Aufgaben:Aufgabe 3.14: Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Juli 2019 um 13:06 Uhr

2019-07-03T13:06:00Z

Guenter am 3. Juli 2019 um 12:59 Uhr

2019-07-03T12:59:29Z

Guenter am 1. Juli 2019 um 16:04 Uhr

2019-07-01T16:04:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:08Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 23. Januar 2018 um 11:25 Uhr

2018-01-23T11:25:18Z

Guenter am 23. Januar 2018 um 11:13 Uhr

2018-01-23T11:13:05Z

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2018-01-23T10:54:02Z

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2018-01-23T10:52:59Z

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Guenter am 8. Januar 2018 um 13:28 Uhr

2018-01-08T13:28:10Z

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2018-01-04T06:50:30Z

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-'''(2)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} &#8804; {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$. Für den betrachteten Faltungscode der Rate 1/2, dem Gedächtnis $m = 2$ und $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$ lautet die Pfadgewichtsfunktion:
+'''(2)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr(Burstfehler)} &#8804; {\rm Pr(Bhattacharyya)}$ mit ${\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta)$.
 :$$T(X) = \frac{X^5 }{1- 2X} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) = \frac{\beta^5 }{1- 2\beta}$$
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 {\rm Pr(Viterbi)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac{0.02^5 }{(1- 2\cdot 0.02)^2} = \hspace{0.2cm}\underline {\approx 3.47 \cdot 10^{-9}}\hspace{0.05cm}.$$
-Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
+*Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
 :$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + \text{...} $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + \text{...} $$
-Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi&ndash;Schranke:
+*Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi&ndash;Schranke:
 :$${\rm Pr(Viterbi)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 +\text{...}
 = \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$
-Für $\varepsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
+*Für $\varepsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
 :$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
+*Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
 :$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9}
 \hspace{0.05cm}.$$
-  [[Datei:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Vollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke  beim BSC&ndash;Modell]]
+  [[Datei:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell (vollständige Tabelle)]]
 '''(4)'''&nbsp; Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert &bdquo;unendlich&rdquo;.
-Für noch größere $\beta$&ndash;Werte wird die Bhattacharyya&ndash;Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi&ndash;Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
+*Für noch größere $\beta$&ndash;Werte wird die Bhattacharyya&ndash;Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi&ndash;Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
 :$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$

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 [[Datei:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell (unvollständige Tabelle)]]
 Für den häufig verwendeten Faltungscode mit
-* der Coderate $R = 1/2$,
+* der Coderate&nbsp; $R = 1/2$,
-* dem Gedächtnis $m = 2$, und
+* dem Gedächtnis&nbsp; $m = 2$, und
 * der Übertragungsfunktionsmatrix
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1  + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$
-lautet die [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Erweiterte_Pfadgewichtsfunktion|erweiterte Pfadgewichtsfunktion]]:
+lautet die&nbsp; [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Erweiterte_Pfadgewichtsfunktion|erweiterte Pfadgewichtsfunktion]]:
 :$$T_{\rm enh}(X, U) =   \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X}  \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, &ndash;x) = 1 + x + x^2 +  \text{...} \ $ kann hierfür auch geschrieben werden:
+Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung&nbsp; $1/(1 \, &ndash;x) = 1 + x + x^2 +  \text{...} \ $&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 +\text{...}   \hspace{0.10cm} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$
-Die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.
+Die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T(X)$&nbsp; ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable&nbsp; $U = 1$&nbsp; setzt.
 Anhand dieser beiden  Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:
-* Die <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i> wird durch die <b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b> begrenzt:
+* Die&nbsp; <i>Burstfehlerwahrscheinlichkeit</i>&nbsp; wird durch die&nbsp; <b>Bhattacharyya&ndash;Schranke</b>&nbsp; begrenzt:
 :$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$
-* Dagegen ist die <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i> stets kleiner (oder gleich) der <b>Viterbi&ndash;Schranke</b>:
+* Dagegen ist die&nbsp; <i>Bitfehlerwahrscheinlichkeit</i>&nbsp; stets kleiner (oder gleich) der&nbsp; <b>Viterbi&ndash;Schranke</b>:
 ::<math>{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} }
 \hspace{0.05cm}.</math>
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
 * Der Bhattacharyya&ndash;Parameter für BSC lautet: &nbsp; $\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}$.
-* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters $\varepsilon$ angegeben:
+* In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC&ndash;Parameters&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; angegeben:
-:&nbsp; &nbsp; der Bhattacharyya&ndash;Parameter $\beta$,
+:*&nbsp; der Bhattacharyya&ndash;Parameter&nbsp; $\beta$,
-:&nbsp; &nbsp; die Bhattacharyya&ndash;Schranke ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
+:*&nbsp; die Bhattacharyya&ndash;Schranke&nbsp; ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
-:&nbsp; &nbsp; die Viterbi&ndash;Schranke $\rm Pr(Viterbi)$.
+:* &nbsp; die Viterbi&ndash;Schranke&nbsp; $\rm Pr(Viterbi)$.
-* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\varepsilon = 10^{&ndash;2}$ und $\varepsilon = 10^{&ndash;4}$ berechnen.
+* Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für&nbsp; $\varepsilon = 10^{-2}$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$ berechnen.
-* Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
+* Die vollständige Tabelle finden Sie in der Musterlösung.
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 $\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 3.47 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
-{Für welche Werte $\varepsilon < \varepsilon_0$ sind beide Schranken nicht anwendbar?
+{Für welche Werte&nbsp; $\varepsilon < \varepsilon_0$&nbsp; sind beide Schranken nicht anwendbar?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_0 \ = \ ${ 0.067 3% }

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
-[[Datei:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell]]
+[[Datei:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell (unvollständige Tabelle)]]
 Für den häufig verwendeten Faltungscode mit
 * der Coderate $R = 1/2$,
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 {Wie lautet die Bhattacharyya&ndash;Schranke?
 |type="{}"}
-$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 5.18 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
+$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 5.18 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
-$\varepsilon = 10^{&ndash;4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 3.33 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
+$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 3.33 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
 {Wie lautet die Viterbi&ndash;Schranke?
 |type="{}"}
-$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 8.61 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
+$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 8.61 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;4}$
-$\varepsilon = 10^{&ndash;2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 3.47 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
+$\varepsilon = 10^{-4} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ ${ 3.47 3% } $\ \cdot 10^{&ndash;9}$
-{Für welche Werte $\varepsilon < \varepsilon_0$ sind die beiden Schranken nicht anwendbar?
+{Für welche Werte $\varepsilon < \varepsilon_0$ sind beide Schranken nicht anwendbar?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_0 \ = \ ${ 0.067 3% }

@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 * Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\varepsilon = 10^{&ndash;2}$ und $\varepsilon = 10^{&ndash;4}$ berechnen.
 * Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
-[[Datei:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke]]
+[[Datei:P_ID2713__KC_A_3_14.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke beim BSC&ndash;Modell]]
 Für den häufig verwendeten Faltungscode mit
 * der Coderate $R = 1/2$,
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Bhattacharyya&ndash;Parameter ergibt sich für das BSC&ndash;Modell mit $\epsilon = 0.01$ zu
+'''(1)'''&nbsp; Der Bhattacharyya&ndash;Parameter ergibt sich für das BSC&ndash;Modell mit $\varepsilon = 0.01$ zu
 :$$\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)} = 2 \cdot \sqrt{0.01 \cdot 0.99} \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.199}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Für noch kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeiten $\epsilon$ kann näherungsweise geschrieben werden:
+Für noch kleinere Verfälschungswahrscheinlichkeiten $\varepsilon$ kann näherungsweise geschrieben werden:
 :$$\beta \approx 2 \cdot \sqrt{\varepsilon } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon = 10^{-4}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \beta \hspace{0.2cm}\underline {\approx 0.02}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 Wir überprüfen das Ergebnis anhand der folgenden Näherung:
-:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + ... $$
+:$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 + 2\hspace{0.05cm}U^2 X^6 + 4\hspace{0.05cm}U^3 X^7 + 8\hspace{0.05cm}U^4 X^8 + \text{...} $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + ... $$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {\rm d}{{\rm d}U}\hspace{0.1cm}T_{\rm enh}(X, U) = X^5 + 4\hspace{0.05cm}U X^6 + 12\hspace{0.05cm}U^2 X^7 + 32\hspace{0.05cm}U^3 X^8 + \text{...} $$
 Setzt man $U = 1$ und $X = \beta$ so erhält man wieder die Viterbi&ndash;Schranke:
-:$${\rm Pr(Viterbi)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 + ...
+:$${\rm Pr(Viterbi)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \beta^5 + 4\hspace{0.05cm}\beta^6 + 12\hspace{0.05cm}\beta^7 + 32\hspace{0.05cm}\beta^8 +\text{...}
-=$$
+= \beta^5 \cdot (1+ 4\hspace{0.05cm}\beta + 12\hspace{0.05cm}\beta^2 + 32\hspace{0.05cm}\beta^3 + ... )\hspace{0.05cm}. $$
-Für $\epsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
+Für $\varepsilon = 10^{&ndash;2} \ \Rightarrow \ \beta = 0.199$ erhält man, wenn man die unendliche Summe nach dem $\beta^3$&ndash;Term abbricht:
 :$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.12 \cdot 10^{-4} \cdot (1 + 0.796 + 0.475 + 0.252) = 7.87 \cdot 10^{-4}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\epsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ macht man durch den Abbruch nahezu keinen Fehler:
+Der Abbruchfehler &ndash; bezogen auf $8.61 \cdot 10^{&ndash;4}$ &ndash; beträgt hier ca. $8.6\%$. Für $\varepsilon = 10^{&ndash;4} \ \Rightarrow \ \beta = 0.02$ ist der Abbruchfehler noch geringer:
 :$${\rm Pr(Viterbi)} \approx 3.20 \cdot 10^{-9} \cdot (1 + 0.086 + 0.0048 + 0.0003) = 3.47 \cdot 10^{-9}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Bhattacharyya– und Viterbi–Schranke für BSC]] Für $\beta = 0.5$ ergeben sich für beide Schranken der Wert &bdquo;unendlich&rdquo;. Für noch größere $\beta$&ndash;Werte wird die Bhattacharyya&ndash;Schranke negativ und auch das Ergebnis für die Viterbi&ndash;Schranke ist dann nicht anwendbar. Daraus folgt:
+ [[Datei:P_ID2714__KC_A_3_14c.png|right|frame|Vollständige Ergebnistabelle für die Bhattacharyya– und die Viterbi–Schranke  beim BSC&ndash;Modell]]
 :$$\beta_0 = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.5$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon_0 \cdot (1- \varepsilon_0)} = 0.25^2 = 0.0625$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0^2 - \varepsilon_0 + 0.0625 = 0$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0 = 0.5 \cdot (1 - \sqrt{0.75})  \underline {\approx 0.067}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_0 = 0.5 \cdot (1 - \sqrt{0.75}) \hspace{0.15cm} \underline {\approx 0.067}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

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−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^3.5 Distanzeigenschaften ~~und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^3.5 Distanzeigenschaften^]]

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