Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: ML–Decodierung von Faltungscodes - Versionsgeschichte

Guenter am 26. Juni 2019 um 07:56 Uhr

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2018-01-04T06:49:12Z

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Hussain am 4. Dezember 2017 um 21:16 Uhr

2017-12-04T21:16:09Z

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 + Es gilt&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$.
-{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle&nbsp; $\underline{x}_i &#8712;\mathcal{ C}$.
+{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle&nbsp; $\underline{x} &#8712;\mathcal{ C}$.
 |type="[]"}
 + $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
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 *Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i &#8712; \{-1, \, +1\}, \ y_i &#8712; \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$.
 *Die Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = &plusmn;2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt.
-*Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming&ndash;Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, &ndash; y_i)^2 = 0$. Entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> kann daher geschrieben werden:
+*Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming&ndash;Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, &ndash; y_i)^2 = 0$. Nach dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> kann daher geschrieben werden:
 :$$ d_{\rm H}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) =
 \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
 d_{\rm H}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
-*Entsprechend der Teilaufgabe (1) gilt aber auch:
+*Entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' gilt aber auch:
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
 d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4
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 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) &#8805; 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ vorgenommen wird.
+*Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) &#8805; 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ erfolgt.
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 *Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $&ndash;2 \cdot &#9001; \underline{x}, \, \underline{y} &#9002;$ geschrieben werden.
 *Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort 2</u>.

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie hängen $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ und $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ beim BSC&ndash;Modell zusammen?
+{Wie hängen&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$&nbsp; und&nbsp; $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$&nbsp; beim BSC&ndash;Modell zusammen?
 |type="()"}
-- Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$.
+- Es gilt&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$.
-- Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$.
+- Es gilt&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$.
-+ Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$.
++ Es gilt&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$.
-{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle $\underline{x} &#8712;\mathcal{ C}$.
+{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle&nbsp; $\underline{x}_i &#8712;\mathcal{ C}$.
 |type="[]"}
 + $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
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 + $\underline{z} = \arg \max &#9001; \underline{x} \cdot \underline{y} &#9002;$.
-{Welche Gleichungen gelten für die ML&ndash;Entscheidung beim AWGN?
+{Welche Gleichungen gelten für die ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Modell?
 |type="[]"}
 - $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung von Faltungscodes}}
-[[Datei:P_ID2678__KC_Z_3_10.png|right|frame|Betrachtetes Systemmodell]]
+[[Datei:P_ID2678__KC_Z_3_10.png|right|frame|Gesamtsystemmodell <br>Coder &ndash; Kanal &ndash; Viterbi]]
 Der Viterbi&ndash;Algorithmus stellt die bekannteste Realisierungsform für die Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung eines Faltungscodes dar. Wir gehen hier von folgendem Modell aus:
-* Die Informationssequenz $\underline{u}$ wird durch einen Faltungscode in die Codesequenz $\underline{x}$ umgesetzt. Es gelte $u_i &#8712; \{0, \, 1\}$. Dagegen werden die Codesymbole bipolar dargestellt &nbsp; &#8658; &nbsp; $x_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$.
+* Die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird durch einen Faltungscode in die Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; umgesetzt. Es gelte&nbsp; $u_i &#8712; \{0, \, 1\}$. Dagegen werden die Codesymbole bipolar dargestellt &nbsp; &#8658; &nbsp; $x_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$.
-* Der Kanal sei durch das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]] gegeben &nbsp;&#8658;&nbsp; $y_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$ oder es wird der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]] vorausgesetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; reellwertige Empfangswerte $y_i$.
+* Der Kanal sei durch das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]]&nbsp; gegeben &nbsp; &#8658; &nbsp; $y_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$&nbsp; oder es wird der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; vorausgesetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; reellwertige Empfangswerte&nbsp; $y_i$.
-* Bei gegebener Empfangssequenz $\underline{y}$ entscheidet sich der Viterbi&ndash;Algorithmus für die Codesequenz $\underline{z}$ entsprechend
+* Bei gegebener Empfangssequenz&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; entscheidet sich der Viterbi&ndash;Algorithmus für die Codesequenz&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; gemäß
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Dies entspricht dem [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium| Maximum&ndash;a&ndash;posteriori]] (MAP)&ndash;Kriterium. Sind die Informationssequenzen $\underline{u}$ gleichwahrscheinlich, so geht dieses in das etwas einfachere [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium| Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium]] über:
+*Dies entspricht dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium| Maximum&ndash;a&ndash;posteriori]]&nbsp; (MAP)&ndash;Kriterium. Sind alle Informationssequenzen&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; gleichwahrscheinlich, so geht dieses in das etwas einfachere&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium| Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium]]&nbsp; über:
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y}  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.$$
-*Als weiteres Ergebnis gibt der Viterbi&ndash;Algorithmus zusätzlich die Sequenz $\underline{\upsilon}$ als Schätzung für die Informationssequenz $\underline{u}$ aus.
+*Als weiteres Ergebnis gibt der Viterbi&ndash;Algorithmus zusätzlich die Sequenz&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; als Schätzung für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; aus.
-In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen der [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]] $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ sowie der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal| Euklidischen Distanz]]
+In dieser Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen der&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]]&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$&nbsp; sowie der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal| Euklidischen Distanz]]
 :$$d_{\rm E}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) =
 \sqrt{\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2}\hspace{0.05cm}$$
-ermittelt werden. Anschließend ist das obige ML&ndash;Kriterium mit
+ermittelt werden. Anschließend ist das obige ML&ndash;Kriterium  zu formulieren mit
-* der Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$,
+* der Hamming&ndash;Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$,
-* der Euklidischen Distanz $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$, und
+* der Euklidischen Distanz&nbsp; $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$, und
-* dem [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Zusammenhang_zwischen_Hamming.E2.80.93Distanz_und_Korrelation| Korrelationswert]] $&#9001; x \cdot y &#9002;$ zu formulieren.
+* dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Zusammenhang_zwischen_Hamming.E2.80.93Distanz_und_Korrelation| Korrelationswert]]&nbsp; $&#9001; x \cdot y &#9002;$.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes| Decodierung von Faltungscodes]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes| Decodierung von Faltungscodes]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf  die  Seite [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken|Viterbi&ndash;Algorithmus &ndash; basierend auf Korrelation und Metriken]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf  die  Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken|Viterbi&ndash;Algorithmus &ndash; basierend auf Korrelation und Metriken]].
-* Zur Vereinfachung wird auf Tilden und Apostroph verzichtet.
+* Zur Vereinfachung wird auf &bdquo;Tilde&rdquo; und &bdquo;Apostroph&rdquo; verzichtet.
 * Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf folgenden Seiten dieses Buches:
 ** [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium| MAP&ndash; und ML&ndash;Kriterium]],

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}, \ y_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+*Die zwei Binärfolgen seien $\underline{x}$ und $\underline{y}$ mit $x_i &#8712; \{-1, \, +1\}, \ y_i &#8712; \{-1, \, +1\}$. Die Folgenlänge sei jeweils $L$.
-Die Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, &ndash; y_i = &plusmn;2 \ &nbsp;&#8658;&nbsp; \ (x_i \, &ndash; y_i)^2 = 4$ gilt. Gleiche Symbole $(x_i = y_i)$ tragen zur Hamming&ndash;Distanz nicht bei und ergeben $(x_i \, &ndash; y_i)^2 = 0$. Entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 3</u> kann daher geschrieben werden:
+*Die Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ gibt die Anzahl der Bit an, in denen sich $\underline{x}$ und $\underline{y}$ unterscheiden, für die also $x_i \, - y_i = &plusmn;2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $ (x_i \, - y_i)^2 = 4$ gilt.
 :$$ d_{\rm H}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) =
 \frac{1}{4} \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2= \frac{1}{4} \cdot d_{\rm E}^2(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Beim BSC&ndash;Modell ist es allgemein üblich, zum gegebenen Empfangsvektor $\underline{y}$ das Codewort $\underline{x}$ mit der kleinsten Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ auszuwählen:
+'''(2)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig:
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
 d_{\rm H}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})\hspace{0.05cm}.$$
+*Entsprechend der Teilaufgabe (1) gilt aber auch:
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
 d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y})/4
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 \hspace{0.05cm}.$$
-Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) &#8805; 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ vorgenommen wird. <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+*Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) &#8805; 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ vorgenommen wird.
-'''(3)'''&nbsp; Das Quadrat der Euklidischen Distanz kann wie folgt ausgedrückt werden:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 :$$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) =
 \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.2cm}(x_i - y_i)^2 =
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 \hspace{0.05cm}.$$
-Die beiden ersten Summanden sind jeweils gleich $L$ und müssen für die Minimierung nicht berücksichtigt werden. Für den letzten Ausdruck in dieser Gleichung kann $&ndash;2 \cdot &#9001; \underline{x}, \, \underline{y} &#9002;$ geschrieben werden. Aufgrund des negativen Vorzeichens wird aus der Minimierung eine Maximierung &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
+*Die beiden ersten Summanden sind jeweils gleich $L$ und müssen für die Minimierung nicht berücksichtigt werden.
-'''(4)'''&nbsp; Für den AWGN&ndash;Kanal kann im Gegensatz zum BSC keine Hamming&ndash;Distanz angegeben werden. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. Ausgehend von der Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.:
 :$$d_{\rm E}^{\hspace{0.15cm}2}(\underline{x}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{y}) =
 \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2}
 \hspace{0.1cm}-2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot y_i$$
-gelten für den ersten und letzten Summanden die gleichen Aussagen wie für das BSC&ndash;Modell &ndash; siehe Teilaufgabe (3). Für den mittleren Summanden gilt mit $y_i = x_i + n_i$ und $x_i &#8712; \{&ndash;1, \, +1\}$:
+:gelten für den ersten und letzten Summanden die gleichen Aussagen wie für das BSC&ndash;Modell &ndash; siehe Teilaufgabe (3).
 :$$\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} y_i^{\hspace{0.15cm}2} =
 \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i^{\hspace{0.15cm}2} \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} n_i^{\hspace{0.15cm}2}
 \hspace{0.1cm}+2 \cdot \sum_{i=1}^{L} \hspace{0.1cm} x_i \cdot n_i \hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Summand ergibt wieder $L$, der zweite ist proportional zur Rauschleistung und der letzte Term verschwindet, da $\underline{x}$ und $\underline{n}$ unkorreliert sind. Für die Minimerung von $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ muss also die Summe über $y_i^2$ nicht berücksichtigt werden, da kein Bezug zu den Codesequenzen $\underline{x}$ besteht.
+*Der erste Summand ergibt wieder $L$, der zweite ist proportional zur Rauschleistung und der letzte Term verschwindet, da $\underline{x}$ und $\underline{n}$ unkorreliert sind.
 {{ML-Fuß}}

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 <quiz display=simple>
 {Wie hängen $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})$ und $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ beim BSC&ndash;Modell zusammen?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$.
 - Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$.
 + Es gilt $d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y}) = d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})/4$.
-{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle $\underline{x} &#8712; C$.
+{Welche der Gleichungen beschreiben die ML&ndash;Decodierung beim BSC&ndash;Modell? Die Minimierung/Maximierung bezieht sich jeweils auf alle $\underline{x} &#8712;\mathcal{ C}$.
 |type="[]"}
 + $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
 + $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
-+ $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm H}^2(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
++ $\underline{z} = \arg \min {d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})}$,
 {Welche Gleichung beschreibt die ML&ndash;Entscheidung beim BSC&ndash;Modell?

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes| Decodierung von Faltungscodes]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf  die  Seite[[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken|Viterbi&ndash;Algorithmus &ndash; basierend auf Korrelation und Metriken]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf  die  Seite [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken|Viterbi&ndash;Algorithmus &ndash; basierend auf Korrelation und Metriken]].
 * Zur Vereinfachung wird auf Tilden und Apostroph verzichtet.
 * Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf folgenden Seiten dieses Buches:
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 ** [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal| ML&ndash;Entscheidung beim BSC&ndash;Kanal]],
 ** [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal| ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Kanal]],
-** [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen| Decodierung linearer Blockcodes &ndash; Seite 1]].
+** [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen| Decodierung linearer Blockcodes]].

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−	Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y} ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ vorgenommen wird. <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.	+	Der Faktor $1/4$ spielt für die Minimierung keine Rolle. Da $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y}) ≥ 0$ ist, ist es auch egal, ob die Minimierung hinsichtlich $d_{\rm E}(\underline{x}, \, \underline{y})$ oder $d_{\rm E}^2(\underline{x}, \, \underline{y})$ vorgenommen wird. <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.