Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Februar 2022 um 12:30 Uhr

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2018-08-12T12:50:24Z

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2018-08-12T12:43:57Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:39:19Z

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Guenter am 15. März 2017 um 16:32 Uhr

2017-03-15T16:32:51Z

Guenter am 15. März 2017 um 16:18 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter&nbsp; $\lambda= 2$&nbsp; ist.
+'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil,&nbsp; so erkennt man,&nbsp; dass der Parameter&nbsp; $\lambda= 2$&nbsp; ist.
 *Daraus folgt&nbsp; (nach Integration &uuml;ber die WDF):
 :$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
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 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
 :$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
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 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so gro&szlig;:
 :$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$
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 \hspace{-0.15cm}
 \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
-*F&uuml;r gro&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; liefert der Integrand den konstanten Wert&nbsp; $4$. Deshalb divergiert das Integral.
+*F&uuml;r gro&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; liefert der Integrand den konstanten Wert&nbsp; $4$.&nbsp; Deshalb divergiert das Integral.
 *Mit&nbsp; $\sigma_x \to \infty$&nbsp; liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
 *„Nat&uuml;rliche“ Zufallsgr&ouml;&szlig;en (physikalisch interpretierbar) k&ouml;nnen nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich gro&szlig;e Leistung besitzen m&uuml;ssten.
-*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; (Beispiel: &nbsp; der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en)&nbsp; nicht dieser Beschr&auml;nkung.
+*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e nicht dieser Beschr&auml;nkung.&nbsp; Beispiel: &nbsp; Der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en.
 {{ML-Fuß}}

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
-*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Cauchyverteilung]]&nbsp; Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|"Cauchyverteilung"]]&nbsp; Bezug genommen.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.
+'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter&nbsp; $\lambda= 2$&nbsp; ist.
-*Daraus folgt (nach Integration &uuml;ber die WDF):
+*Daraus folgt&nbsp; (nach Integration &uuml;ber die WDF):
 :$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
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-'''(2)'''&nbsp; Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
+'''(2)'''&nbsp; Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ist&nbsp; $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
-*Damit gilt f&uuml;r die &bdquo;komplementäre&rdquo; Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
+*Damit gilt f&uuml;r die &bdquo;komplementäre&rdquo; Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so gro&szlig;:
-$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$
+:$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$
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 \hspace{-0.15cm}
 \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
-*F&uuml;r gro&szlig;e $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.
+*F&uuml;r gro&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; liefert der Integrand den konstanten Wert&nbsp; $4$. Deshalb divergiert das Integral.
-*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
+*Mit&nbsp; $\sigma_x \to \infty$&nbsp; liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
 *„Nat&uuml;rliche“ Zufallsgr&ouml;&szlig;en (physikalisch interpretierbar) k&ouml;nnen nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich gro&szlig;e Leistung besitzen m&uuml;ssten.
-*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e (Beispiel: &nbsp; der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en) nicht dieser Beschr&auml;nkung.
+*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; (Beispiel: &nbsp; der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en)&nbsp; nicht dieser Beschr&auml;nkung.
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 Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF&ndash;Verlaufs zu erkennen.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
-*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Cauchyverteilung]] Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Cauchyverteilung]]&nbsp; Bezug genommen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $2$?
+{Wie lautet die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_x(r)$?&nbsp; Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $2$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr} (|x| < 2) \ = \ $  { 50 3% } $ \ \%$
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig gr&ouml;&szlig;er als $4$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $4$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr} (|x| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist. Daraus folgt (nach Integration &uuml;ber die WDF):
+'''(1)'''&nbsp; Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.
-$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
+*Daraus folgt (nach Integration &uuml;ber die WDF):
-Insbesondere sind
+*Insbesondere sind
-$$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
+:$$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
-$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
+:$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
-Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
+*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
-$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
+:$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) (a) ist $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$. Damit gilt f&uuml;r die &bdquo;komplementäre&rdquo; Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so gro&szlig;:
+'''(2)'''&nbsp; Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
 $${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$
 '''(3)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu:
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 \hspace{-0.15cm}
 \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
-*F&uuml;r gro&szlig;e $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
+*F&uuml;r gro&szlig;e $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.
 *„Nat&uuml;rliche“ Zufallsgr&ouml;&szlig;en (physikalisch interpretierbar) k&ouml;nnen nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich gro&szlig;e Leistung besitzen m&uuml;ssten.
-*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e - wie zum Beispiel der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en - nicht dieser Beschr&auml;nkung.
+*Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e (Beispiel: &nbsp; der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en) nicht dieser Beschr&auml;nkung.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID207__Sto_A_3_12.png|right|Cauchyverteilung]]
+[[Datei:P_ID207__Sto_A_3_12.png|right|frame|WDF der Cauchyverteilung]]
 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:
-$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
+:$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
 Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF&ndash;Verlaufs zu erkennen.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
-*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|TCauchyverteilung]] Bezug genommen .
+*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Cauchyverteilung]] Bezug genommen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $2$?
+{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $2$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr} (|x| < 2) \ = $  { 50 3% } $ \ \%$
+${\rm Pr} (|x| < 2) \ = \ $  { 50 3% } $ \ \%$
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist$x$ betragsm&auml;&szlig;ig gr&ouml;&szlig;er als $4$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig gr&ouml;&szlig;er als $4$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr} (|x| > 4) \ = $ { 29.6 3% } $ \ \%$
+${\rm Pr} (|x| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$
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 |type="[]"}
 + Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich gro&szlig;e Varianz.
-+ Die Tschebyscheff-Ungleichung macht hier keinen Sinn.
++ Die Tschebyscheff&ndash;Ungleichung macht hier keinen Sinn.
 + Eine in der Natur messbare Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist nie cauchyverteilt.

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(kein Unterschied)