Aufgaben:Aufgabe 3.13: Coderate und Zuverlässigkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 22. September 2021 um 15:04 Uhr

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Guenter am 7. Februar 2020 um 10:26 Uhr

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Rate.2C_Kanalkapazit.C3.A4t_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit|Rate, Kanalkapazität und Bitfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Applet&nbsp; [[Applets:Entropien_von_Nachrichtenquellen|Entropie von Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.
+*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice SWF&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Entropien_von_Nachrichtenquellen|Entropie von Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Rate.2C_Kanalkapazit.C3.A4t_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit|Rate, Kanalkapazität und Bitfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Applet&nbsp; [[Applets:Entropie_und_Näherungen_binärer_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.
+*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Applet&nbsp; [[Applets:Entropien_von_Nachrichtenquellen|Entropie von Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.

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 |type="[]"}
 - Es gilt&nbsp; &nbsp;$H_{\rm bin}(p) < p · \log_2 \, (1/p)$.
-+ Es gilt &nbsp;$H_{\rm bin}(p) = p · \log_2 \, (1/p)$.
++ Es gilt &nbsp;$H_{\rm bin}(p) > p · \log_2 \, (1/p)$.
 + $H_{\rm bin}(p) - p · \log_2 \, (1/p)$&nbsp; wird um so kleiner, je kleiner &nbsp;$p$&nbsp; ist.
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 * der ersten Schranke&nbsp; $(R/C-1)$&nbsp; und
 * der letzten Näherung&nbsp;  $(R'''/C-1)$.&nbsp;
 Man erkennt die gute Übereinstimmung beider Angaben.

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 [[Datei:P_ID2805__Inf_A_3_12.png|right|frame|Binäre Entropiefunktion]]
-Das Kanalcodierungstheorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; besagt unter anderem, dass über einen Kanal mit beliebig kleiner Blockfehlerwahrscheinlichkeit übertragen werden kann, so lange die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität&nbsp; $C$.&nbsp; Dieses Ergebnis erreicht man mit&nbsp; ''Kanalcodierung''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Channel Coding'')&nbsp; allerdings nur bei sehr großen Blocklängen:&nbsp; $n → ∞$, was mit einem beliebig großen Aufwand verbunden ist.
+Das Kanalcodierungstheorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; besagt unter anderem, dass über einen Kanal mit beliebig kleiner Blockfehlerwahrscheinlichkeit übertragen werden kann,&nbsp; so lange die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität&nbsp; $C$.&nbsp; Dieses Ergebnis erreicht man mit&nbsp; '''Kanalcodierung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "Channel Coding")&nbsp; allerdings nur bei sehr großen Blocklängen:&nbsp; $n → ∞$,&nbsp; was mit einem beliebig großen Aufwand verbunden ist.
 Diese Aussage basiert auf informationstheoretischen Gesetzmäßigkeiten, die Shannon selbst aufgestellt hat.&nbsp; Shannon sagt aber  nicht, wie diese „unendlich gute” Kanalcodierung aussehen muss, er beweist nur, dass es sie gibt.
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 Vielmehr lassen sich für den Fall&nbsp; $R > C$&nbsp; zwei Schranken angeben:
-* Überträgt man über einen&nbsp; ''diskreten gedächtnislosen Kanal''&nbsp; $\rm (DMC)$&nbsp; mit einer Rate&nbsp; $R$&nbsp; größer als die Kanalkapazität&nbsp; $C$, so gibt es eine untere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+* Überträgt man über einen&nbsp; "diskreten gedächtnislosen Kanal"&nbsp; $\rm (DMC)$&nbsp; mit einer Rate&nbsp; $R$&nbsp; größer als die Kanalkapazität&nbsp; $C$, so gibt es eine untere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$ p_{\rm B} \ge H_{\rm bin}^{-1} \left (1 - {C}/{R} \right) > 0 \hspace{0.05cm}.$$
 * Soll die Bitfehlerwahrscheinlichkeit nach bestmöglicher Decodierung den Wert&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; nicht überschreiten, so darf die Rate einen gewissen Grenzwert nicht überschreiten:

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Rate.2C_Kanalkapazit.C3.A4t_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit|Rate, Kanalkapazität und Bitfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Entropie_und_Näherungen_binärer_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.
+*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Applet&nbsp; [[Applets:Entropie_und_Näherungen_binärer_Nachrichtenquellen|Entropie und Näherungen binärer Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.

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-'''(2)'''&nbsp; Durch Umstellung obiger Gleichung erhält man mit $H_{\rm bin}(p_B)$ aus der Grafik:
 :$$\begin{align*} R_{\rm max} = \frac{C}{1 - H_{\rm bin}( p_{\rm B})} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}   &=  0.10:\hspace{0.2cm} R_{\rm max} = \frac{0.5}{1 - 0.469}\hspace{0.15cm} \underline {=0.942} \hspace{0.05cm},\\
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}   &=  0.05:\hspace{0.2cm} R_{\rm max} = \frac{0.5}{1 - 0.286}\hspace{0.15cm} \underline {=0.700}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
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 *Für die binäre Entropiefunktion gilt definitionsgemäß:
 :$$H_{\rm bin}( p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$
-*Beide Terme sind positiv. Daraus folgt der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $H_{\rm bin}(p) = p · \log_2 \, (1/p)$.
+*Beide Terme sind positiv.&nbsp; Daraus folgt der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $H_{\rm bin}(p) = p · \log_2 \, (1/p)$.
 *Die Differenz ist durch den zweiten Term der binären Entropiefunktion gegeben:
 :$$ H_{\rm bin}( p) - p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} = (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Term wird umso kleiner, je kleiner $p$ ist.
+*Dieser Term wird umso kleiner, je kleiner&nbsp; $p$&nbsp; ist.
 *Zutreffend ist also auch der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie die folgenden Rechnungen zeigen:
 :$$ p_{\rm B} = 10^{-3}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.999}= 1.4420 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm},$$
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 '''(4)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-*Der Ausdruck $R/C$ gibt die obere Schranke gemäß dem inversen Kanalcodierungstheorem an. Für $p_{\rm B} = 10^{ –3 }$ erhält man folgende Schranke:
+*Der Ausdruck&nbsp; $R/C$&nbsp; gibt die obere Schranke gemäß dem inversen Kanalcodierungstheorem an.&nbsp; Für&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{ –3 }$&nbsp; erhält man folgende Schranke:
-:$$R/C ≤ 1.01154  \hspace{0.5cm} ⇒ \hspace{0.5cm}  R/C – 1 ≤ 1.154 · 10^{ –2 }.$$
+:$$R/C ≤ 1.01154  \hspace{0.5cm} ⇒ \hspace{0.5cm}  R/C - 1 ≤ 1.154 · 10^{ –2 }.$$
-* Beim Vorschlag 2 ist die Näherung gemäß '''(3)''' berücksichtigt. Da nun der Nenner vergrößert wird, ist $R′/C < R/C$, beispielsweise gilt für
+* Beim Vorschlag 2 ist die Näherung gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berücksichtigt.&nbsp; Da nun der Nenner vergrößert wird, ist&nbsp; $R′/C < R/C$, beispielsweise gilt für
-:$$p_{\rm B} = 10{ –3 }\text{:}\hspace{0.5cm} R′/C = 1.01007 · 10{ –2 }.$$
+:$$p_{\rm B} = 10^{ –3 }\text{:}\hspace{0.5cm} R′/C = 1.01007 · 10^{ –2 }.$$
-: Es handelt sich auch hier um eine obere Schranke, etwas sicherer als die erste Schranke $R/C$.
+: Es handelt sich auch hier um eine obere Schranke, etwas sicherer als die erste Schranke&nbsp; $R/C$.
-* Die Schranke $R′′ < R′$ ergibt sich, wenn man $1/(1 – ε)$ durch $1 + ε$ ersetzt ($ε$ ist positiv). Für $p_{\rm B} = 10^{–3}$ erhält man nun beispielsweise
+* Die Schranke&nbsp; $R′′ < R′$&nbsp; ergibt sich, wenn man&nbsp; $1/(1 – ε)$&nbsp; durch&nbsp; $1 + ε$&nbsp; ersetzt&nbsp; $(ε$&nbsp; ist positiv$)$.&nbsp; Für&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{–3}$&nbsp; erhält man nun beispielsweise
-:$$R′′/C = 1.00997 \hspace{0.5cm}  ⇒ \hspace{0.5cm}  R′′/C – 1 ≤ 0.997 · 10^{–2}.$$
+:$$R′′/C = 1.00997 \hspace{0.5cm}  ⇒ \hspace{0.5cm}  R′′/C - 1 ≤ 0.997 · 10^{–2}.$$
-* $R′′′$ entsprechend dem letzten Vorschlag ist identisch mit $R′′$ und für Überschlagsrechnungen bei ganzzahligem Exponenten $i$ gut geeignet. Für den Zehnerlogarithmus gilt der Zahlenwert $\lg(2) ≈ 0.30103.$
+* $R′′′$&nbsp; entsprechend dem letzten Vorschlag ist identisch mit&nbsp; $R′′$&nbsp; und für Überschlagsrechnungen bei ganzzahligem Exponenten&nbsp; $i$&nbsp; gut geeignet.&nbsp; <br>Für den Zehnerlogarithmus gilt der Zahlenwert&nbsp; $\lg(2) ≈ 0.30103.$
-Die Tabelle zeigt für verschiedene Bitfehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm B}$ die Abweichungen der ersten Schranke $(R/C-1)$ und der letzten Näherung  $(R'''/C-1)$. Man erkennt die gute Übereinstimmung beider Schranken.
+Die Tabelle zeigt für verschiedene Bitfehlerwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; die Abweichungen
-[[Datei:P_ID2806__Inf_A_3_12d.png|center|frame|Berechnete Schranken für die Coderaten; es gilt &nbsp; $p_{\rm B} = 10^{ –i}$]]
+Man erkennt die gute Übereinstimmung beider Angaben.
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 [[Datei:P_ID2805__Inf_A_3_12.png|right|frame|Binäre Entropiefunktion]]
-Das Kanalcodierungstheorem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon] besagt unter anderem, dass über einen Kanal mit beliebig kleiner Blockfehlerwahrscheinlichkeit übertragen werden kann, so lange die Coderate $R$ nicht größer ist als die Kanalkapazität $C$. Dieses Ergebnis erreicht man mit ''Kanalcodierung'' (englisch: ''Channel Coding'') allerdings nur bei sehr großen Blocklängen: $n → ∞$, was mit einem beliebig großen Aufwand verbunden ist.
+Das Kanalcodierungstheorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; besagt unter anderem, dass über einen Kanal mit beliebig kleiner Blockfehlerwahrscheinlichkeit übertragen werden kann, so lange die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; nicht größer ist als die Kanalkapazität&nbsp; $C$.&nbsp; Dieses Ergebnis erreicht man mit&nbsp; ''Kanalcodierung''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Channel Coding'')&nbsp; allerdings nur bei sehr großen Blocklängen:&nbsp; $n → ∞$, was mit einem beliebig großen Aufwand verbunden ist.
-Diese Aussage basiert auf informationstheoretischen Gesetzmäßigkeiten, die Shannon selbst aufgestellt hat. Shannon sagt nicht, wie diese „unendlich gute” Kanalcodierung aussehen muss, er beweist nur, dass es sie gibt.
+Diese Aussage basiert auf informationstheoretischen Gesetzmäßigkeiten, die Shannon selbst aufgestellt hat.&nbsp; Shannon sagt aber  nicht, wie diese „unendlich gute” Kanalcodierung aussehen muss, er beweist nur, dass es sie gibt.
-Der Umkehrschluss des Kanalcodierungstheorems sagt aus, dass mit einer Rate $R > C$ keine fehlerfreie Übertragung möglich ist. Es gibt dann kein Codiersystem mit verschwindend kleiner Fehlerwahrscheinlichkeit, auch wenn die Codierung noch so aufwändig und ausgeklügelt wäre.
+Der Umkehrschluss des Kanalcodierungstheorems sagt aus, dass mit einer Rate&nbsp; $R > C$&nbsp; keine fehlerfreie Übertragung möglich ist.&nbsp; Es gibt dann kein Codiersystem mit verschwindend kleiner Fehlerwahrscheinlichkeit, auch wenn die Codierung noch so aufwändig und ausgeklügelt wäre.
-Vielmehr lassen sich für den Fall $R > C$ zwei Schranken angeben:
+Vielmehr lassen sich für den Fall&nbsp; $R > C$&nbsp; zwei Schranken angeben:
-* Überträgt man über einen ''diskreten gedächtnislosen Kanal'' ('''DMC''') mit einer Rate $R$ größer als die Kanalkapazität $C$, so gibt es eine untere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+* Überträgt man über einen&nbsp; ''diskreten gedächtnislosen Kanal''&nbsp; $\rm (DMC)$&nbsp; mit einer Rate&nbsp; $R$&nbsp; größer als die Kanalkapazität&nbsp; $C$, so gibt es eine untere Schranke für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$ p_{\rm B} \ge H_{\rm bin}^{-1} \left (1 - {C}/{R} \right) > 0 \hspace{0.05cm}.$$
-* Soll die Bitfehlerwahrscheinlichkeit nach bestmöglicher Decodierung den Wert $p_{\rm B}$ nicht überschreiten, so darf die Rate einen gewissen Grenzwert nicht überschreiten:
+* Soll die Bitfehlerwahrscheinlichkeit nach bestmöglicher Decodierung den Wert&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; nicht überschreiten, so darf die Rate einen gewissen Grenzwert nicht überschreiten:
 :$$ R \le \frac{C}{1 - H_{\rm bin}( p_{\rm B})} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen diese Gleichungen unter Verwendung der [[Informationstheorie/Ged%C3%A4chtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion|binären Entropiefunktion]]
+In dieser Aufgabe sollen diese Gleichungen unter Verwendung der&nbsp; [[Informationstheorie/Ged%C3%A4chtnislose_Nachrichtenquellen#Bin.C3.A4re_Entropiefunktion|binären Entropiefunktion]]
 :$$ H_{\rm bin}( p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}$$
-numerisch ausgewertet werden.
+numerisch ausgewertet werden.&nbsp; Diese ist oben skizziert.&nbsp; Wegen&nbsp; $0 < p_B ≤ 1$&nbsp; und&nbsp; $0 < C/R < 1$&nbsp; liegt das Argument der Funktion&nbsp; $H_{\rm bin}(⋅)$&nbsp; und deren Umkehrfunktion&nbsp; $H_{\rm bin}^{ –1 }(⋅)$&nbsp; stets zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
-*Diese ist oben skizziert.
-*Wegen $0 < p_B ≤ 1$ und $0 < C/R < 1$ liegt das Argument der Funktion $H_{\rm bin}(⋅)$ und deren Umkehrfunktion $H_{\rm bin}^{ –1 }(⋅)$ stets zwischen $0$ und $1$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Rate.2C_Kanalkapazit.C3.A4t_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit|Rate, Kanalkapazität und Bitfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Berechnungsmodul [[Applets:Quellenentropie|Entropien von Nachrichtenquellen]] bereitgestellt.
+*Die Werte der binären Entropiefunktion werden zum Beispiel durch das interaktice Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Quellenentropie|Entropien von Nachrichtenquellen]]&nbsp; bereitgestellt.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die untere Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für $\underline{R/C = 4}$?
+{Wie lautet die untere Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für&nbsp; $\underline{R/C = 4}$?
 |type="{}"}
 $p_{\text{B, min}} \ = \ $ { 0.215 3% }
-{Mit welcher Rate $R$ kann man über einen Kanal mit der Kanalkapazität $\underline{C = 0.5 \ \rm (bit)}$ bei gegebener Grenz–Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ übertragen?
+{Mit welcher Rate&nbsp; $R$&nbsp; kann man über einen Kanal mit der Kanalkapazität&nbsp; $\underline{C = 0.5 \ \rm (bit)}$&nbsp; bei gegebener Grenz–Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; übertragen?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} = 0.10\text{:} \hspace{0.5cm}R_{\rm max} \ = \ $ { 0.942 3% }
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 {Welche Relation besteht zwischen &nbsp;$H_{\rm bin}(p)$&nbsp; und der Näherung &nbsp;$p · \log_2 (1/p)$?
 |type="[]"}
-- Es gilt &nbsp;$H_{\rm bin}(p) < p · \log_2 \, (1/p)$.
+- Es gilt&nbsp; &nbsp;$H_{\rm bin}(p) < p · \log_2 \, (1/p)$.
 + Es gilt &nbsp;$H_{\rm bin}(p) = p · \log_2 \, (1/p)$.
-+ $H_{\rm bin}(p) - p · \log_2 \, (1/p)$ wird um so kleiner, je kleiner &nbsp;$p$&nbsp; ist.
++ $H_{\rm bin}(p) - p · \log_2 \, (1/p)$&nbsp; wird um so kleiner, je kleiner &nbsp;$p$&nbsp; ist.
 {Welche der folgenden Gleichungen sind obere Schranken für die Rate?

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 + $R′/C   ≤   [1 + p_{\rm B} · \log_2 (p_{\rm B})]^{ –1 }$,
 + $R′′/C   ≤   1 – p_{\rm B} · \log_2 (p_{\rm B})$,
-+ $R′′′/C   ≤   1 + i · p_{\rm B}/ \lg(2)$   für   $p_{\rm B} = 10^{ –i}$.
++ $R′′′/C   ≤   1 + i · p_{\rm B}/ \lg(2)$  &nbsp; für  &nbsp; $p_{\rm B} = 10^{ –i}$.
@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 Aus der Grafik auf der Angabenseite (blaue Markierung) lässt sich ablesen: &nbsp; $ p_{\rm B,\hspace{0.05cm} min} \hspace{0.15cm} \underline {=0.215} \hspace{0.05cm}.$
 '''(2)'''&nbsp; Durch Umstellung obiger Gleichung erhält man mit $H_{bin}(p_B)$ aus der Grafik:
 :$$\begin{align*} R_{\rm max} = \frac{C}{1 - H_{\rm bin}( p_{\rm B})} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}   &=  0.10:\hspace{0.2cm} R_{\rm max} = \frac{0.5}{1 - 0.469}\hspace{0.15cm} \underline {=0.942} \hspace{0.05cm},\\
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}   &=  0.05:\hspace{0.2cm} R_{\rm max} = \frac{0.5}{1 - 0.286}\hspace{0.15cm} \underline {=0.700}\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
@@ Zeile 79: / Zeile 81: @@
 *Die Differenz ist durch den zweiten Term der binären Entropiefunktion gegeben:
 :$$ H_{\rm bin}( p) - p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} = (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Term wird umso kleiner, je kleiner $p$ ist. Zutreffend ist also auch der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie die folgenden Rechnungen zeigen:
+*Dieser Term wird umso kleiner, je kleiner $p$ ist.
-:$$ p_{\rm B} \hspace{-0.15cm}  =\hspace{-0.15cm} 10^{-3}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.999}= 1.4420 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm},$$
+*Zutreffend ist also auch der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, wie die folgenden Rechnungen zeigen:
-:$$p_{\rm B} \hspace{-0.15cm}  =\hspace{-0.15cm} 10^{-4}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.9999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9999}= 1.4427 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm},$$
+:$$ p_{\rm B} = 10^{-3}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.999}= 1.4420 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm},$$
-:$$p_{\rm B} \hspace{-0.15cm} =\hspace{-0.15cm} 10^{-5}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.99999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.99999}= 1.4427 \cdot 10^{-5} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$p_{\rm B} = 10^{-4}\text{:} \hspace{0.3cm} 0.9999 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9999}= 1.4427 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm},$$
 '''(4)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-*Der Ausdruck $R/C$ gibt die obere Schranke gemäß dem inversen Kanalcodierungstheorem an. Für $p_B = 10^{ –3 }$ erhält man folgende Schranke: &nbsp; $R/C ≤ 1.01154   ⇒   R/C – 1 ≤ 1.154 · 10^{ –2 }$.
+*Der Ausdruck $R/C$ gibt die obere Schranke gemäß dem inversen Kanalcodierungstheorem an. Für $p_{\rm B} = 10^{ –3 }$ erhält man folgende Schranke:
-* Beim Vorschlag 2 ist die Näherung gemäß (3) berücksichtigt. Da nun der Nenner vergrößert wird, ist $R′/C < R/C$, beispielsweise gilt für $p_{\rm B} = 10{ –3 }\text{:}\hspace{0.15cm} R′/C = 1.01007 · 10{ –2 }$. Es handelt sich auch hier um eine obere Schranke, etwas sicherer als die erste Schranke $R/C$.
+:$$R/C ≤ 1.01154  \hspace{0.5cm} ⇒ \hspace{0.5cm}  R/C – 1 ≤ 1.154 · 10^{ –2 }.$$
-* Die Schranke $R′′ < R′$ ergibt sich, wenn man $1/(1 – ε)$ durch $1 + ε$ ersetzt ($ε$ ist positiv). Für $p_{\rm B} = 10^{–3}$ erhält man nun beispielsweise $R′′/C = 1.00997   ⇒   R′′/C – 1 ≤ 0.997 · 10^{–2}$.
+* Beim Vorschlag 2 ist die Näherung gemäß '''(3)''' berücksichtigt. Da nun der Nenner vergrößert wird, ist $R′/C < R/C$, beispielsweise gilt für
 * $R′′′$ entsprechend dem letzten Vorschlag ist identisch mit $R′′$ und für Überschlagsrechnungen bei ganzzahligem Exponenten $i$ gut geeignet. Für den Zehnerlogarithmus gilt der Zahlenwert $\lg(2) ≈ 0.30103.$
-[[Datei:P_ID2806__Inf_A_3_12d.png|center|frame|Berechnete Schranken für die Coderaten]]
+Die Tabelle zeigt für verschiedene Bitfehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm B}$ die Abweichungen der ersten Schranke $(R/C-1)$ und der letzten Näherung  $(R'''/C-1)$. Man erkennt die gute Übereinstimmung beider Schranken.
 {{ML-Fuß}}