Aufgaben:Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2022 um 13:05 Uhr

2022-07-05T13:05:41Z

Guenter am 4. Juli 2022 um 15:08 Uhr

2022-07-04T15:08:54Z

Guenter am 4. Juli 2022 um 14:50 Uhr

2022-07-04T14:50:54Z

Guenter am 4. Juli 2022 um 14:49 Uhr

2022-07-04T14:49:54Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:49 Uhr

2019-03-08T09:49:13Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:41 Uhr

2019-03-08T09:41:35Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:47Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.11Z Maximum-Likelihood-Fehlergrößen nach Aufgaben:Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen

2018-01-04T06:30:57Z

Guenter verschob die Seite 3.11Z Maximum-Likelihood-Fehlergrößen nach Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen

Guenter am 3. November 2017 um 13:56 Uhr

2017-11-03T13:56:48Z

Guenter am 3. November 2017 um 13:29 Uhr

2017-11-03T13:29:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juli 2022, 13:05 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:  ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$		* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:  ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$

−	* Die Thematik wird auch im interaktiven SWF–Applet  [[Applets:Viterbi\|"Eigenschaften des Viterbi–Empfängers"]] behandelt.

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{&ndash;0.4}$ und $d_1 = \underline {&ndash;0.8}$.
+'''(1)'''&nbsp; Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man&nbsp; $d_0 = \underline{&ndash;0.4}$&nbsp; und&nbsp; $d_1 = \underline {&ndash;0.8}$.
-'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten).
+'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen&nbsp; (Metriken)&nbsp; $\varepsilon_0(i)$&nbsp; beinhalten den Grundimpulswert&nbsp; $g_{\rm &ndash;1}$,&nbsp; über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_1$&nbsp; und dem Detektionsabtastwert&nbsp; $d_0$&nbsp; hergestellt wird&nbsp; $(g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten$)$.
-*Man erkennt $g_{\rm &ndash;1}\  \underline {= 0.4}$.
+*Man erkennt&nbsp; $g_{\rm &ndash;1}\  \underline {= 0.4}$.
-*Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.
+*Aus den Gleichungen für&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; ist der Hauptwert&nbsp; $g_0 \ \underline {= 0.6}$&nbsp; ablesbar.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 4</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die Lösungsvorschläge&nbsp; <u>1 und 4</u>:
-*Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm &ndash;1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {&plusmn;0.2}$ und $\underline {&plusmn;1.0}$.
+*Die möglichen Nutzabtastwerte sind&nbsp; $\pm g_0 \pm g_{\rm &ndash;1} = \pm 0.6 \pm0.4$,&nbsp; also&nbsp; $\underline {&plusmn;0.2}$&nbsp; und&nbsp; $\underline {&plusmn;1.0}$.
-*Bei unipolarer Signalisierung &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
+*Bei unipolarer Signalisierung &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$&nbsp; würden sich dagegen die Werte&nbsp; $0, \ 0.4, \ 0.6$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-*Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: &nbsp; $b_i = 2 \cdot u_i - 1  \hspace{0.05cm}.$
+*Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten&nbsp; $b_i$&nbsp; und den unipolaren Äquivalenten&nbsp; $u_i$&nbsp; lautet allgemein: &nbsp; $b_i = 2 \cdot u_i - 1  \hspace{0.05cm}.$
-'''(4)'''&nbsp; Die Fehlergrößen ergeben sich für $\nu = 2$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (3) wie folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Fehlergrößen ergeben sich für&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wie folgt:
 :$$\varepsilon_{2}(+1, +1)  \ = \ [0.1 - 1.0]^2=0.81,\hspace{0.2cm}
    \varepsilon_{2}(-1, +1)  = [0.1 +0.2]^2=0.09
@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 [[Datei:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
-<br>Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand &bdquo;$1$&rdquo; als &bdquo;$+1$&rdquo; und &bdquo;$0$&rdquo; als &bdquo;$&ndash;1$&rdquo; zu interpretieren.
+Im skizziertenden Trellisdiagramm ist der Zustand&nbsp; &bdquo;$1$&rdquo;&nbsp; als&nbsp; &bdquo;$+1$&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;$0$&rdquo;&nbsp; als&nbsp; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;&nbsp; zu interpretieren.
 Dann gilt:
-*${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird.
+*${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$&nbsp; ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese,&nbsp; dass das nachfolgende Symbol&nbsp; $a_3 = +1$&nbsp; sein wird.
-*Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ &ndash;1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
-*Eine realistische Alternative zur Kombination &bdquo;$a_2 = \ &ndash;1, a_3 = +1$&rdquo; ist &bdquo;$a_2 = +1, a_3 = \ &ndash;1$&rdquo;, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(&ndash;1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
+*Unter dieser Annahme ist&nbsp; $a_2 = \ &ndash;1$&nbsp; wahrscheinlicher als&nbsp; $a_2 = +1$,&nbsp; wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht&nbsp; (der ankommende Pfad ist blau).
 '''(5)'''&nbsp; Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:
 :$$\varepsilon_{3}(+1, +1)  \ = \ [0.5 - 1.0]^2=0.25,\hspace{0.2cm}
    \varepsilon_{3}(-1, +1)  = [0.5 +0.2]^2=0.49
@@ Zeile 127: / Zeile 129: @@
 .22}  \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
+*Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere,&nbsp; wobei jeweils&nbsp; ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$&nbsp; enthalten ist.
 *Deshalb wird der Viterbi&ndash;Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
+*Deshalb wird der Viterbi&ndash;Empfänger mit Sicherheit&nbsp; $a_3 = +1$&nbsp; ausgeben,&nbsp; ganz egal,&nbsp; welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten&nbsp; ($\nu > 3$)&nbsp; noch bekommen wird.
-Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:
+*Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm von rechts nach links,&nbsp; so sind durch die Festlegung&nbsp; $a_3 = +1$&nbsp; auch die früheren Amplitudenkoeffizienten fix:
 :$$a_1 = a_2 = \ &ndash;1.$$
 {{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juli 2022, 14:50 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:  ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$		* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:  ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$

−	* Die Thematik wird auch im interaktiven SWF–Applet  [[Applets:Viterbi\|Eigenschaften des Viterbi–Empfängers]] behandelt.	+	* Die Thematik wird auch im interaktiven SWF–Applet  [[Applets:Viterbi\|"Eigenschaften des Viterbi–Empfängers"]] behandelt.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 Für die in der&nbsp; [[Aufgaben:3.11_Viterbi-Empf%C3%A4nger_und_Trellisdiagramm|Aufgabe 3.11]]&nbsp; behandelte Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient&nbsp; $a_{\rm \nu} &#8712; \{+1, &ndash;1\}$&nbsp; sollen die Fehlergrößen&nbsp; $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$&nbsp; sowie  die minimalen Gesamtfehlergrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(&ndash;1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$&nbsp; ermittelt werden.
-Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte&nbsp; $g_0$&nbsp; und&nbsp; $g_{\rm &ndash;1}$&nbsp; gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte&nbsp; $d_0$&nbsp; und&nbsp; $d_1$&nbsp; aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen&nbsp; $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; und&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht&nbsp; $(a_1$, $a_2$, $a_3)$&nbsp; stets das Symbol &nbsp;$a_0 = 0$&nbsp; gesendet wird.
+#Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte&nbsp; $g_0$&nbsp; und&nbsp; $g_{\rm &ndash;1}$&nbsp; gegeben.&nbsp;
 Für den Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 0$&nbsp; gilt:
@@ Zeile 11: / Zeile 14: @@
 :$$\varepsilon_{0}(-1) \ = \ \big[-0.4+ 0.4\big]^2=0.00 \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit&nbsp; $a_1 =  -\hspace{-0.05cm}1$&nbsp; ist.
+Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; geschlossen werden,&nbsp; dass mit großer Wahrscheinlichkeit&nbsp; $a_1 =  -\hspace{-0.05cm}1$&nbsp; ist.
-Für den Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; ergeben sich folgende Fehlergrößen:
+Für den Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; ergeben sich folgende Fehlergrößen,&nbsp; die in der Literatur machmal auch als&nbsp; "Metriken"&nbsp; bezeichnet werden:
 :$$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ \big[-0.8- 0.6 -0.4\big]^2=3.24
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 23: / Zeile 26: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die minimalen Gesamtfehlergrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind&nbsp; $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
+Die minimalen Gesamtfehlergrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$,&nbsp; die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können,&nbsp; sind bereits in der Grafik eingezeichnet.&nbsp; Die weiteren verrauschten Detektionsabtastwerte sind&nbsp; $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
 d_{3}=0.5  \hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 29: / Zeile 32: @@
-''Hinweise:''
+* Die Thematik wird auch im interaktiven SWF&ndash;Applet&nbsp;  [[Applets:Viterbi|Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.

@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm &ndash;1}\  \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.
+'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten).
@@ Zeile 81: / Zeile 84: @@
 *Bei unipolarer Signalisierung &nbsp; &rArr; &nbsp; $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
 *Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: &nbsp; $b_i = 2 \cdot u_i - 1  \hspace{0.05cm}.$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1476__Dig_Z_3_11.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
-Für die in der [[Aufgaben:3.11_Viterbi-Empf%C3%A4nger_und_Trellisdiagramm|Aufgabe 3.11]] behandelte Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} &#8712; \{+1, &ndash;1\}$ sollen die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ sowie  die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(&ndash;1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.
+Für die in der&nbsp; [[Aufgaben:3.11_Viterbi-Empf%C3%A4nger_und_Trellisdiagramm|Aufgabe 3.11]]&nbsp; behandelte Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient&nbsp; $a_{\rm \nu} &#8712; \{+1, &ndash;1\}$&nbsp; sollen die Fehlergrößen&nbsp; $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$&nbsp; sowie  die minimalen Gesamtfehlergrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(&ndash;1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$&nbsp; ermittelt werden.
-Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm &ndash;1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:
+Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte&nbsp; $g_0$&nbsp; und&nbsp; $g_{\rm &ndash;1}$&nbsp; gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte&nbsp; $d_0$&nbsp; und&nbsp; $d_1$&nbsp; aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen&nbsp; $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; und&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht&nbsp; $(a_1$, $a_2$, $a_3)$&nbsp; stets das Symbol &nbsp;$a_0 = 0$&nbsp; gesendet wird.
-Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 =  -\hspace{-0.05cm}1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:
+Für den Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 0$&nbsp; gilt:
-:$$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ [-0.8- 0.6 -0.4]^2=3.24
+:$$\varepsilon_{0}(+1) \ = \ \big[-0.4- 0.4\big]^2=0.64 \hspace{0.05cm},$$
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ [-0.8- 0.6 +0.4]^2=1.00
+:$$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ \big[-0.8- 0.6 +0.4\big]^2=1.00
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ [-0.8+ 0.6 -0.4]^2=0.36
+:$$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ \big[-0.8+ 0.6 -0.4\big]^2=0.36
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ [-0.8+ 0.6 +0.4]^2=0.04
+:$$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ \big[-0.8+ 0.6 +0.4\big]^2=0.04
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
+Die minimalen Gesamtfehlergrößen&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind&nbsp; $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}
 d_{3}=0.5  \hspace{0.05cm}.$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi&ndash;Empfänger]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi&ndash;Empfänger]].
-* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von biipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
+* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.
-* Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul  [[Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.
+*Gehen Sie zudem von bipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:&nbsp; ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
@@ Zeile 33: / Zeile 41: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Von welchen Detektionsabtastwerten $d_0$ und $d_1$ wurde hier ausgegangen?
+{Von welchen Detektionsabtastwerten&nbsp; $d_0$&nbsp; und&nbsp; $d_1$&nbsp; wurde hier ausgegangen?
 |type="{}"}
 $d_0 \ = \ $ { -0.412--0.388 }
@@ Zeile 43: / Zeile 51: @@
 $g_{-1} \ = \ $ { 0.4 3% }
-{Welche der aufgeführten Detektionsabtastwerte sind für $\nu &#8805; 1$ möglich?
+{Welche der aufgeführten Detektionsabtastwerte sind für&nbsp; $\nu &#8805; 1$&nbsp; möglich?
 |type="[]"}
 + $&plusmn;0.2,$
@@ Zeile 50: / Zeile 58: @@
 + $&plusmn;1.0.$
-{Geben Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 2$ an $(d_2 = 0.1)$.
+{Geben Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; an &nbsp;$(d_2 = 0.1)$.
 |type="{}"}
 ${\it \Gamma}_2(+1)\ = \ $ { 0.13 3% }
 ${\it \Gamma}_2(-\hspace{-0.05cm}1)\ = \ $ { 0.37 3% }
-{Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 3$ $(d_3 = 0.5)$.
+{Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit&nbsp; $\nu = 3$&nbsp; $(d_3 = 0.5)$.
 |type="{}"}
 ${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $ { 0.38 3% }

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:30 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\epsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm &ndash;1} \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \underline {= 0.6}$ ablesbar.
+'''(2)'''&nbsp; Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm &ndash;1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm &ndash;1}\  \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.
-'''(3)'''&nbsp; Die möglichen Nutzabtastwerte sind $&plusmn;g_0 &plusmn;g_{\rm &ndash;1} = &plusmn;0.6 &plusmn;0.4$, also $\underline {&plusmn;0.2}$ und $\underline {&plusmn;1.0}$. Bei unipolarer Signalisierung würden sich die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben. Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 4</u>:
-:$$b_i = 2 \cdot u_i - 1  \hspace{0.05cm}.$$
+*Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm &ndash;1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {&plusmn;0.2}$ und $\underline {&plusmn;1.0}$.
@@ Zeile 84: / Zeile 86: @@
 :$${\it \Gamma}_{2}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, +1),
   \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, +1)\right] =
- $$
+   {\rm Min}\left[0.36 + 0.81, 0.04 + 0.09\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.13}
   \hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \Gamma}_{2}(-1) \ = \  {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, -1),
-  \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, -1)\right] =$$
+  \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, -1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.01, 0.04 + 1.21\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.37}
   \hspace{0.05cm}.$$
-${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird. Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ &ndash;1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem nachfolgenden Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
+[[Datei:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|right|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
-[[Datei:P_ID1480__Dig_Z_3_11d.png|center|frame|Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen]]
+Dann gilt:
-Eine durchaus realistische Alternative zu der Kombination &bdquo;$a_2 = \ &ndash;1, a_3 = +1$&rdquo; ist &bdquo;$a_2 = +1, a_3 = \ &ndash;1$&rdquo;, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(&ndash;1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.
+'''(5)'''&nbsp; Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:
 :$$\varepsilon_{3}(+1, +1)  \ = \ [0.5 - 1.0]^2=0.25,\hspace{0.2cm}
    \varepsilon_{3}(-1, +1)  = [0.5 +0.2]^2=0.49
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Gamma}_{3}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.25, 0.37 + 0.49\right]\hspace{0.15cm}\underline {=
-.38}  \hspace{0.05cm},$$
+.38}  \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
-:$${\it \Gamma}_{3}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.09, 0.37 + 2.25\right]\hspace{0.15cm}\underline {=
+{\it \Gamma}_{3}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.09, 0.37 + 2.25\right]\hspace{0.15cm}\underline {=
 .22}  \hspace{0.05cm}.$$
-Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist. Deshalb wird der Viterbi&ndash;Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.
+*Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
-Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch diese Festlegung bei $\nu = 3$ auch die früheren Amplitudenkoeffizienten fix: $a_1 = a_2 = \ &ndash;1$.
+Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 {Welche Grundimpulswerte wurden dabei vorausgesetzt?
 |type="{}"}
-$g_0\ = \ $ { +0.6 3% }
+$g_0\ = \ $ { 0.6 3% }
-$g_{-1} \ = \ $ { +0.4 3% }
+$g_{-1} \ = \ $ { 0.4 3% }
 {Welche der aufgeführten Detektionsabtastwerte sind für $\nu &#8805; 1$ möglich?
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 {Berechnen Sie die minimalen Gesamtfehlergrößen für die Zeit $\nu = 3$ $(d_3 = 0.5)$.
 |type="{}"}
-${\it \Gamma}_3(+1)$ = { 0.38 3% }
+${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $ { 0.38 3% }
-${\it \Gamma}_3(-\hspace{-0.05cm}1)$ = { 0.22 3% }
+${\it \Gamma}_3(-\hspace{-0.05cm}1) \ = \ $ { 0.22 3% }
 </quiz>