; wobei die &bdquo;Gedächtnis&ndash;Speicherzellen&rdquo; gelb hinterlegt sind.
-*Beim Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; erkennt man nur einen solchen Speicher &#8658; $m = 1$.
+*Beim Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; gibt es nur einen solchen Speicher &nbsp; &#8658; &nbsp; $m = 1$.
 *Dagegen gilt für den Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; tatsächlich $m = 2$ und $\nu = 3$.
-*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Dagegen gilt für den Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; tatsächlich&nbsp; $m = 2$&nbsp; und&nbsp; $\nu = 3$.&nbsp; Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
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 :$$x_i^{(1)} = u_{i} + u_{i-1}+ u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$
-Unter Berücksichtigung der Vorbelegung ($u_0 = u_{-1} = 0$) erhält man mit den obigen Angaben:
+*Unter Berücksichtigung der Vorbelegung&nbsp; $(u_0 = u_{-1} = 0)$&nbsp; erhält man mit den obigen Angaben:
 :$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1} + u_{0}+ u_{-1} = 1+0+0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}x_2^{(1)} = u_{2} + u_{1}+ u_{0} = 0+1+0 = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$x_3^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{3} + u_{2}+ u_{1} \hspace{0.25cm}= 1+0+1 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}x_4^{(1)} = u_{4} + u_{3}+ u_{2} = 1+1+0 = 0\hspace{0.05cm},$$
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 :$$x_7^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x_8^{(1)} = \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist somit der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 *Der zweite Lösungsvorschlag &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ würde dagegen nur bei einem systematischen Code gelten (der hier nicht vorliegt).
-'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man mit $x_i^{(2)} = u_i + u_{i&ndash;2}$:
+'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erhält man mit&nbsp; $x_i^{(2)} = u_i + u_{i&ndash;2}$:
 :$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   1+0 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2^{(2)} = 0+0 = 0\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.2cm}x_3^{(3)} = 1+1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_4^{(2)} =  1+0 = 1 \hspace{0.05cm},$$
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 x_7^{(2)} = x_8^{(2)} = \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(5)'''&nbsp; Für die (gesamte) Codesequenz kann man formal schreiben:
+'''(5)'''&nbsp; Für die&nbsp; (gesamte)&nbsp; Codesequenz kann man formal schreiben:
 :$$\underline{\it x} =  \big( \hspace{0.05cm}\underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}  \underline{\it x}_i \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}  \underline{\it x}_i = \big( x_i^{(1)}\hspace{0.05cm}, x_i^{(2)} \big)
 \hspace{0.4cm}\Rightarrow \hspace{0.4cm} \underline{\it x} =  \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_1^{(2)}\hspace{0.01cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(2)}\hspace{0.01cm}, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm}. $$
-Ein Vergleich mit den Lösungen der Aufgaben (3) und (4) zeigt die Richtigkeit von <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Ein Vergleich mit den Lösungen der Aufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; zeigt die Richtigkeit von&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.1 Grundlagen der Faltungscodierung^]]

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 [[Datei:P_ID2589__KC_Z_3_1.png|right|frame|Zwei Faltungscodes der Rate &nbsp;$1/2$]]
-Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $R = 1/2$.&nbsp; Am Eingang liegt die Informationssequenz&nbsp; $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$&nbsp; an. Hieraus werden durch Modulo&ndash;2&ndash;Operationen die beiden Sequenzen
+Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $R = 1/2$.&nbsp;
 :$$\underline{\it x}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
   x_i^{(1)} \hspace{0.05cm},\text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{\it x}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
-  x_i^{(2)} \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big )$$
+  x_i^{(2)} \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big ).$$
-erzeugt, wobei&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; mit&nbsp; $j = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $j = 2$&nbsp; außer von&nbsp; $u_i$&nbsp; auch von den vorherigen Informationsbits&nbsp; $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$&nbsp; abhängen kann. Man bezeichnet&nbsp; $m$&nbsp; als das Gedächtnis und&nbsp; $\nu = m + 1$&nbsp; als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers. Die betrachteten Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp; unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.
+Die Sequenzen&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; mit&nbsp; $j = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $j = 2$&nbsp; können außer von&nbsp; $u_i$&nbsp; auch von früheren Info&ndash;Bits&nbsp; $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$&nbsp; abhängen.&nbsp;
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 *In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen&nbsp; $\underline {x}^{(1)}$&nbsp; und&nbsp; $\underline {x}^{(2)}$&nbsp; zur resultierenden Codesequenz&nbsp;
 :$$\underline {x} = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ \text{...}).$$
-*In den Teilaufgaben '''(3)''' bis '''(5)''' sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenze&nbsp; $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; ermitteln, wobei von der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$&nbsp; auszugehen ist.
+*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(5)'''&nbsp; sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenze&nbsp; $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; ermitteln,&nbsp; wobei von der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$&nbsp; auszugehen ist.

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 [[Datei:P_ID2589__KC_Z_3_1.png|right|frame|Zwei Faltungscodes der Rate &nbsp;$1/2$]]
-Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $R = 1/2$. Am Eingang liegt die Informationssequenz&nbsp; $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$&nbsp; an. Hieraus werden durch Modulo&ndash;2&ndash;Operationen die beiden Sequenzen
+Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $R = 1/2$.&nbsp; Am Eingang liegt die Informationssequenz&nbsp; $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$&nbsp; an. Hieraus werden durch Modulo&ndash;2&ndash;Operationen die beiden Sequenzen
 :$$\underline{\it x}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
   x_i^{(1)} \hspace{0.05cm},\text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm},$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für beide Coder gilt $k = 1$ und $n = 2$. Das Gedächtnis $m$ und die Einflusslänge $\nu$ sind unterschiedlich &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antworten 3 und 4</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Für beide Coder gilt $k = 1$ und $n = 2$.
 [[Datei:P_ID2599__KC_Z_3_1b.png|right|frame|Äquivalente Coder–Darstellungen]]
-'''(2)'''&nbsp; Das Schieberegister von Coder '''A''' beinhaltet zwar zwei Speicherzellen.
+'''(2)'''&nbsp; Das Schieberegister von Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; beinhaltet zwar zwei Speicherzellen.
-Da aber $x_i^{(1)} = u_i$ ist und $x_i^{(2)} = u_i + u_{i&ndash;1}$ außer vom aktuellen Informationsbit $u_i$ nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit $u_{i&ndash;1}$ beeinflusst wird, ist
+Da aber $x_i^{(1)} = u_i$ ist und $x_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}$ außer vom aktuellen Informationsbit $u_i$ nur noch vom unmittelbar vorherigen Bit $u_{i-1}$ beeinflusst wird, ist
 *das Gedächtnis $m = 1$, und
 *die Einflusslänge $\nu = m + 1 = 2$.
-<br clear=all>
 Die Grafik zeigt die beiden Coder in anderer Darstellung, wobei die &bdquo;Gedächtnis&ndash;Speicherzellen&rdquo; gelb hinterlegt sind.
-*Beim Coder '''A''' erkennt man nur einen solchen Speicher &#8658; $m = 1$.
+*Beim Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; erkennt man nur einen solchen Speicher &#8658; $m = 1$.
-*Dagegen gilt für den <u>Coder '''B'''</u> tatsächlich $m = 2$ und $\nu = 3$.
+*Dagegen gilt für den Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; tatsächlich $m = 2$ und $\nu = 3$.
-'''(3)'''&nbsp; Für den oberen Ausgang von Coder '''B''' gilt allgemein:
 :$$x_i^{(1)} = u_{i} + u_{i-1}+ u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$
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 *Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 *Der zweite Lösungsvorschlag &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ würde dagegen nur bei einem systematischen Code gelten (der hier nicht vorliegt).
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 x_7^{(2)} = x_8^{(2)} = \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlagen der Faltungscodierung}}
-[[Datei:P_ID2589__KC_Z_3_1.png|right|frame|Zwei Faltungscodes der Rate 1/2]]
+[[Datei:P_ID2589__KC_Z_3_1.png|right|frame|Zwei Faltungscodes der Rate &nbsp;$1/2$]]
-Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$. Am Eingang liegt die Informationssequenz $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...}$) an. Hieraus werden durch Modulo&ndash;2&ndash;Operationen die beiden Sequenzen
+Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate&nbsp; $R = 1/2$. Am Eingang liegt die Informationssequenz&nbsp; $\underline {u} = (u_1, u_2, \ \text{...} \ , u_i, \ \text{...})$&nbsp; an. Hieraus werden durch Modulo&ndash;2&ndash;Operationen die beiden Sequenzen
 :$$\underline{\it x}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
   x_i^{(1)} \hspace{0.05cm},\text{...} \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
   x_i^{(2)} \hspace{0.05cm}, \text{...} \hspace{0.05cm} \big )$$
-erzeugt, wobei $x_i^{(j)}$ mit $j = 1$ bzw. $j = 2$ außer von $u_i$ auch von den vorherigen Informationsbits $u_{i&ndash;1}, \ \text{...} \ , u_{i&ndash;m}$ abhängen kann. Man bezeichnet $m$ als das Gedächtnis und $\nu = m + 1$ als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers. Die betrachteten Coder <b>A</b> und <b>B</b> unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.
+erzeugt, wobei&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; mit&nbsp; $j = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $j = 2$&nbsp; außer von&nbsp; $u_i$&nbsp; auch von den vorherigen Informationsbits&nbsp; $u_{i-1}, \ \text{...} \ , u_{i-m}$&nbsp; abhängen kann. Man bezeichnet&nbsp; $m$&nbsp; als das Gedächtnis und&nbsp; $\nu = m + 1$&nbsp; als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers. Die betrachteten Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp; unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]].
-*In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen $\underline {x}^{(1)}$ und $\underline {x}^{(2)}$ zur resultierenden Codesequenz $\underline {x} = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ \text{...})$.
+*In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen&nbsp; $\underline {x}^{(1)}$&nbsp; und&nbsp; $\underline {x}^{(2)}$&nbsp; zur resultierenden Codesequenz&nbsp;
-*In den Teilaufgaben (3) bis (5) sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenzen $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ und $\underline{x}$ ermitteln, wobei von der Informationssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$ auszugehen ist.
+:$$\underline {x} = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ \text{...}).$$
@@ Zeile 22: / Zeile 26: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{In welchen Codeparametern unterscheiden sich <b>Coder A</b> und <b>Coder B</b> ?
+{In welchen Codeparametern unterscheiden sich Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; und Coder &nbsp;$\rm B$?
 |type="[]"}
-- $k$: Anzahl der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
+- $k$: &nbsp; &nbsp; Anzahl der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
-- $n$: Anzahl der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
+- $n$: &nbsp; &nbsp; Anzahl der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
-+ $m$: Gedächtnisordnung des Codes bzw. des Coders,
++ $m$: &nbsp; Gedächtnisordnung des Codes bzw. des Coders,
-+ $\nu$: Einflusslänge des Codes.
++ $\nu$: &nbsp; &nbsp; Einflusslänge des Codes.
-{Welcher Coder weist das Gedächtnis $m = 2$ auf?
+{Welcher Coder weist das Gedächtnis&nbsp; $m = 2$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-- Coder A,
+- Coder &nbsp;$\rm A$,
-+ Coder B.
++ Coder &nbsp;$\rm B$.
-{Wie lautet die Teilcodesequenz $\underline {x}^{(1)}$ von <b>Coder B</b> für $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$?
+{Wie lautet die Teilcodesequenz&nbsp; $\underline {x}^{(1)}$&nbsp; von Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; für&nbsp; $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$?
 |type="()"}
 + $\underline {x}^{(1)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ ...)$,
 - $\underline {x}^{(1)} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \ ...)$.
-{Wie lautet die Teilcodesequenz $\underline{x}^{(2)}$ von <b>Coder B</b> für $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$
+{Wie lautet die Teilcodesequenz&nbsp; $\underline{x}^{(2)}$&nbsp; von Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; für&nbsp; $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$
 |type="()"}
 - $\underline{x}^{(2)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ \text{...})$,
 + $\underline{x}^{(2)} = (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$.
-{Wie beginnt die gesamte Codesequenz $\underline {x}$ von <b>Coder B</b> nach Multiplexing?
+{Wie beginnt die gesamte Codesequenz&nbsp; $\underline {x}$&nbsp; von von Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; nach Multiplexing?
 |type="()"}
 + $\underline {x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, \ \text{...})$,

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 :$$x_3^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{3} + u_{2}+ u_{1} \hspace{0.25cm}= 1+0+1 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_4^{(1)} = u_{4} + u_{3}+ u_{2} = 1+1+0 = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$$x_5^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{5} + u_{4}+ u_{3} \hspace{0.25cm}= 0+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_6^{(1)} = u_{6} + u_{5}+ u_{4} = 0+0+1 = 1\hspace{0.05cm},$$
-:$$x_7^{(1)} \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm} x_8^{(1)} = ... \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$x_7^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x_8^{(1)} = ... \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Der zweite Lösungsvorschlag &#8658; $\underline {x}^{(1)} = \underline {u}$ würde dagegen nur bei einem systematischen Code gelten (der hier nicht vorliegt).