Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: BSC–Kanalkapazität - Versionsgeschichte

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:47Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =  (p_0 + p_1) \cdot \left [ \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 *Mit&nbsp; $p_0 + p_1 = 1$&nbsp;  und der binären Entropiefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm bin}$&nbsp; erhält man das vorgeschlagene Ergebnis: &nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
-*Für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$.&nbsp; Der gleiche Wert steht für alle&nbsp; $p_0$&nbsp; in der vorgegebenen Tabelle.
+*Für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$.&nbsp; Der gleiche Wert steht für&nbsp; $p_0=0.50$&nbsp; in der vorgegebenen Tabelle.
 *Aus der Tabelle erkennt man auch, dass beim BSC–Modell (blaue Hinterlegung) wie auch beim allgemeineren (unsymmetrischen) BC–Modell (rote Hinterlegung) die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$&nbsp; von den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_0$&nbsp; und&nbsp; $p_1$&nbsp; abhängen. Daraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 nicht richtig sein kann.
 *Die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; ist unabhängig&nbsp; von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.

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 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = p_0 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} + p_0 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} +p_1 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + p_1 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =  (p_0 + p_1) \cdot \left [ \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit&nbsp; $p_0 + p_1 = 1$&nbsp;  und der binären Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm bin}$&nbsp; erhält man das vorgeschlagene Ergebnis: &nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
+*Mit&nbsp; $p_0 + p_1 = 1$&nbsp;  und der binären Entropiefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm bin}$&nbsp; erhält man das vorgeschlagene Ergebnis: &nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
 *Für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$.&nbsp; Der gleiche Wert steht für alle&nbsp; $p_0$&nbsp; in der vorgegebenen Tabelle.
 *Aus der Tabelle erkennt man auch, dass beim BSC–Modell (blaue Hinterlegung) wie auch beim allgemeineren (unsymmetrischen) BC–Modell (rote Hinterlegung) die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$&nbsp; von den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_0$&nbsp; und&nbsp; $p_1$&nbsp; abhängen. Daraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 nicht richtig sein kann.
-*Die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; istunabhängig&nbsp; von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.
+*Die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; ist unabhängig&nbsp; von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.
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 * für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; (bisher betrachtet): <br> &nbsp; &nbsp; $C = 0.531\ \rm  (bit)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Punkt mit grüner Füllung,
 * für&nbsp; $ε = 0.5$&nbsp; (vollkommen gestört): <br> &nbsp; &nbsp; $C = 0\ \rm  (bit)$   &nbsp; &rArr; &nbsp;  Punkt mit grauer Füllung.

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 [[Datei:P_ID2789__Inf_Z_3_9.png|right|frame|Entropien der Modelle „BC” und „BSC”]]
-Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; wurde von&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:
+Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; wurde von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:
 :$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X) = \big [p_0, \ p_1 \big]$&nbsp; ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise&nbsp; $p_0$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für eine&nbsp; $1$&nbsp; ist damit ebenfalls festgelegt: &nbsp;  $p_1 = 1 - p_0.$

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 [[Datei:P_ID2789__Inf_Z_3_9.png|right|frame|Entropien der Modelle „BC” und „BSC”]]
 Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; wurde von&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:
-:$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$
+:$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X) = \big [p_0, \ p_1 \big]$&nbsp; ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise&nbsp; $p_0$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für eine&nbsp; $1$&nbsp; ist damit ebenfalls festgelegt: &nbsp;  $p_1 = 1 - p_0.$

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 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = p_0 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} + p_0 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} +p_1 \cdot \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + p_1 \cdot (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =  (p_0 + p_1) \cdot \left [ \varepsilon \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\varepsilon} + (1 - \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \varepsilon} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $p_0 + p_1 = 1$  und der binären Entropiefunktion $H_{\rm bin}$ erhält man das vorgeschlagene Ergebnis: &nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
+*Mit&nbsp; $p_0 + p_1 = 1$&nbsp;  und der binären Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm bin}$&nbsp; erhält man das vorgeschlagene Ergebnis: &nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin}(\varepsilon)\hspace{0.05cm}.$
-*Für $ε = 0.1$ ergibt sich $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$. Der gleiche Wert steht für alle $p_0$ in der vorgegebenen Tabelle.
+*Für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $H(Y|X) = 0.4690 \ \rm bit$.&nbsp; Der gleiche Wert steht für alle&nbsp; $p_0$&nbsp; in der vorgegebenen Tabelle.
-*Aus der Tabelle erkennt man auch, dass beim BSC–Modell (blaue Hinterlegung) wie auch beim allgemeineren (unsymmetrischen) BC–Modell (rote Hinterlegung) die Äquivokation $H(X|Y)$ von den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ abhängen. Daraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 nicht richtig sein kann.
+*Aus der Tabelle erkennt man auch, dass beim BSC–Modell (blaue Hinterlegung) wie auch beim allgemeineren (unsymmetrischen) BC–Modell (rote Hinterlegung) die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$&nbsp; von den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_0$&nbsp; und&nbsp; $p_1$&nbsp; abhängen. Daraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 nicht richtig sein kann.
-*Die Irrelevanz $H(Y|X)$ istunabhängig von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.
+*Die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; istunabhängig&nbsp; von der Quellenstatistik, so dass auch der Lösungsvorschlag 3 ausgeschlossen werden kann.
 '''(2)'''&nbsp;  Zutreffend sind hier <u>alle vorgegebenen Lösungsalternativen</u>:
-*Die Kanalkapazität ist definiert als die maximale Transinformation, wobei die Maximierung hinsichtlich $P_X = (p_0, p_1)$ zu erfolgen hat:
+*Die Kanalkapazität ist definiert als die maximale Transinformation, wobei die Maximierung hinsichtlich&nbsp; $P_X = (p_0, p_1)$&nbsp; zu erfolgen hat:
 :$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
 *Die Gleichung gilt allgemein, also auch für den rot hinterlegten unsymmetrischen Binärkanal.
-*Die Transinformation kann zum Beispiel berechnet werden als $I(X;Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$, wobei entsprechend der Teilaufgabe '''(1)''' der Term $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$ unabhängig von $p_0$ bzw. $p_1 = 1- p_0$ ist.
+*Die Transinformation kann zum Beispiel berechnet werden als&nbsp; $I(X;Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$,&nbsp; wobei entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; der Term&nbsp; $H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $p_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_1 = 1- p_0$&nbsp; ist.
-*Die maximale Transinformation ergibt sich somit genau dann, wenn die Sinkenentropie $H(Y)$ maximal ist. Dies ist der Fall für $p_0 = p_1 = 0.5$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(X) = H(Y) =  1 \ \rm bit$.
+*Die maximale Transinformation ergibt sich somit genau dann, wenn die Sinkenentropie&nbsp; $H(Y)$&nbsp; maximal ist.&nbsp; Dies ist der Fall für&nbsp; $p_0 = p_1 = 0.5$:
-'''(3)'''&nbsp;  Entsprechend den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' erhält man für die BSC&ndash;Kanalkapazität:
+[[Datei:P_ID2790__Inf_Z_3_9_B.png|frame|Binäre Entropiefunktion und BSC–Kanalkapazität]]
 :$$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm}  I(X;Y)  \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt links die binäre Entropiefunktion und rechts die Kanalkapazität. Man erhält:
+Die Grafik zeigt links die binäre Entropiefunktion und rechts die Kanalkapazität.&nbsp; Man erhält:
-* für $ε = 0$ (fehlerfreier Kanal): &nbsp; $C = 1\ \rm  (bit)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Punkt mit gelber Füllung,
+* für&nbsp; $ε = 0.0$&nbsp; (fehlerfreier Kanal): <br> &nbsp; &nbsp; $C = 1\ \rm  (bit)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; Punkt mit gelber Füllung,
-* für $ε = 0.1$ (bisher betrachtet): &nbsp; $C = 0.531\ \rm  (bit)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Punkt mit grüner Füllung,
+* für&nbsp; $ε = 0.1$&nbsp; (bisher betrachtet): <br> &nbsp; &nbsp; $C = 0.531\ \rm  (bit)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Punkt mit grüner Füllung,
-* für $ε = 0.5$ (vollkommen gestört): &nbsp; $C = 0\ \rm  (bit)$   &nbsp; &rArr; &nbsp;  Punkt mit grauer Füllung.
+* für&nbsp; $ε = 0.5$&nbsp; (vollkommen gestört): <br> &nbsp; &nbsp; $C = 0\ \rm  (bit)$   &nbsp; &rArr; &nbsp;  Punkt mit grauer Füllung.
-'''(4)'''&nbsp;  Aus der Grafik erkennt man, dass aus informationstheoretischer Sicht $ε = 1$ identisch mit $ε = 0$ ist:
+'''(4)'''&nbsp;  Aus der Grafik erkennt man, dass aus informationstheoretischer Sicht&nbsp; $ε = 1$&nbsp; identisch mit&nbsp; $ε = 0$&nbsp; ist:
-:$$C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1} \hspace{0.05cm}= C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0} \hspace{0.15cm} \underline {=1\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}$$
+:$$C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1} \hspace{0.05cm}= C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0} \hspace{0.15cm} \underline {=1\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Der Kanal nimmt hier nur eine Umbenennung vor. Man spricht von &bdquo;Mapping&rdquo;.
+*Der Kanal nimmt hier nur eine Umbenennung vor.&nbsp; Man spricht von &bdquo;Mapping&rdquo;.
-* Aus jeder $0$ wird eine $1$ und aus jeder $1$ eine $0$. Entsprechend gilt:
+* Aus jeder&nbsp; $0$&nbsp; wird eine&nbsp; $1$&nbsp; und aus jeder&nbsp; $1$&nbsp; eine&nbsp; $0$.&nbsp; Entsprechend gilt:
 :$$C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.9} \hspace{0.05cm}= C_{\rm BSC} \big |_{\hspace{0.05cm}\varepsilon \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.1} \hspace{0.15cm} \underline {=0.531\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}$$

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 [[Datei:P_ID2789__Inf_Z_3_9.png|right|frame|Entropien der Modelle „BC” und „BSC”]]
-Die Kanalkapazität $C$ wurde von [https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon] als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:
+Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; wurde von&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon Claude E. Shannon]&nbsp; als die maximale Transinformation definiert, wobei sich die Maximierung allein auf die Quellenstatistik bezieht:
 :$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$
-Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X) = \big [p_0, \ p_1 \big]$ ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise $p_0$. Die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ ist damit ebenfalls festgelegt: &nbsp;  $p_1 = 1 - p_0.$
+Beim Binärkanal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X) = \big [p_0, \ p_1 \big]$&nbsp; ist nur ein Parameter optimierbar, beispielsweise&nbsp; $p_0$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für eine&nbsp; $1$&nbsp; ist damit ebenfalls festgelegt: &nbsp;  $p_1 = 1 - p_0.$
-Die obere Grafik (rot hinterlegt) fasst die Ergebnisse für den [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Kanalkapazit.C3.A4t_eines_Bin.C3.A4rkanals|unsymmetrischen Binärkanal]] mit $ε_0 = 0.01$ und $ε_1 = 0.2$ zusammen, der auch im Theorieteil betrachtet wurde.
+Die obere Grafik (rötlich hinterlegt) fasst die Ergebnisse für den&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Kanalkapazit.C3.A4t_eines_Bin.C3.A4rkanals|unsymmetrischen Binärkanal]]&nbsp; mit&nbsp; $ε_0 = 0.01$&nbsp; und&nbsp; $ε_1 = 0.2$&nbsp; zusammen, der auch im Theorieteil betrachtet wurde.
-Die Maximierung führt zum Ergebnis $p_0 = 0.55$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_1 = 0.45$,  und man erhält für die Kanalkapazität:
+Die Maximierung führt zum Ergebnis&nbsp; $p_0 = 0.55$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_1 = 0.45$,&nbsp;  und man erhält für die Kanalkapazität:
 :$$C_{\rm BC} = \hspace{-0.05cm} \max_{P_X(X)} \hspace{0.1cm} I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0.55} \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.5779\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
-In der unteren Grafik (blaue Hinterlegung) sind die gleichen informationstheoretischen Größen für den symmetrischen Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]  (BSC) mit den Verfälschungswahrscheinlichkeiten $ε_1 = ε_2 = ε = 0.1$ angegeben, der auch für die [[Aufgaben:3.10_Transinformation_beim_BSC| Aufgabe 3.10]] vorausgesetzt wurde.
+In der unteren Grafik (blaue Hinterlegung) sind die gleichen informationstheoretischen Größen für den symmetrischen Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp;  (BSC) mit den Verfälschungswahrscheinlichkeiten&nbsp; $ε_0 = ε_1 = ε = 0.1$&nbsp; angegeben, der auch für die&nbsp; [[Aufgaben:3.10_Transinformation_beim_BSC| Aufgabe 3.10]]&nbsp; vorausgesetzt wurde.
-In der vorliegenden Aufgabe sollen Sie für das BSC–Kanalmodell (zunächst für $ε = 0.1$)
+In der vorliegenden Aufgabe sollen Sie für das BSC–Kanalmodell&nbsp; $($zunächst für&nbsp; $ε = 0.1)$
-:* die Entropien $H(X)$, $H(Y)$, $H(X|Y)$, $H(Y|X)$ analysieren,
+:* die Entropien&nbsp; $H(X)$,&nbsp; $H(Y)$,&nbsp; $H(X|Y)$&nbsp; und&nbsp; $H(Y|X)$ analysieren,
 :* den Quellenparameter &nbsp;$p_0$&nbsp; hinsichtlich maximaler Transinformation &nbsp;$I(X; Y)$&nbsp; optimieren,
 :* somit die Kanalkapazität &nbsp;$C(ε)$&nbsp;  bestimmen, sowie
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 { Welche Aussagen gelten für die bedingten Entropien beim BSC–Modell?
 |type="[]"}
-- Die Äquivokation ergibt sich zu $H(X|Y) = H_{\rm bin}(ε)$.
+- Die Äquivokation ergibt sich zu&nbsp; $H(X|Y) = H_{\rm bin}(ε)$.
-+ Die Irrelevanz ergibt sich zu $H(Y|X) = H_{\rm bin}(ε)$.
++ Die Irrelevanz ergibt sich zu&nbsp; $H(Y|X) = H_{\rm bin}(ε)$.
-- Die Irrelevanz ergibt sich zu $H(Y|X) = H_{\rm bin}(p_0)$.
+- Die Irrelevanz ergibt sich zu&nbsp; $H(Y|X) = H_{\rm bin}(p_0)$.
-{Welche Aussagen gelten für die Kanalkapazität $C_{\rm BSC}$ des BSC–Modells?
+{Welche Aussagen gelten für die Kanalkapazität&nbsp; $C_{\rm BSC}$&nbsp; des BSC–Modells?
 |type="[]"}
 + Die Kanalkapazität ist gleich der maximalen Transinformation.
 + Die Maximierung führt beim BSC zum Ergebnis &nbsp;$p_0 = p_1 = 0.5$.
-+ Für $p_0 = p_1 = 0.5$ &nbsp;gilt&nbsp; $H(X) = H(Y) = 1 \ \rm bit$.
++ Für&nbsp; $p_0 = p_1 = 0.5$&nbsp; &nbsp;gilt&nbsp; $H(X) = H(Y) = 1 \ \rm bit$.
-{Welche Kanalkapazität $C_{\rm BSC}$ ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter $ε$?
+{Welche Kanalkapazität&nbsp; $C_{\rm BSC}$&nbsp; ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter&nbsp; $ε$?
 |type="{}"}
 $ε = 0.0\text{:} \hspace{0.5cm}  C_{\rm BSC} \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm bit$
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 $ε = 0.5\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ { 0. } $\ \rm bit$
-{Welche Kanalkapazität $C_{\rm BSC}$ ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter $ε$?
+{Welche Kanalkapazität&nbsp; $C_{\rm BSC}$&nbsp; ergibt sich abhängig vom BSC–Parameter&nbsp; $ε$?
 |type="{}"}
 $ε = 1.0\text{:} \hspace{0.5cm} C_{\rm BSC} \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm bit$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Kanalkapazit.C3.A4t_eines_Bin.C3.A4rkanals|Kanalkapazität eines Binärkanals]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.