Aufgaben:Aufgabe 3.11Z: Extrem unsymmetrischer Kanal - Versionsgeschichte

Guenter am 22. September 2021 um 12:04 Uhr

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 :und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man:
 :$${1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{1- (1-p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{(1+p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0$$
-:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 \hspace{0.15cm} \underline {=0.6}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 \hspace{0.15cm} \underline {=0.6}=p_0^{(*)}\hspace{0.05cm}.$$

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 Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe:
 * die Transinformation&nbsp; $I(X; Y)$&nbsp; für&nbsp; $P_X(0) = p_0 = 0.4$&nbsp; und&nbsp; $P_X(1) = p_1 = 0.6$.&nbsp; <br>Es gilt allgemein:
-:$$ I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}=H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm} =\hspace{-0.15cm} H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm},$$
+:$$ I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm},$$
 * die Kanalkapazität:
 :$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$

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 '''(1)'''&nbsp; Die Quellenentropie ergibt sich entsprechend der binären Entropiefunktion:
 :$$H(X) = H_{\rm bin}(p_0)= H_{\rm bin}(0.4) \hspace{0.15cm} \underline {=0.971\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$P_Y(1) = p_1/2 = (1 - p_0)/2 = 0.3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} P_Y(0) = 1-P_Y(1) = p_1/2 = (1 - p_0)/2 = 0.7$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y) = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2})= H_{\rm bin}(0.7) \hspace{0.15cm} \underline {=0.881\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(XY) =p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ p_0} + 2 \cdot \frac{1-p_0}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{2}{ 1- p_0} = p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ p_0} + (1-p_0) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ 1- p_0} + (1-p_0) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) =H_{\rm bin}(p_0) + 1 - p_0 \hspace{0.05cm}.$$
-Das numerische Ergebnis für $p_0 = 0.4$ lautet somit:
+*Das numerische Ergebnis für&nbsp; $p_0 = 0.4$&nbsp; lautet somit:
 :$$H(XY) = H_{\rm bin}(0.4) + 0.6 = 0.971 + 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=1.571\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Eine (mögliche) Gleichung zur Berechnung der Transinformation lautet:
-:$$ I(X;Y) = H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}$$
+:$$ I(X;Y) = H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus erhält man mit den Ergebnissen der ersten drei Teilaufgaben:
+*Daraus erhält man mit den Ergebnissen der ersten drei Teilaufgaben:
 :$$I(X;Y) = H_{\rm bin}(p_0) + H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) - H_{\rm bin}(p_0) -1 + p_0 = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) -1 + p_0.$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 = 0.4 {\rm :}\hspace{0.5cm} I(X;Y) = H_{\rm bin}(0.7) - 0.6 = 0.881 - 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=0.281\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die Kanalkapazität $C$ ist die Transinformation &nbsp;$I(X; Y)$&nbsp; bei bestmöglichen Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_0$&nbsp;  und &nbsp; $p_1$&nbsp;  der Quellensymbole.
 *Nach Differentiation erhält man die Bestimmungsgleichung:
 :$$\frac{\rm d}{{\rm d}p_0} \hspace{0.1cm} I(X;Y) =
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 *Mit dem Differentialquotienten der binären Entropiefunktion
 :$$ \frac{\rm d}{{\rm d}p} \hspace{0.1cm}  H_{\rm bin}(p) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{ p} \hspace{0.05cm},$$
-und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man:
+:und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man:
 :$${1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{1- (1-p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{(1+p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 \hspace{0.15cm} \underline {=0.6}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Für die Kanalkapazität gilt dementsprechend:
 :$$C = I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.6} = H_{\rm bin}(0.8) - 0.4 = 0.722 -0.4 \hspace{0.15cm} \underline {=0.322\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
-In der Aufgabe A3.14 wird dieses Ergebnis im Vergleich zum BSC–Kanalmodell interpretiert.
+*In der Aufgabe A3.14 wird dieses Ergebnis im Vergleich zum BSC–Kanalmodell interpretiert.
 '''(7)'''&nbsp; Für die Äquivokation gilt:
 :$$ H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm}Y) = H(X) - I(X;Y) = 0.971 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.649\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Wegen $H_{\rm bin}(0.4) = H_{\rm bin}(0.6)$ ergibt sich die gleiche Quellenentropie $H(X)$ wie in Teilaufgabe '''(1)'''.
+*Wegen&nbsp; $H_{\rm bin}(0.4) = H_{\rm bin}(0.6)$&nbsp; ergibt sich die gleiche Quellenentropie&nbsp; $H(X)$&nbsp; wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
-*Die Sinkenentropie muss neu berechnet werden.
+*Die Sinkenentropie muss neu berechnet werden.&nbsp; Mit&nbsp; $p_0 = 0.6$&nbsp; erhält man&nbsp; $H(Y) = H_{\rm bin}(0.8) = 0.722\ \rm  bit$.
-*Mit $p_0 = 0.6$ erhält man $H(Y) = H_{\rm bin}(0.8) = 0.722\ \rm  bit$, und damit ergibt sich für die Irrelevanz:
+* Damit ergibt sich für die Irrelevanz:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) - I(X;Y) = 0.722 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.400\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2800__Inf_Z_3_10.png|right|frame|Einseitig verfälschender Kanal]]
 Betrachtet wird der nebenstehend gezeichnete Kanal mit den folgenden Eigenschaften:
-* Das Symbol $X = 0$ wird immer richtig übertragen und führt stets zum Ergebnis $Y = 0$.
+* Das Symbol&nbsp; $X = 0$&nbsp; wird immer richtig übertragen und führt stets zum Ergebnis&nbsp; $Y = 0$.
-* Das Symbol $X = 1$ wird maximal verfälscht. Aus Sicht der Informationstheorie bedeutet dies:
+* Das Symbol&nbsp; $X = 1$&nbsp; wird maximal verfälscht.&nbsp;
 :$${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 0\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) ={\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 1\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) = 0.5 \hspace{0.05cm}$$
 Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe:
-* die Transinformation $I(X; Y)$ für $P_X(0) = p_0 = 0.4$ und $P_X(1) = p_1 = 0.6$. Es gilt allgemein:
+* die Transinformation&nbsp; $I(X; Y)$&nbsp; für&nbsp; $P_X(0) = p_0 = 0.4$&nbsp; und&nbsp; $P_X(1) = p_1 = 0.6$.&nbsp; <br>Es gilt allgemein:
 :$$ I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}=H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm} =\hspace{-0.15cm} H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm},$$
 * die Kanalkapazität:
 :$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Kanalkapazit.C3.A4t_eines_Bin.C3.A4rkanals|Kanalkapazität eines Binärkanals]].
-*In der [[Aufgaben:3.14_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 3.14]] sollen die hier gefundenen Ergebnisse im Vergleich zum BSC–Kanal interpretiert werden.
+*In der&nbsp; [[Aufgaben:3.14_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 3.14]]&nbsp; sollen die hier gefundenen Ergebnisse im Vergleich zum BSC–Kanal interpretiert werden.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Quellenentropie allgemein und für $\underline{p_0 = 0.4}$.
+{Berechnen Sie die Quellenentropie allgemein und für&nbsp; $\underline{p_0 = 0.4}$.
 |type="{}"}
 $H(X) \ = \ $ { 0.971 3% } $\ \rm bit$
-{Berechnen Sie die Sinkenentropie allgemein und für $p_0 = 0.4$.
+{Berechnen Sie die Sinkenentropie allgemein und für&nbsp; $p_0 = 0.4$.
 |type="{}"}
 $H(Y) \ = \ $ { 0.881 3% }  $\ \rm bit$
-{Berechnen Sie die Verbundentropie allgemein und für $p_0 = 0.4$.
+{Berechnen Sie die Verbundentropie allgemein und für&nbsp; $p_0 = 0.4$.
 |type="{}"}
 $H(XY) \ = \ $ { 1.571 3% } $\ \rm bit$
-{Berechnen Sie die Transinformation allgemein und für $p_0 = 0.4$.
+{Berechnen Sie die Transinformation allgemein und für&nbsp; $p_0 = 0.4$.
 |type="{}"}
 $I(X; Y) \ = \ $ { 0.281 3% } $\ \rm bit$
-{Welche Wahrscheinlichkeit $p_0^{(*)}$ führt zur Kanalkapazität $C$?
+{Welche Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0^{(*)}$&nbsp; führt zur Kanalkapazität&nbsp; $C$?
 |type="{}"}
 $p_0^{(*)}  \ = \ $ { 0.6 3% }
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 $C  \ = \ $ { 0.322 3% }   $\ \rm bit$
-{Wie groß sind die bedingten Entropien mit $p_0 = p_0^{(*)}$ gemäß Teilaufgabe '''(5)'''?
+{Wie groß sind die bedingten Entropien mit&nbsp; $p_0 = p_0^{(*)}$&nbsp; gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''?
 |type="{}"}
 $H(X|Y) \ = \ $ { 0.649 3% }   $\ \rm bit$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die Quellenentropie ergibt sich entsprechend der binären Entropiefunktion:
-:$$H(X) = H_{\rm bin}(p_0)= H_{\rm bin}(0.4) \hspace{0.15cm} \underline {=0.971\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
+:$$H(X) = H_{\rm bin}(p_0)= H_{\rm bin}(0.4) \hspace{0.15cm} \underline {=0.971\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten der Sinkensymbole sind:
 :$$P_Y(1) = p_1/2 = (1 - p_0)/2 = 0.3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} P_Y(0) = 1-P_Y(1) = p_1/2 = (1 - p_0)/2 = 0.7$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y) = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2})= H_{\rm bin}(0.7) \hspace{0.15cm} \underline {=0.881\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y) = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2})= H_{\rm bin}(0.7) \hspace{0.15cm} \underline {=0.881\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{μκ} = {\rm Pr}[(X = μ) ∩ (Y = κ)]$ ergeben sich zu:
 :$$ p_{00} = p_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{01} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{10} = (1 - p_0)/2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{11} = (1 - p_0)/2$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(XY) =p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ p_0} + 2 \cdot \frac{1-p_0}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{2}{ 1- p_0} = p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ p_0} + (1-p_0) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ 1- p_0} + (1-p_0) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2)$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) =H_{\rm bin}(p_0) + 1 - p_0 \hspace{0.05cm}$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) =H_{\rm bin}(p_0) + 1 - p_0 \hspace{0.05cm}.$$
 Das numerische Ergebnis für $p_0 = 0.4$ lautet somit:
-:$$H(XY) = H_{\rm bin}(0.4) + 0.6 = 0.971 + 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=1.571\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
+:$$H(XY) = H_{\rm bin}(0.4) + 0.6 = 0.971 + 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=1.571\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Eine (mögliche) Gleichung zur Berechnung der Transinformation lautet:
 :$$ I(X;Y) = H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}$$
 Daraus erhält man mit den Ergebnissen der ersten drei Teilaufgaben:
-:$$I(X;Y) = H_{\rm bin}(p_0) + H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) - H_{\rm bin}(p_0) -1 + p_0 = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) -1 + p_0$$
+:$$I(X;Y) = H_{\rm bin}(p_0) + H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) - H_{\rm bin}(p_0) -1 + p_0 = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) -1 + p_0.$$
-:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 = 0.4 {\rm :}\hspace{0.5cm} I(X;Y) = H_{\rm bin}(0.7) - 0.6 = 0.881 - 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=0.281\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 = 0.4 {\rm :}\hspace{0.5cm} I(X;Y) = H_{\rm bin}(0.7) - 0.6 = 0.881 - 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=0.281\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die Kanalkapazität $C$ ist die Transinformation $I(X; Y) $bei bestmöglichen Wahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ der Quellensymbole. Nach Differentiation erhält man die Bestimmungsgleichung:
+'''(5)'''&nbsp; Die Kanalkapazität $C$ ist die Transinformation &nbsp;$I(X; Y)$&nbsp; bei bestmöglichen Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_0$&nbsp;  und &nbsp; $p_1$&nbsp;  der Quellensymbole.
 :$$\frac{\rm d}{{\rm d}p_0} \hspace{0.1cm} I(X;Y) =
 \frac{\rm d}{{\rm d}p_0} \hspace{0.1cm}  H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) +1 \stackrel{!}{=} 0
 \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Differentialquotienten der binären Entropiefunktion
+*Mit dem Differentialquotienten der binären Entropiefunktion
 :$$ \frac{\rm d}{{\rm d}p} \hspace{0.1cm}  H_{\rm bin}(p) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{ p} \hspace{0.05cm},$$
-und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man :
+und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man:
 :$${1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{1- (1-p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{(1+p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 \hspace{0.15cm} \underline {=0.6}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Für die Kanalkapazität gilt dementsprechend:
 :$$C = I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.6} = H_{\rm bin}(0.8) - 0.4 = 0.722 -0.4 \hspace{0.15cm} \underline {=0.322\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
 In der Aufgabe A3.14 wird dieses Ergebnis im Vergleich zum BSC–Kanalmodell interpretiert.
 '''(7)'''&nbsp; Für die Äquivokation gilt:
-:$$ H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm}Y) = H(X) - I(X;Y) = 0.971 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.649\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$
+:$$ H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm}Y) = H(X) - I(X;Y) = 0.971 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.649\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
-Wegen $H_{\rm bin}(0.4) = H_{\rm bin}(0.6)$ ergibt sich die gleiche Quellenentropie $H(X)$ wie in Teilaufgabe (1). Die Sinkenentropie muss neu berechnet werden. Mit $p_0 = 0.6$ erhält man $H(Y) = H_{\rm bin}(0.8) = 0.722\ \rm  bit$, und damit ergibt sich für die Irrelevanz:
+*Wegen $H_{\rm bin}(0.4) = H_{\rm bin}(0.6)$ ergibt sich die gleiche Quellenentropie $H(X)$ wie in Teilaufgabe '''(1)'''.
-:$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) - I(X;Y) = 0.722 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.400\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$
+*Die Sinkenentropie muss neu berechnet werden.
 {{ML-Fuß}}

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Kanalkapazit.C3.A4t_eines_Bin.C3.A4rkanals|Kanalkapazität eines Binärkanals]].
 *In der [[Aufgaben:3.14_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 3.14]] sollen die hier gefundenen Ergebnisse im Vergleich zum BSC–Kanal interpretiert werden.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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