Aufgaben:Aufgabe 3.14: Kanalcodierungstheorem - Versionsgeschichte

Guenter am 24. September 2021 um 10:17 Uhr

2021-09-24T10:17:43Z

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Guenter am 7. Februar 2020 um 11:00 Uhr

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Guenter am 12. Oktober 2018 um 13:17 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:08:08Z

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Guenter am 8. Juni 2017 um 06:50 Uhr

2017-06-08T06:50:42Z

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 *Dagegen erhält man beim EUC–Modell beispielsweise mit&nbsp; $p_0 = 0.6$&nbsp; und&nbsp; $p_1 = 0.4$&nbsp; eine  kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} = 0.6 \cdot 0 + 0.4 \cdot 0.5=0.2 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zu beachten ist jedoch, dass nun die Quellenentropie nicht mehr&nbsp; $H(X) = 1\ \rm  (bit)$&nbsp; beträgt, sondern nurmehr&nbsp; $H(X) = H_{bin} (0.6) = 0.971 \ \rm   (bit)$.
+*Zu beachten ist jedoch, dass nun die Quellenentropie nicht mehr&nbsp; $H(X) = 1\ \rm  (bit)$&nbsp; beträgt, sondern nur mehr&nbsp; $H(X) = H_{bin} (0.6) = 0.971 \ \rm   (bit)$.
 *Im Grenzfall&nbsp; $p_0 = 1$&nbsp; werden nur noch Nullen übertragen und es gilt&nbsp; $H(X) = 0$.&nbsp; Für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt dann aber tatsächlich:
 :$$ p_{\rm B} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0.5=0 \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(3)''' &nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Aus der Grafik auf der Angabenseite lässt sich für die Kapazitäten der beiden Kanäle ablesen:
-:$$C_{\rm BSC} = 0.1887 \ \rm {bit/use}, \hspace{0.5cm}C_{rm EUC} = 0.3219 \ \rm {bit/use}.$$
+:$$C_{\rm BSC} = 0.1887 \ \rm {bit/use}, \hspace{0.5cm}C_{\rm EUC} = 0.3219 \ \rm {bit/use}.$$
 *Nach dem Kanalcodierungstheorem kann bei&nbsp; $R ≤ C$&nbsp; eine Kanalcodierung gefunden werden, mit der die Fehlerwahrscheinlichkeit zu Null gemacht werden kann.
 *Bei beiden Kanälen trifft diese Bedingung mit der Rate&nbsp; $R = 0.16$&nbsp; zu.

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 [[Datei:P_ID2817__Inf_A_3_13.png|right|frame|Informationstheoretische Größen von&nbsp; $\rm BSC$–&nbsp; und&nbsp; $\rm EUC–Modell$]]
-[https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Shannons]&nbsp; Kanalcodierungstheorem besagt, dass über einen&nbsp; ''diskreten gedächtnislosen Kanal''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Discrete Memoryless Channel'',&nbsp; $\rm DMC)$&nbsp; mit der Coderate&nbsp; $R$&nbsp; fehlerfrei übertragen werden kann, so lange&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität
+[https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Shannons]&nbsp; Kanalcodierungstheorem besagt, dass über einen&nbsp; &bdquo;diskreten gedächtnislosen Kanal&rdquo;&nbsp; (englisch:&nbsp; "Discrete Memoryless Channel",&nbsp; $\rm DMC)$&nbsp; mit der Coderate&nbsp; $R$&nbsp; fehlerfrei übertragen werden kann, so lange&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität
 :$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 Das Kanalcodierungstheorem soll in dieser Aufgabe numerisch ausgewertet werden, wobei zwei typische Kanalmodelle zu betrachten sind:
-* das&nbsp; $\rm BSC$–Modell&nbsp; (''Binary Symmetric Channel'')&nbsp; mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
+* Das&nbsp; $\rm BSC$–Modell&nbsp; ("Binary Symmetric Channel")&nbsp; mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
-* das&nbsp; $\rm EUC$–Modell&nbsp; (von&nbsp; ''Extremely Unsymmetric Channel'', diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich)&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
+* das&nbsp; $\rm EUC$–Modell&nbsp; (von&nbsp; "Extremely Unsymmetric Channel";&nbsp; diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich)&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
-Die Grafiken zeigen die numerischen Werte der informationstheoretischen Größen für die beiden Kanäle&nbsp; $\rm BSC$&nbsp; und&nbsp; $\rm EUC$:
+Die Grafiken zeigen die numerischen Werte der informationstheoretischen Größen für die beiden Modelle&nbsp; $\rm BSC$&nbsp; und&nbsp; $\rm EUC$:
-* die Quellenentropie&nbsp; $H(X),$
+* Die Quellenentropie&nbsp; $H(X),$
 * die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y),$
 * die Transinformation&nbsp; $I(X; Y),$
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 + Beide Modelle führen zur gleichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
-{Lässt sich bei &nbsp;$\underline{R = 1}$&nbsp; durch andere Werte von&nbsp; $p_0$ &nbsp;bzw.&nbsp; $p_1&nbsp;das Ergebnis (formal) verbessern?
+{Lässt sich bei &nbsp;$\underline{R = 1}$&nbsp; durch andere Werte von&nbsp; $p_0$ &nbsp;bzw.&nbsp; $p_1$&nbsp;das Ergebnis (formal) verbessern?
 |type="()"}
 - Bei beiden Kanälen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)''' &nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die BSC–Fehlerwahrscheinlichkeit ist mit $p_0 = p_1 = 0.5$ bei uncodierter Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp; $R = 1$:
+*Die BSC–Fehlerwahrscheinlichkeit ist mit&nbsp; $p_0 = p_1 = 0.5$&nbsp; bei uncodierter Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp; $R = 1$:
 :$$ p_{\rm B} = 0.5 \cdot 0.25 + 0.5 \cdot 0.25=0.25 \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend gilt bei gleichen Randbedingungen für das EUC–Modell:
+*Entsprechend gilt bei gleichen Randbedingungen für das EUC–Modell:
 :$$ p_{\rm B} = 0.5 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0.5=0.25 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)''' &nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Beim BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε = 0.25$ gilt bei uncodierter Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp; $R = 1$ unabhängig von $p_0$ und $p_1$ für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit: &nbsp; $p_B = 0.25$.
+*Beim BSC–Modell mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $ε = 0.25$&nbsp; ist bei uncodierter Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp; $R = 1$ unabhängig von&nbsp; $p_0$&nbsp; und&nbsp; $p_1$&nbsp; die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gleich&nbsp; $p_{\rm B} = 0.25$.
-*Dagegen erhält man beim EUC–Modell beispielsweise mit $p_0 = 0.6$ und $p_1 = 0.4$ eine  kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+*Dagegen erhält man beim EUC–Modell beispielsweise mit&nbsp; $p_0 = 0.6$&nbsp; und&nbsp; $p_1 = 0.4$&nbsp; eine  kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} = 0.6 \cdot 0 + 0.4 \cdot 0.5=0.2 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zu beachten ist jedoch, dass nun die Quellenentropie nicht mehr $H(X) = 1\ \rm  (bit)$ beträgt, sondern nur mehr $H(X) = H_{bin} (0.6) = 0.971 \ \rm   (bit)$.
+*Zu beachten ist jedoch, dass nun die Quellenentropie nicht mehr&nbsp; $H(X) = 1\ \rm  (bit)$&nbsp; beträgt, sondern nurmehr&nbsp; $H(X) = H_{bin} (0.6) = 0.971 \ \rm   (bit)$.
-*Im Grenzfall $p_0 = 1$ werden nur noch Nullen übertragen und es gilt $H(X) = 0$. Für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt dann aber tatsächlich:
+*Im Grenzfall&nbsp; $p_0 = 1$&nbsp; werden nur noch Nullen übertragen und es gilt&nbsp; $H(X) = 0$.&nbsp; Für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt dann aber tatsächlich:
 :$$ p_{\rm B} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0.5=0 \hspace{0.05cm}.$$
-:Man überträgt also keinerlei Information, diese aber mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $0$.
+:Man überträgt also keinerlei Information, diese aber mit der Bitfehlerwahrscheinlichkeit &bdquo;Null&rdquo;.
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 *Aus der Grafik auf der Angabenseite lässt sich für die Kapazitäten der beiden Kanäle ablesen:
 :$$C_{\rm BSC} = 0.1887 \ \rm {bit/use}, \hspace{0.5cm}C_{rm EUC} = 0.3219 \ \rm {bit/use}.$$
-*Nach dem Kanalcodierungstheorem kann unter der Bedingung $R ≤ C$ eine Kanalcodierung gefunden werden, mit der die Fehlerwahrscheinlichkeit zu $0$ gemacht werden kann.
+*Nach dem Kanalcodierungstheorem kann bei&nbsp; $R ≤ C$&nbsp; eine Kanalcodierung gefunden werden, mit der die Fehlerwahrscheinlichkeit zu Null gemacht werden kann.
-*Bei beiden Kanälen trifft diese Bedingung mit der Rate  mit $R = 0.16$ zu.
+*Bei beiden Kanälen trifft diese Bedingung mit der Rate&nbsp; $R = 0.16$&nbsp; zu.
 '''(4)''' &nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Beim EUC–Modell wird mit &nbsp;$R = 0.32$ &nbsp;und&nbsp; $C = 0.3219$ die notwendige Bedingung $R ≤ C$ für eine fehlerfreie Übertragung erfüllt.
+*Beim EUC–Modell wird mit &nbsp;$R = 0.32$ &nbsp;und&nbsp; $C = 0.3219$&nbsp; die notwendige Bedingung&nbsp; $R ≤ C$&nbsp; für eine fehlerfreie Übertragung erfüllt.
-*Voraussetzung hierfür ist allerdings die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X) = (0.6, 0.4).$
+*Voraussetzung hierfür ist allerdings die Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X) = (0.6,\ 0.4).$
-*Dagegen ergäbe sich für gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_X(X) = (0.5,\ 0.5)$ die Transinformation $I(X; Y) = 0.3113$, also ein kleinerer Wert als für die Kanalkapazität $C$, und es gilt auch $I(X; Y) < R$.
+*Dagegen ergäbe sich für gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_X(X) = (0.5,\ 0.5)$&nbsp; die Transinformation&nbsp; $I(X; Y) = 0.3113$, <br>also ein kleinerer Wert als für die Kanalkapazität&nbsp; $C$, und es gilt auch&nbsp; $I(X; Y) < R$.
-*Man erkennt: &nbsp; Das EUC–Modell bietet mehr Potenzial für die Anwendung einer Kanalcodierung als das BSC–Modell. Hier kann beispielsweise im Code ausgenutzt werden, dass eine gesendete „0” stets fehlerfrei übertragen wird.
+*Man erkennt: &nbsp; Das EUC–Modell bietet mehr Potenzial für die Anwendung einer Kanalcodierung als das BSC–Modell.&nbsp; Hier kann beispielsweise im Code ausgenutzt werden, dass eine gesendete „0” stets fehlerfrei übertragen wird.
-'''(5)''' &nbsp; Aus der Kommentierung der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' geht hervor, dass der <u>Lösungsvorschlag 4</u> zutrifft.
+'''(5)''' &nbsp; Aus der Kommentierung der Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; geht hervor, dass der <u>Lösungsvorschlag 4</u> zutrifft.
 {{ML-Fuß}}

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 :$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 Das Kanalcodierungstheorem soll in dieser Aufgabe numerisch ausgewertet werden, wobei zwei typische Kanalmodelle zu betrachten sind:
-* das&nbsp; $\rm BSC$–Modell$&nbsp; ''(Binary Symmetric Channel)''&nbsp; mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
+* das&nbsp; $\rm BSC$–Modell&nbsp; (''Binary Symmetric Channel'')&nbsp; mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
-* das so genannte&nbsp; $\rm EUC$––Modell''&nbsp; (von&nbsp; ''Extremely Unsymmetric Channel'', diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich)&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
+* das&nbsp; $\rm EUC$–Modell&nbsp; (von&nbsp; ''Extremely Unsymmetric Channel'', diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich)&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
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-Der Parameter in diesen Tabellen ist &nbsp;$p_0 = {\rm Pr}(X = 0)$&nbsp; im Bereich zwischen &nbsp;$p_0 = 0.3$&nbsp; bis &nbsp;$p_0 = 0.7$.&nbsp; Für die zweite Quellensymbolwahrscheinlichkeit gilt:  &nbsp; $p_1 = {\rm Pr}(X = 1) =1 - p_0$.
+Der Parameter in diesen Tabellen ist &nbsp;$p_0 = {\rm Pr}(X = 0)$&nbsp; im Bereich zwischen &nbsp;$p_0 = 0.3$&nbsp; bis &nbsp;$p_0 = 0.7$.&nbsp; <br>Für die zweite Quellensymbolwahrscheinlichkeit gilt:  &nbsp; $p_1 = {\rm Pr}(X = 1) =1 - p_0$.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für uncodierte Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp; $R = 1$, wenn man von &nbsp;$p_0 = p_1 = 0.5$ ausgeht?
+{Welche Aussagen gelten für uncodierte Übertragung &nbsp; &rArr; &nbsp;$\underline{R = 1}$, wenn man von &nbsp;$p_0 = p_1 = 0.5$&nbsp; ausgeht?
 |type="()"}
 - Mit BSC ergibt sich eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
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 + Beide Modelle führen zur gleichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
-{Lässt sich bei &nbsp;$\underline{R = 1}$&nbsp; durch andere $p_0$ &nbsp;bzw.&nbsp; $p_1$ das Ergebnis (formal) verbessern?
+{Lässt sich bei &nbsp;$\underline{R = 1}$&nbsp; durch andere Werte von&nbsp; $p_0$ &nbsp;bzw.&nbsp; $p_1&nbsp;das Ergebnis (formal) verbessern?
 |type="()"}
 - Bei beiden Kanälen.
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 - Bei keinem Modell.
-{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate $\underline{R = 0.16}$ fehlerfrei übertragen?
+{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate&nbsp; $\underline{R = 0.16}$&nbsp; fehlerfrei übertragen?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Bei beiden Kanälen.
 - Beim BSC–Modell.
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 - Bei keinem Modell.
-{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate $\underline{R = 0.32}$ fehlerfrei übertragen?
+{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate&nbsp; $\underline{R = 0.32}$&nbsp; fehlerfrei übertragen?
 |type="()"}
 - Bei beiden Kanälen.
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 - Bei keinem Modell.
-{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate $\underline{R = 0.48}$ fehlerfrei übertragen?
+{Über welchen Kanal lässt sich mit der Rate&nbsp; $\underline{R = 0.48}$&nbsp; fehlerfrei übertragen?
 |type="()"}
 - Bei beiden Kanälen.

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 }}
-[[Datei:P_ID2817__Inf_A_3_13.png|right|frame|Informationstheoretische Größen von BSC– und EUC–Modell]]
+[[Datei:P_ID2817__Inf_A_3_13.png|right|frame|Informationstheoretische Größen von&nbsp; $\rm BSC$–&nbsp; und&nbsp; $\rm EUC–Modell$]]
-[https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Shannons] Kanalcodierungstheorem besagt, dass über einen ''diskreten gedächtnislosen Kanal'' (englisch: ''Discrete Memoryless Channel'', '''DMC''') mit der Coderate $R$ fehlerfrei übertragen werden kann, so lange $R$ nicht größer ist als die Kanalkapazität
+[https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Shannons]&nbsp; Kanalcodierungstheorem besagt, dass über einen&nbsp; ''diskreten gedächtnislosen Kanal''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Discrete Memoryless Channel'',&nbsp; $\rm DMC)$&nbsp; mit der Coderate&nbsp; $R$&nbsp; fehlerfrei übertragen werden kann, so lange&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität
 :$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 Das Kanalcodierungstheorem soll in dieser Aufgabe numerisch ausgewertet werden, wobei zwei typische Kanalmodelle zu betrachten sind:
-* das '''BSC–Modell''' ''(Binary Symmetric Channel)'' mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
+* das&nbsp; $\rm BSC$–Modell$&nbsp; ''(Binary Symmetric Channel)''&nbsp; mit Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp;$ε = 0.25$&nbsp; und der Kanalkapazität &nbsp;$C = 1 - H_{\rm bin}(ε),$
-* das so genannte '''EUC–Modell''' (von ''Extremely Unsymmetric Channel'', diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich) entsprechend der [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
+* das so genannte&nbsp; $\rm EUC$––Modell''&nbsp; (von&nbsp; ''Extremely Unsymmetric Channel'', diese Bezeichnung stammt von uns und ist nicht allgemein üblich)&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.11Z:_Extrem_unsymmetrischer_Kanal|Aufgabe 3.11Z]].
-Die Grafiken zeigen die numerischen Werte der informationstheoretischen Größen für die beiden Kanäle „BSC” und „EUC”:
+Die Grafiken zeigen die numerischen Werte der informationstheoretischen Größen für die beiden Kanäle&nbsp; $\rm BSC$&nbsp; und&nbsp; $\rm EUC$:
-* die Quellenentropie $H(X),$
+* die Quellenentropie&nbsp; $H(X),$
-* die Äquivokation $H(X|Y),$
+* die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y),$
-* die Transinformation $I(X; Y),$
+* die Transinformation&nbsp; $I(X; Y),$
-* die Irrelevanz $H(Y|X),$ und
+* die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X),$&nbsp; und
-* die Sinkenentropie $H(Y).$
+* die Sinkenentropie&nbsp; $H(Y).$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Definition_und_Bedeutung_der_Kanalkapazit.C3.A4t|Definition und Bedeutung der Kanalkapazität]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.