Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.7 Weitere Verteilungen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.7 Weitere Verteilungen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.12:_Cauchy_Distribution]]

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	'''(3)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu:		'''(3)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu:
	*Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:		*Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
	:$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
	\hspace{-0.15cm}
	\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
	*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$.  Deshalb divergiert das Integral.		*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$.  Deshalb divergiert das Integral.
	*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.		*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.

Guenter am 3. Februar 2022 um 12:30 Uhr

2022-02-03T12:30:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2022, 14:30 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter  $\lambda= 2$  ist.		'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil,  so erkennt man,  dass der Parameter  $\lambda= 2$  ist.
	*Daraus folgt  (nach Integration über die WDF):		*Daraus folgt  (nach Integration über die WDF):
	:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$		:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
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	*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
	:$${\rm Pr} (\|x\| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$		:$${\rm Pr} (\|x\| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$



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	*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
	:$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$		:$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$



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	\hspace{-0.15cm}		\hspace{-0.15cm}
	\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$		\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
	*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$. Deshalb divergiert das Integral.		*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$.  Deshalb divergiert das Integral.
	*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.		*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
	*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.		*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
	*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße  (Beispiel:   ~~der~~ Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen~~)  nicht dieser Beschränkung~~.		*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße nicht dieser Beschränkung.  Beispiel:   Der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 3. Februar 2022 um 12:26 Uhr

2022-02-03T12:26:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2022, 14:26 Uhr
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			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|Cauchyverteilung]]  Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|"Cauchyverteilung"]]  Bezug genommen.

Guenter am 25. November 2019 um 14:20 Uhr

2019-11-25T14:20:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2019, 16:20 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.		'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter  $\lambda= 2$  ist.
	*Daraus folgt (nach Integration über die WDF):		*Daraus folgt  (nach Integration über die WDF):
	:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$		:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$

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	'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.		'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(1)'''  ist  $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
	*Damit gilt für die &bdquo;komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.		*Damit gilt für die &bdquo;komplementäre” Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
	*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
	$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.~~296~~}.$$		:$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$


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	\hspace{-0.15cm}		\hspace{-0.15cm}
	\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$		\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
	*Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.		*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$. Deshalb divergiert das Integral.
	*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.		*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
	*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.		*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
	*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen) nicht dieser Beschränkung.		*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße  (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen)  nicht dieser Beschränkung.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 25. November 2019 um 14:16 Uhr

2019-11-25T14:16:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2019, 16:16 Uhr
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	Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.		Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.





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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|Cauchyverteilung]] Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|Cauchyverteilung]]  Bezug genommen.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$  betragsmäßig kleiner als $2$?		{Wie lautet die Verteilungsfunktion  $F_x(r)$?  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  betragsmäßig kleiner als  $2$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr} (\|x\| < 2) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \%$		${\rm Pr} (\|x\| < 2) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \%$


	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$  betragsmäßig größer als $4$?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  betragsmäßig größer als  $4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr} (\|x\| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$		${\rm Pr} (\|x\| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$

Guenter am 12. August 2018 um 12:50 Uhr

2018-08-12T12:50:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. August 2018, 14:50 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist. Daraus folgt (nach Integration über die WDF):		'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.
	$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$		*Daraus folgt (nach Integration über die WDF):
			:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$

	Insbesondere sind		*Insbesondere sind
	$$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$		:$$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
	$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$		:$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$

	Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
	$${\rm Pr} (\|x\| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$		:$${\rm Pr} (\|x\| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$


	'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) ~~(a)~~ ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$. Damit gilt für die &bdquo;komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:		'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
			*Damit gilt für die &bdquo;komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
			*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
	$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$		$${\rm Pr} (\|x\| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$


	'''(3)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu:		'''(3)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu:
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	\hspace{-0.15cm}		\hspace{-0.15cm}
	\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$		\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
	*Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.		*Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.
			*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
	*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.		*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
	*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße ~~- wie zum~~ Beispiel der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen - nicht dieser Beschränkung.		*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen) nicht dieser Beschränkung.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. August 2018 um 12:43 Uhr

2018-08-12T12:43:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. August 2018, 14:43 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID207__Sto_A_3_12.png\|right\|Cauchyverteilung]]		[[Datei:P_ID207__Sto_A_3_12.png\|right\|frame\|WDF der Cauchyverteilung]]
	Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:		Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:
	$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$		:$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$

	Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.		Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.




	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|~~TCauchyverteilung~~]] Bezug genommen .		*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|Cauchyverteilung]] Bezug genommen.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ betragsmäßig kleiner als $2$?		{Wie lautet die Verteilungsfunktion $F_x(r)$? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$  betragsmäßig kleiner als $2$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr} (\|x\| < 2) \ = $ { 50 3% } $ \ \%$		${\rm Pr} (\|x\| < 2) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \%$


	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist$x$ betragsmäßig größer als $4$?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$  betragsmäßig größer als $4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr} (\|x\| > 4) \ = $ { 29.6 3% } $ \ \%$		${\rm Pr} (\|x\| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$


Zeile 33:		Zeile 35:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz.		+ Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz.
	+ Die Tschebyscheff-Ungleichung macht hier keinen Sinn.		+ Die Tschebyscheff–Ungleichung macht hier keinen Sinn.
	+ Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt.		+ Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen\|Weitere Verteilungen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|TCauchyverteilung]] Bezug genommen .		*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung\|TCauchyverteilung]] Bezug genommen .
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.12 Cauchyverteilung nach Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung

2018-01-03T13:39:19Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.12 Cauchyverteilung nach Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung

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(kein Unterschied)