Aufgaben:Aufgabe 3.11: Viterbi-Empfänger und Trellisdiagramm - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2022 um 13:02 Uhr

2022-07-05T13:02:54Z

Guenter am 4. Juli 2022 um 13:09 Uhr

2022-07-04T13:09:40Z

Guenter am 4. Juli 2022 um 12:45 Uhr

2022-07-04T12:45:31Z

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2022-07-04T12:44:41Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:22 Uhr

2019-03-08T09:22:24Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:16 Uhr

2019-03-08T09:16:52Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:47Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:30:43Z

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2017-11-03T13:06:37Z

Guenter am 3. November 2017 um 12:56 Uhr

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	* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:		* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.  Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus:
	:$${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$$		:$${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$$
−	* Die Thematik wird auch im interaktiven SWF–Applet  [[Applets:Viterbi\|"Eigenschaften des Viterbi–Empfängers"]]  behandelt.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-*Das Signal $m(t)$ nach dem Matched&ndash;Filter $H_{\rm MF}(f)$ weist das größtmögliche Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnis auf.
+*Das Signal&nbsp; $m(t)$&nbsp; nach dem Matched&ndash;Filter&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; weist das größtmögliche Signal&ndash;zu&ndash;Störleistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; auf.
-* Die Störanteile der Folge $&#9001;m_{\rm \nu}&#9002;$ sind aber aufgrund der spektralen Formung (stark) korreliert.
+* Die Störanteile der Folge&nbsp; $&#9001;m_{\rm \nu}&#9002;$&nbsp; sind aber aufgrund der spektralen Formung (stark) korreliert.
-*Aufgabe des zeitdiskreten Dekorrelationsfilters mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ ist es, diese Bindungen aufzulösen, weshalb für $H_{\rm DF}(f)$ auch der Name &bdquo;Whitening&ndash;Filter&rdquo; verwendet wird.
+*Aufgabe des zeitdiskreten Dekorrelationsfilters mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; ist es,&nbsp; diese Bindungen aufzulösen,&nbsp; weshalb für&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; auch der Name&nbsp; &bdquo;Whitening&ndash;Filter&rdquo;&nbsp; verwendet wird.
 *Dies ist allerdings nur auf Kosten einer erhöhten Störleistung möglich &nbsp; &#8658; &nbsp; der letzte Lösungsvorschlag trifft demnach nicht zu.
-'''(2)'''&nbsp; Die beiden bei $\underline {\nu = 1}$ ankommenden Pfeile sind jeweils blau gezeichnet und kennzeichnen das Symbol $a_1 = 0$. Somit ist bereits zu diesem Zeitpunkt das Ausgangssymbol $a_1$ festgelegt. Ebenso stehen die Symbole $a_3 = 1$ und $a_5 = 0$ bereits zu den Zeitpunkten $\underline {\nu = 3}$ bzw. $\underline {\nu = 5}$ fest.
+'''(2)'''&nbsp; Die beiden bei&nbsp; $\underline {\nu = 1}$&nbsp; ankommenden Pfeile sind jeweils blau gezeichnet und kennzeichnen das Symbol&nbsp; $a_1 = 0$.&nbsp; Somit ist bereits zu diesem Zeitpunkt das Ausgangssymbol&nbsp; $a_1$&nbsp; festgelegt.&nbsp; Ebenso stehen die Symbole&nbsp; $a_3 = 1$&nbsp; und&nbsp; $a_5 = 0$&nbsp; bereits zu den Zeitpunkten&nbsp; $\underline {\nu = 3}$&nbsp; bzw.&nbsp; $\underline {\nu = 5}$&nbsp; fest.
-Dagegen ist zum Zeitpunkt $\nu = 2$ eine Entscheidung bezüglich des Symbols $a_2$ nicht möglich.
+Dagegen ist zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; eine Entscheidung bezüglich des Symbols&nbsp; $a_2$&nbsp; nicht möglich.
-*Unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = 0$ sein wird, würde sich Symbol $a_2 = 1$ ergeben (bei &bdquo;$0$&rdquo; kommt ein roter Pfad an, also von &bdquo;$1$&rdquo; kommend).
+*Unter der Hypothese,&nbsp; dass das nächste Symbol&nbsp; $a_3 = 0$&nbsp; sein wird,&nbsp; würde sich Symbol&nbsp; $a_2 = 1$&nbsp; ergeben&nbsp; (bei &bdquo;$0$&rdquo; kommt ein roter Pfad an,&nbsp; also von &bdquo;$1$&rdquo; kommend).
-* Dagegen führt die Hypothese $a_3 = 1$ zum Ergebnis $a_2 = 0$ (der bei &bdquo;$1$&rdquo; ankommende Pfad ist blau).
+* Dagegen führt die Hypothese&nbsp; $a_3 = 1$&nbsp; zum Ergebnis&nbsp; $a_2 = 0$&nbsp; (der bei &bdquo;$1$&rdquo; ankommende Pfad ist blau).
-Ähnlich verhält es sich zum Zeitpunkt $\nu = 4$.
+Ähnlich verhält es sich zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 4$.
-'''(3)'''&nbsp; Aus den durchgehenden Pfaden bei $\nu = 5$ ist ersichtlich:
+'''(3)'''&nbsp; Aus den durchgehenden Pfaden bei&nbsp; $\nu = 5$&nbsp; ist ersichtlich:
 :$$a_{1}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 a_{2}\hspace{0.15cm}\underline { =0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_{3}\hspace{0.15cm}\underline {=1}
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>zweite Aussage</u>:
-*Da die Quellensymbole &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$1$&rdquo; als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt wurden, ist der ML&ndash;Empfänger (Viterbi) identisch mit dem MAP&ndash;Empfänger.
+*Da die Quellensymbole&nbsp; &bdquo;$0$&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;$1$&rdquo;&nbsp; als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt wurden,&nbsp; ist der ML&ndash;Empfänger&nbsp; (Viterbi)&nbsp; identisch mit dem MAP&ndash;Empfänger.
-*Ein Schwellenwertentscheider (der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft) hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi&ndash;Empfänger, wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
+*Ein Schwellenwertentscheider&nbsp; (der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft)&nbsp; hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi&ndash;Empfänger,&nbsp; wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
-*Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall, sonst müsste zu jedem Zeitpunkt $\nu$ eine endgültige Entscheidung getroffen werden können.
+*Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall,&nbsp; sonst müsste zu jedem Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; eine endgültige Entscheidung getroffen werden können.
-*Die erste Aussage trifft ebenfalls nicht zu. Das würde nämlich bedeuten, dass der Viterbi&ndash;Empfänger bei Vorhandensein von statistischem Rauschen die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ haben kann. Dies ist aus informationstheoretischen Gründen nicht möglich.
+*Die erste Aussage trifft ebenfalls nicht zu.&nbsp; Das würde nämlich bedeuten,&nbsp; dass der Viterbi&ndash;Empfänger bei Vorhandensein von statistischem Rauschen die Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $0$&nbsp; haben kann.&nbsp; Dies ist aber aus informationstheoretischen Gründen nicht möglich.
 {{ML-Fuß}}

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|"Viterbi&ndash;Empfänger"]].
-*Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|"MAP&ndash; und Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel"]].
+*Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|"MAP&ndash; und Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel"]].
 * Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.&nbsp; Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: &nbsp;

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 [[Datei:P_ID1475__Dig_A_3_11.png|right|frame|Trellisdiagramm für einen Vorläufer]]
-Der Viterbi&ndash;Empfänger erlaubt eine aufwandsgünstige Realisierung der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel. Er beinhaltet die im Folgenden aufgeführten Systemkomponenten:
+Der Viterbi&ndash;Empfänger erlaubt eine aufwandsgünstige Realisierung der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel.&nbsp; Er beinhaltet die im Folgenden aufgeführten Systemkomponenten:
-* ein an den Sendegrundimpuls angepasstes Matched&ndash;Filter mit Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; und Ausgangssignal&nbsp; $m(t)$,
+* Ein an den Sendegrundimpuls angepasstes Matched&ndash;Filter mit Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; und Ausgangssignal&nbsp; $m(t)$,
-* einen Abtaster im Abstand der Symboldauer (Bitdauer)&nbsp; $T$, der das zeitkontinuierliche Signal&nbsp; $m(t)$&nbsp; in die zeitdiskrete Folge&nbsp; $&#9001;m_{\rm \nu}&#9002;$&nbsp; wandelt,
 * ein Dekorrelationsfilter mit Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; zur Entfernung statistischer Bindungen zwischen den Störanteilen der Folge&nbsp; $&#9001;d_{\rm \nu}&#9002;$,
-''Hinweise:''
+*Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|"MAP&ndash; und Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel"]].
-* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: &nbsp;${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
+* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen.&nbsp; Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: &nbsp;
-* Die Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Viterbi|Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.
+:$${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$$
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 + Das Matched&ndash;Filter &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; dient vorwiegend der Störleistungsbegrenzung.
 + Das Dekorrelationsfilter entfernt Bindungen zwischen den Abtastwerten.
-- Die Störleistung wird nur von &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$, nicht von &nbsp;$H_{\rm DF}(f)$&nbsp; beeinflusst.
+- Die Störleistung wird nur von &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$,&nbsp; nicht aber von &nbsp;$H_{\rm DF}(f)$&nbsp; beeinflusst.
 {Zu welchen Zeiten &nbsp;$\nu$&nbsp; kann man das aktuelle Symbol &nbsp;$a_{\rm \nu}$&nbsp; endgültig entscheiden?
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 + $\nu = 5.$
-{Wie lautet die vom Viterbi&ndash;Empfänger entschiedene Folge?
+{Wie lautet die gesamte vom Viterbi&ndash;Empfänger entschiedene Folge?
 |type="{}"}
 $a_1 \ = \ $ { 0. }
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 {Welche der folgenden Aussagen  sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Es ist sicher, dass die erkannte Folge auch gesendet wurde.
+- Es ist sicher,&nbsp; dass die erkannte Folge auch gesendet wurde.
 + Ein MAP&ndash;Empfänger hätte die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit.
 - Schwellenwertentscheidung ist gleich gut wie dieser Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger.

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 *Aufgabe des zeitdiskreten Dekorrelationsfilters mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ ist es, diese Bindungen aufzulösen, weshalb für $H_{\rm DF}(f)$ auch der Name &bdquo;Whitening&ndash;Filter&rdquo; verwendet wird.
 *Dies ist allerdings nur auf Kosten einer erhöhten Störleistung möglich &nbsp; &#8658; &nbsp; der letzte Lösungsvorschlag trifft demnach nicht zu.
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>zweite Aussage</u>:
 *Da die Quellensymbole &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$1$&rdquo; als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt wurden, ist der ML&ndash;Empfänger (Viterbi) identisch mit dem MAP&ndash;Empfänger.
-*Ein Schwellenwertentscheider &ndash; der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft &ndash; hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi&ndash;Empfänger, wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
+*Ein Schwellenwertentscheider (der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft) hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi&ndash;Empfänger, wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
 *Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall, sonst müsste zu jedem Zeitpunkt $\nu$ eine endgültige Entscheidung getroffen werden können.
 *Die erste Aussage trifft ebenfalls nicht zu. Das würde nämlich bedeuten, dass der Viterbi&ndash;Empfänger bei Vorhandensein von statistischem Rauschen die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ haben kann. Dies ist aus informationstheoretischen Gründen nicht möglich.

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 [[Datei:P_ID1475__Dig_A_3_11.png|right|frame|Trellisdiagramm für einen Vorläufer]]
 Der Viterbi&ndash;Empfänger erlaubt eine aufwandsgünstige Realisierung der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel. Er beinhaltet die im Folgenden aufgeführten Systemkomponenten:
-* ein an den Sendegrundimpuls angepasse Matched&ndash;Filter mit Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und Ausgangssignal $m(t)$,
+* ein an den Sendegrundimpuls angepasstes Matched&ndash;Filter mit Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; und Ausgangssignal&nbsp; $m(t)$,
-* einen Abtaster im Abstand der Symboldauer (Bitdauer) $T$, der das zeitkontinuierliche Signal $m(t)$ in die zeitdiskrete Folge $&#9001;m_{\rm \nu}&#9002;$ wandelt,
+* einen Abtaster im Abstand der Symboldauer (Bitdauer)&nbsp; $T$, der das zeitkontinuierliche Signal&nbsp; $m(t)$&nbsp; in die zeitdiskrete Folge&nbsp; $&#9001;m_{\rm \nu}&#9002;$&nbsp; wandelt,
-* ein Dekorrelationsfilter mit Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ zur Entfernung statistischer Bindungen zwischen den Störanteilen der Folge $&#9001;d_{\rm \nu}&#9002;$,
+* ein Dekorrelationsfilter mit Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; zur Entfernung statistischer Bindungen zwischen den Störanteilen der Folge&nbsp; $&#9001;d_{\rm \nu}&#9002;$,
-* den Viterbi&ndash;Entscheider, der mit einem trellisbasierten Algorithmus die Sinkensymbolfolge $&#9001;v_{\rm \nu}&#9002;$ gewinnt.
+* den Viterbi&ndash;Entscheider, der mit einem trellisbasierten Algorithmus die Sinkensymbolfolge&nbsp; $&#9001;v_{\rm \nu}&#9002;$&nbsp; gewinnt.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi&ndash;Empfänger]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Viterbi%E2%80%93Empf%C3%A4nger|Viterbi&ndash;Empfänger]].
-*Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|MAP&ndash; und Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel]].
+*Bezug genommen wird auch auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#MAP.E2.80.93_und_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidungsregel|MAP&ndash; und Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel]].
-* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
+* Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie zudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: &nbsp;${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
-* Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul  [[Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.
+* Die Thematik wird auch im interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:Viterbi|Eigenschaften des Viterbi&ndash;Empfängers]] behandelt.
@@ Zeile 26: / Zeile 29: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Das Matched&ndash;Filter $H_{\rm MF}(f)$ dient vorwiegend der Störleistungsbegrenzung.
++ Das Matched&ndash;Filter &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; dient vorwiegend der Störleistungsbegrenzung.
 + Das Dekorrelationsfilter entfernt Bindungen zwischen den Abtastwerten.
-- Die Störleistung wird nur von $H_{\rm MF}(f)$, nicht von $H_{\rm DF}(f)$ beeinflusst.
+- Die Störleistung wird nur von &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$, nicht von &nbsp;$H_{\rm DF}(f)$&nbsp; beeinflusst.
-{Zu welchen Zeiten $\nu$ kann man das aktuelle Symbol $a_{\rm \nu}$ endgültig entscheiden?
+{Zu welchen Zeiten &nbsp;$\nu$&nbsp; kann man das aktuelle Symbol &nbsp;$a_{\rm \nu}$&nbsp; endgültig entscheiden?
 |type="[]"}
 + $\nu = 1,$

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:30 Uhr
(kein Unterschied)