Aufgaben:Aufgabe 3.11: Tschebyscheffsche Ungleichung - Versionsgeschichte

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 :$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x})  \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
 :$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$
-:$$k= 3\text\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
+:$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
 :$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$
 {{ML-Fuß}}

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-{Es gelte&nbsp; $k = 1, \ 2, \ 3, \ 4$.&nbsp; Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit&nbsp; $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$&nbsp; für die <u>Gau&szlig;verteilung</u> an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
+{Es gelte&nbsp; $k = 1, \ 2, \ 3, \ 4$.&nbsp; Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit&nbsp; $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$&nbsp; für die &nbsp; <u>Gau&szlig;verteilung</u>&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 0.26 3% } $\ \%$
-{Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten&nbsp;  $p_k$&nbsp; ergeben sich bei der&nbsp; <u>Exponentialverteilung</u>.&nbsp; Hier gilt &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
+{Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten&nbsp;  $p_k$&nbsp; ergeben sich bei der &nbsp; <u>Exponentialverteilung</u>.&nbsp; Hier gilt &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 1.83 3% } $\ \%$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Die erste Aussage ist falsch.&nbsp; Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke&nbsp; $1/9$.
 *Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich&nbsp; $1/4$&nbsp; sein.
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 *Die letzte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
 :$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$
 '''(2)'''&nbsp; Bei der Gau&szlig;verteilung gilt:
 :$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
-*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte&nbsp; (in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff):
+*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte&nbsp; $($in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff$)$:
 :$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
 :$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
 :$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$
 :$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$
 '''(3)'''&nbsp; Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir&nbsp; $\lambda = 1$

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 [[Datei:P_ID139__Sto_A_3_11.png|right|frame|Beispielhafte Tschebyscheffsch&ndash;Schranke]]
 Ist &uuml;ber eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; nichts weiter bekannt als nur
 *der Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; und
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-so gibt die&nbsp;  <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i>&nbsp; eine obere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit an, dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig mehr als einen Wert&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; von seinem Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; abweicht.
+so gibt die&nbsp;  "Tschebyscheffsche Ungleichung"&nbsp; eine obere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit an,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig mehr als einen Wert&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; von seinem Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; abweicht.
 Diese Schranke lautet:
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 Zur Erläuterung:
 *In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.
-*Der gr&uuml;ne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung.
+*Der gr&uuml;ne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für die Gleichverteilung.
 *Die blauen Punkte gelten f&uuml;r die Exponentialverteilung.
-Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die&nbsp; <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i>&nbsp; nur eine sehr grobe Schranke darstellt.&nbsp; <br>Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgr&ouml;&szlig;e wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.
+Aus dieser Darstellung ist zu erkennen,&nbsp; dass die&nbsp; "Tschebyscheffsche Ungleichung"&nbsp; nur eine sehr grobe Schranke darstellt.&nbsp;
 <br>
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
-*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]&nbsp; Bezug genommen .
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]&nbsp; Bezug genommen.
 *Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; angegeben.
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit&nbsp; ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
+- Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit&nbsp; ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
-+ &bdquo;Tschebyscheff&rdquo; liefert f&uuml;r&nbsp; $\varepsilon < \sigma_x$&nbsp; keine Information.
++ "Tschebyscheff"&nbsp; liefert f&uuml;r&nbsp; $\varepsilon < \sigma_x$&nbsp; keine Information.
-+ ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge \sigma_x)$&nbsp; ist für große&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; identisch Null, wenn&nbsp; $x$&nbsp; begrenzt ist.
++ ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge \sigma_x)$&nbsp; ist für große&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; identisch Null,&nbsp; wenn&nbsp; $x$&nbsp; begrenzt ist.

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	*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung\|Tschebyscheffsche Ungleichung]]  Bezug genommen .		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung\|Tschebyscheffsche Ungleichung]]  Bezug genommen .

−	*Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}_x$  angegeben.	+	*Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$  angegeben.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke $1/9$.
+*Die erste Aussage ist falsch.&nbsp; Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke&nbsp; $1/9$.
-*Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich $1/4$ sein.
+*Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich&nbsp; $1/4$&nbsp; sein.
-*Für $\varepsilon < \sigma_x$ liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er als $1$. Diese Information ist  nutzlos.
+*Für&nbsp; $\varepsilon < \sigma_x$&nbsp; liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$.&nbsp; Diese Information ist  nutzlos.
-*Die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
+*Die letzte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
 :$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$
 '''(2)'''&nbsp; Bei der Gau&szlig;verteilung gilt:
 :$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
-Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff):
+*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte&nbsp; (in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff):
 :$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
 :$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
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 :$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$
+'''(3)'''&nbsp; Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir&nbsp; $\lambda = 1$
-'''(3)'''&nbsp; Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir $\lambda; = 1$
+&nbsp; &#8658; &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1$.&nbsp; Dann gilt:
 :$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge  k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge  k).$$
-Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets $x >0$ ist, gilt weiter:
+*Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets&nbsp; $x >0$&nbsp; ist, gilt weiter:
 :$$p_k= {\rm Pr}( x \ge k+1)=\int_{k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm}
 {\rm e}^{-x}\, {\rm d} x={\rm e}^{-( k + 1)}.$$
-Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:
+*Daraus ergeben sich für die Exponentialverteilung folgende Zahlenwerte:
 :$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x})  \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
 :$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$

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 - Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
 + &bdquo;Tschebyscheff&rdquo; liefert f&uuml;r $\varepsilon < \sigma_x$ keine Information.
-+ ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge \sigma_x)$ist für große $\varepsilon$ identisch $0$, wenn $x$ begrenzt ist.
++ ${\rm Pr}(|x -m_x> | \ge \sigma_x)$ ist für große $\varepsilon$ identisch $0$, wenn $x$ begrenzt ist.
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke $1/9$. Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er sein, zum Beispiel $1/4$.
+*Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke $1/9$.
-*Für $\varepsilon < \sigma_x$ liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er als $1$. Diese Information ist also nutzlos.
+*Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich $1/4$ sein.
-*Auch die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
+*Für $\varepsilon < \sigma_x$ liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er als $1$. Diese Information ist  nutzlos.
 :$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$
 '''(2)'''&nbsp; Bei der Gau&szlig;verteilung gilt:
 :$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
-Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: Schranke nach Tschebyscheff):
+Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff):
-:$$k= 1: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
+:$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
-:$$k= 2: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
+:$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
-:$$k= 3: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$
+:$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$
-:$$k= 4: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%),$$
+:$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$
 '''(3)'''&nbsp; Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir $\lambda; = 1$
-&nbsp;&#8658;&nbsp; $m_x = \sigma_x = 1$. Dann gilt:
+&nbsp; &#8658; &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1$. Dann gilt:
 :$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge  k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge  k).$$
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 Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:
-:$$k= 1: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x})  \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
+:$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x})  \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
-:$$k= 2: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$
+:$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$
-:$$k= 3: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
+:$$k= 3\text\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
-:$$k= 4: {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$
+:$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID139__Sto_A_3_11.png|right|Beispielhafte Tschebyscheffsch&ndash;Schranke]]
+[[Datei:P_ID139__Sto_A_3_11.png|right|frame|Beispielhafte Tschebyscheffsch&ndash;Schranke]]
 Ist &uuml;ber eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ nichts weiter bekannt als nur
 *der Mittelwert $m_x$ und
 *die Streuung $\sigma_x$,
 so gibt die  <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i> eine obere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit an, dass $x$ betragsm&auml;&szlig;ig mehr als einen Wert $\varepsilon$ von seinem Mittelwert $m_x$ abweicht. Diese Schranke lautet:
-$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le  {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$
+:$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le  {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$
-''Zur Erläuterung:''
+Zur Erläuterung:
 *In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.
 *Der gr&uuml;ne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung.
@@ Zeile 19: / Zeile 20: @@
 Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i> nur eine sehr grobe Schranke darstellt. Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgr&ouml;&szlig;e wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.
+[[Datei:P_ID921__Sto_A_3_11_b.png|frame|Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
 *Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]] Bezug genommen .
-*Nachfolgend finden Sie eine Tabelle mit Werten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion.
+*Rechts finden Sie eine Tabelle mit Werten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion.
-[[Datei:P_ID921__Sto_A_3_11_b.png|Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]
@@ Zeile 38: / Zeile 42: @@
-{Es gelte $k = 1, 2, 3, 4$. Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$ für die Gau&szlig;verteilung an. <br>Wie gro&szlig; ist $p_3$?
+{Es gelte $k = 1, 2, 3, 4$. Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$ für die <u>Gau&szlig;verteilung</u> an. <br>Wie gro&szlig; ist $p_3$?
 |type="{}"}
-$\text{Gauß}$: &nbsp; &nbsp;  ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = $ { 0.26 3% } $\ \%$
+${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 0.26 3% } $\ \%$
-{Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten  $p_k$ ergeben sich bei der Exponentialverteilung. Hier gilt &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$. <br>Wie gro&szlig; ist $p_3$?
+{Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten  $p_k$ ergeben sich bei der <u>Exponentialverteilung</u>. Hier gilt &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$. <br>Wie gro&szlig; ist $p_3$?
 |type="{}"}
-$\text{Exponential}$: &nbsp; &nbsp;  ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = $ { 1.83 3% } $\ \%$
+${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 1.83 3% } $\ \%$

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(kein Unterschied)