Aufgaben:Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Juli 2019 um 15:14 Uhr

2019-07-01T15:14:20Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:08Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 23. Januar 2018 um 09:58 Uhr

2018-01-23T09:58:14Z

Guenter am 23. Januar 2018 um 09:54 Uhr

2018-01-23T09:54:50Z

Guenter am 23. Januar 2018 um 09:39 Uhr

2018-01-23T09:39:25Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:26 Uhr

2018-01-08T13:26:13Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.12 Pfadgewichtsfunktion nach Aufgaben:Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion

2018-01-04T06:49:45Z

Guenter verschob die Seite 3.12 Pfadgewichtsfunktion nach Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion

Hussain am 5. Dezember 2017 um 12:09 Uhr

2017-12-05T12:09:45Z

Hussain am 5. Dezember 2017 um 12:05 Uhr

2017-12-05T12:05:11Z

Hussain am 5. Dezember 2017 um 12:02 Uhr

2017-12-05T12:02:16Z

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
-[[Datei:P_ID2698__KC_A_3_12.png|right|frame|Faltungscodierer mit $m = 1$ und Zustandsübergangsdiagramm]]
+[[Datei:P_ID2698__KC_A_3_12.png|right|frame|Faltungscodierer mit&nbsp; $m = 1$&nbsp; und Zustandsübergangsdiagramm]]
-In [[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Zustandsübergangsdiagramm|Aufgabe 3.6]] wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften
+In&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Zustandsübergangsdiagramm|Aufgabe 3.6]]&nbsp; wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften
-* Rate $R = 1/2$,
+* Rate&nbsp; $R = 1/2$,
-* Gedächtnis $m = 1$,
+* Gedächtnis&nbsp; $m = 1$,
-* Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$
+* Übertragungsfunktionsmatrix&nbsp; $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$
-ermittelt, das ebenfalls rechts dargestellt ist.
+ermittelt, das rechts dargestellt ist.
-Es soll nun aus dem Zustandsübergangsdiagramm
+Aus diesem Zustandsübergangsdiagramm soll nun
-* die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
+* die Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T(X)$, und
-* die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$
+* die erweiterte Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T_{\rm enh}(X, \, U)$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
 :$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +  x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$
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 {Was ist bei der Modifizierung des Übergangsdiagramms zu beachten?
 |type="[]"}
-+ Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0'$ aufgespalten werden.
++ Der Zustand&nbsp; $S_0$&nbsp; muss in&nbsp; $S_0$&nbsp; und&nbsp; $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
-- Der Zustand $S_1$ muss in $S_1$ und $S_1'$ aufgespalten werden.
+- Der Zustand &nbsp; $S_1$&nbsp; muss in &nbsp; $S_0$&nbsp; und $S_0\hspace{0.01cm}'$ aufgespalten werden.
-+ Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist mit $UX^2$ zu beschriften.
++ Der Übergang von&nbsp; $S_0$&nbsp; nach&nbsp; $S_1$&nbsp; ist mit $U\hspace{-0.05cm}X^2$ zu beschriften.
-+ Der Übergang von $S_1$ nach $S_1$ ist mit $UX$ zu beschriften.
++ Der Übergang von&nbsp; $S_1$&nbsp; nach&nbsp; $S_1$&nbsp; ist mit $U\hspace{-0.05cm}X$ zu beschriften.
-+ Der Übergang von $S_1$ nach $S_0'$ ist mit $X$ zu beschriften.
++ Der Übergang von&nbsp; $S_1$&nbsp; nach&nbsp; $S_0\hspace{0.01cm}'$ ist mit $X$ zu beschriften.
-{Welche Gleichungen gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$?
+{Welche Gleichungen gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T_{\rm enh}(X, \, U)$?
 |type="[]"}
 - $T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
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 + $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$
-{Welche Gleichungen gelten für die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion $T(X)$?
+{Welche Gleichungen gelten für die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T(X)$?
 |type="[]"}
 + $T(X) = X^3/(1 \, &ndash;X)$,

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 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
 :$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +  x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
 :$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +  x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2703__KC_A_3_12a.png|right|frame|Modifiziertes Zustandsübergangsdiagramm]] Der Zustand $S_0$ muss entsprechend nebenstehender Grafik in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand $S_0'$ aufgespalten werden. Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
+[[Datei:P_ID2703__KC_A_3_12a.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm nach Modifikationen]]
-Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm &ndash; dies steht für $u_i = 1$ &ndash; ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen. Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u> richtig sind.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+*Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Theorieteil]] ein &bdquo;Ring&rdquo;. Daraus folgt:
 :$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)}
 \hspace{0.05cm}.$$
+*Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:
-Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:
+:$$T_{\rm enh}(X, U) =   \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U  \hspace{0.05cm}  X}  = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U  \hspace{0.05cm}  X) + (U  \hspace{0.05cm}  X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ]
 \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ablesen, und zwar als der niedrigste Exponent der Dummy&ndash;Variablen $X \ \Rightarrow \ d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
+'''(4)'''&nbsp; Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy&ndash;Variablen $X$ ablesen &nbsp; &rArr; &nbsp; $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}
-[[Datei:P_ID2698__KC_A_3_12.png|right|frame|Faltungscodierer mit $m = 1$ und zugehöriges Zustandsübergangsdiagramm]]
+[[Datei:P_ID2698__KC_A_3_12.png|right|frame|Faltungscodierer mit $m = 1$ und Zustandsübergangsdiagramm]]
-In [[Aufgaben:3.6_Zustands%C3%BCbergangsdiagramm|Aufgabe A3.6]] wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscoder mit den Eigenschaften
+In [[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Zustandsübergangsdiagramm|Aufgabe 3.6]] wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften
 * Rate $R = 1/2$,
 * Gedächtnis $m = 1$,
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 Die Vorgehensweise ist im [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Pfadgewichtsfunktion_aus_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm|Theorieteil]] zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Freie_Distanz_vs._Minimale_Distanz|freie Distanz]] $d_{\rm F}$ zu bestimmen.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]]
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
 * Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
-:$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +  x^3 + \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}.$$
+:$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +  x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
 + Der Übergang von $S_1$ nach $S_0'$ ist mit $X$ zu beschriften.
-{Welche Gleichungen gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion?
+{Welche Gleichungen gelten für die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$?
 |type="[]"}
 - $T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
 + $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3/(1 \, &ndash;UX)$
-+ $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \, ...$
++ $T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$
-{Welche Gleichungen gelten für die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion?
+{Welche Gleichungen gelten für die &bdquo;einfache&rdquo; Pfadgewichtsfunktion $T(X)$?
 |type="[]"}
 + $T(X) = X^3/(1 \, &ndash;X)$,
-+ $T(X) = X^3 + X^4 + X^5 + \, ... $
++ $T(X) = X^3 + X^4 + X^5 +\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$
 {Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Codes?
 |type="{}"}
-$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }
+$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 }
 </quiz>

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-'''(2)'''&nbsp; Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im [[Theorieteil]] ein &bdquo;Ring&rdquo;. Daraus folgt:
+'''(2)'''&nbsp; Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Theorieteil]] ein &bdquo;Ring&rdquo;. Daraus folgt:
 :$$T_{\rm enh}(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)}
 \hspace{0.05cm}.$$