Aufgaben:Aufgabe 3.10: Transinformation beim BSC - Versionsgeschichte

Guenter am 21. September 2021 um 14:36 Uhr

2021-09-21T14:36:16Z

Guenter am 3. Februar 2020 um 12:41 Uhr

2020-02-03T12:41:03Z

Guenter am 3. Februar 2020 um 12:29 Uhr

2020-02-03T12:29:33Z

Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:45 Uhr

2018-10-12T08:45:21Z

Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:42 Uhr

2018-10-12T08:42:51Z

Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:32 Uhr

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Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:30 Uhr

2018-10-12T08:30:19Z

Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:29 Uhr

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Guenter am 12. Oktober 2018 um 08:28 Uhr

2018-10-12T08:28:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:47Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 [[Datei:P_ID2787__Inf_A_3_9.png|right|frame|Betrachtetes BSC–Modell]]
-Wir betrachten den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; $\rm (BSC)$. Für die gesamte Aufgabe gelten die  Parameterwerte:
+Wir betrachten den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; $\rm (BSC)$.&nbsp; Für die gesamte Aufgabe gelten die  Parameterwerte:
 * Verfälschungswahrscheinlichkeit: &nbsp; $\varepsilon = 0.1$,
 * Wahrscheinlichkeit für $0$: &nbsp;  $p_0 = 0.2$,

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die gesuchten Größen gilt allgemein bzw. mit den Zahlenwerten $p_0 = 0.2$ und $ε = 0.1$:
+'''(1)'''&nbsp; Für die gesuchten Größen gilt allgemein bzw. mit den Zahlenwerten&nbsp; $p_0 = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 0.1$:
 :$$P_{XY}(0, 0) = p_0 \cdot (1 - \varepsilon)
   \hspace{0.15cm} \underline {=0.18} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 P_{XY}(1, 1) = p_1 \cdot (1 - \varepsilon)
   \hspace{0.15cm} \underline {=0.72} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Allgemein gilt:
-:$$P_Y(Y) = \big ( {\rm Pr}( Y = 0)\hspace{0.05cm}, {\rm Pr}( Y = 1) \big ) = \big ( p_0\hspace{0.05cm}, p_1 \big ) \cdot \begin{pmatrix} 1 - \varepsilon & \varepsilon\\ \varepsilon & 1 - \varepsilon \end{pmatrix}.$$
+:$$P_Y(Y) = \big [ {\rm Pr}( Y = 0)\hspace{0.05cm}, {\rm Pr}( Y = 1) \big ] = \big ( p_0\hspace{0.05cm}, p_1 \big ) \cdot \begin{pmatrix} 1 - \varepsilon & \varepsilon\\ \varepsilon & 1 - \varepsilon \end{pmatrix}.$$
 Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
 :$$ {\rm Pr}( Y = 0)= p_0 \cdot (1 - \varepsilon) + p_1 \cdot \varepsilon = 0.2 \cdot 0.9 + 0.8 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline {=0.26} \hspace{0.05cm},$$
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-'''(3)'''&nbsp; Für die Transinformation gilt gemäß der Definition mit $p_0 = 0.2$, $p_1 = 0.8$ und $ε = 0.1$:
 :$$I(X;Y) = {\rm E} \hspace{-0.08cm}\left [ \hspace{0.02cm}{\rm log}_2 \hspace{0.08cm} \frac{P_{XY}(X, Y)} {P_{X}(X) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} P_{Y}(Y) }\right ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow$$
 :$$I(X;Y)  = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.18}{0.2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.26} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.08cm} \frac{0.02}{0.2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.74}
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
 '''(4)'''&nbsp; Mit  der angegebenen Quellenentropie $H(X)$ erhält man für die Äquivokation:
 :$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = H(X) - I(X;Y) = 0.7219 - 0.3578 \hspace{0.15cm} \underline {=0.3642\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
-Man könnte auch die allgemeine Definition mit den Rückschlusswahrscheinlichkeiten $P_{X|Y}(⋅)$
+*Man könnte aber auch die allgemeine Definition mit den Rückschlusswahrscheinlichkeiten&nbsp; $P_{X|Y}(⋅)$&nbsp; anwenden:
 :$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)} \hspace{0.05cm}\right ] = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(Y)}{P_{XY} (X, Y)} \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.05cm}$$
-Im Beispiel erhält man auch nach dieser Berechnungsvorschrift das gleiche Ergebnis $H(X|Y) = 0.3642 \ \rm bit$:
+*Im Beispiel erhält man auch nach dieser Berechnungsvorschrift das gleiche Ergebnis&nbsp; $H(X|Y) = 0.3642 \ \rm bit$:
-:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.18} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.02} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.08} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.72} \hspace{0.05cm}$$
+:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.18} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.02} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.08} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.72} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2:</u>
-*Bei gestörter Übertragung $(ε > 0)$ ist die Unsicherheit hinsichtlich der Sinke stets größer als die Unsicherheit bezüglich der Quelle. Man erhält hier als Zahlenwert:
+*Bei gestörter Übertragung&nbsp; $(ε > 0)$&nbsp; ist die Unsicherheit hinsichtlich der Sinke stets größer als die Unsicherheit bezüglich der Quelle.&nbsp; Man erhält hier als Zahlenwert:
 :$$H(Y) = H_{\rm bin}(0.26)={ 0.8268\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei fehlerfreier Übertragung $(ε = 0)$ würde dagegen $P_Y(⋅) = P_X(⋅)$ und $H(Y) = H(X)$ gelten.
+*Bei fehlerfreier Übertragung&nbsp; $(ε = 0)$&nbsp; würde dagegen&nbsp; $P_Y(⋅) = P_X(⋅)$&nbsp; und&nbsp; $H(Y) = H(X)$&nbsp; gelten.
 '''(6)'''&nbsp; Auch hier ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u> richtig:
-*Wegen $I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)$ ist $H(Y|X)$ um den gleichen Betrag größer als $H(X|Y)$, um den auch $H(Y)$ größer ist als $H(X)$:
+*Wegen&nbsp; $I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)$&nbsp; ist&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; um den gleichen Betrag größer als&nbsp; $H(X|Y)$, um den&nbsp; $H(Y)$&nbsp; größer ist als&nbsp; $H(X)$:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) -I(X;Y) = 0.8268 - 0.3578 ={ 0.4690\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
-*Bei direkter Berechnung erhält man das gleiche Ergebnis $H(Y|X) = 0.4690\ \rm  bit$:
+*Bei direkter Berechnung erhält man das gleiche Ergebnis&nbsp; $H(Y|X) = 0.4690\ \rm  bit$:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.02cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)} \right ] = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2787__Inf_A_3_9.png|right|frame|Betrachtetes BSC–Modell]]
-Wir betrachten den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]] (BSC). Für die gesamte Aufgabe gelten die  Parameterwerte:
+Wir betrachten den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; $\rm (BSC)$. Für die gesamte Aufgabe gelten die  Parameterwerte:
-* Verfälschungswahrscheinlichkeit: &nbsp; $\varepsilon = 0.1$
+* Verfälschungswahrscheinlichkeit: &nbsp; $\varepsilon = 0.1$,
 * Wahrscheinlichkeit für $0$: &nbsp;  $p_0 = 0.2$,
 * Wahrscheinlichkeit für $1$: &nbsp;  $p_1 = 0.8$.
-Damit lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Quelle: &nbsp; $P_X(X)= (0.2 , \ 0.8)$ und für die Quellenentropie gilt:
+Damit lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Quelle: &nbsp; $P_X(X)= (0.2 , \ 0.8)$&nbsp; und für die Quellenentropie gilt:
 :$$H(X) = p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_0} + p_1\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_1} = H_{\rm bin}(0.2)={ 0.7219\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
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 *die Irrelevanz:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =  {\rm E} \hspace{0.02cm} \big [ \hspace{0.02cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Transinformationsberechnung_f.C3.BCr_den_Bin.C3.A4rkanal|Transinformationsberechnung für den Binärkanal]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Transinformationsberechnung_f.C3.BCr_den_Bin.C3.A4rkanal|Transinformationsberechnung für den Binärkanal]].
-*In der [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_BSC–Kanalkapazität|Aufgabe 3.10Z]] wird die  Kanalkapazität $C_{\rm BSC }$ des BSC–Modells berechnet.
+*In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_BSC–Kanalkapazität|Aufgabe 3.10Z]]&nbsp; wird die  Kanalkapazität&nbsp; $C_{\rm BSC }$&nbsp; des BSC–Modells berechnet.
-*Diese ergibt sich als die maximale Transinformation $I(X; Y)$ durch Maximierung bezüglich der Wahrscheinlichkeiten $p_0$ bzw. $p_1 = 1 - p_0$.
+*Diese ergibt sich als die maximale Transinformation&nbsp; $I(X;\ Y)$&nbsp; durch Maximierung bezüglich der Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_1 = 1 - p_0$.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Verbundwahrscheinlichkeiten $P_{ XY }(X, Y)$
+{Berechnen Sie die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $P_{ XY }(X, Y)$
 |type="{}"}
 $P_{ XY }(0, 0) \ = \ $ { 0.18 3% }
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 $P_{ XY }(1, 1) \ = \ $ { 0.72 3% }
-{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$ der Sinke?
+{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_Y(Y)$&nbsp; der Sinke?
 |type="{}"}
 $P_Y(0)\ = \ $ { 0.26 3% }
 $P_Y(1) \ = \ $ { 0.74 3% }
-{Welcher Wert ergibt sich für die Transinformation $I(X; Y)$?
+{Welcher Wert ergibt sich für die Transinformation&nbsp; $I(X;\
 |type="{}"}
 $I(X; Y)\ = \ $ { 0.3578 3% } $\ \rm bit$
-{Welcher Wert ergibt sich für die Äquivokation $H(X|Y)$?
+{Welcher Wert ergibt sich für die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$?
 |type="{}"}
 $H(X|Y) \ = \ $ {  0.3642 3% } $\ \rm bit$
-{Welche Aussage trifft für die Sinkenentropie $H(Y)$ zu?
+{Welche Aussage trifft für die Sinkenentropie&nbsp; $H(Y)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- $H(Y)$ ist nie größer als $H(X)$.
+- $H(Y)$&nbsp; ist nie größer als&nbsp; $H(X)$.
-+ $H(Y)$ ist nie kleiner als $H(X)$.
++ $H(Y)$&nbsp; ist nie kleiner als&nbsp; $H(X)$.
-{Welche Aussage trifft für die Irrelevanz $H(Y|X)$ zu?
+{Welche Aussage trifft für die Irrelevanz&nbsp; $H(Y|X)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- $H(Y|X)$ ist nie größer als die Äquivokation $H(X|Y)$.
+- $H(Y|X)$&nbsp; ist nie größer als die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$.
-+ $H(Y|X)$ ist nie kleiner als die Äquivokation $H(X|Y)$.
++ $H(Y|X)$&nbsp; ist nie kleiner als die Äquivokation&nbsp; $H(X|Y)$.

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 Man könnte auch die allgemeine Definition mit den Rückschlusswahrscheinlichkeiten $P_{X|Y}(⋅)$
 anwenden:
-:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \big [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)} \hspace{0.05cm}\big ] = {\rm E} \hspace{0.02cm} \big [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(Y)}{P_{XY} (X, Y)} \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
+:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)} \hspace{0.05cm}\right ] = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.05cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(Y)}{P_{XY} (X, Y)} \hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.05cm}$$
 Im Beispiel erhält man auch nach dieser Berechnungsvorschrift das gleiche Ergebnis $H(X|Y) = 0.3642 \ \rm bit$:
-:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.18} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.02} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.08} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.72} \hspace{0.05cm}$$
+:$$H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.18} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.02} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.26}{0.08} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.74}{0.72} \hspace{0.05cm}$$
@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) -I(X;Y) = 0.8268 - 0.3578 ={ 0.4690\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$
 *Bei direkter Berechnung erhält man das gleiche Ergebnis $H(Y|X) = 0.4690\ \rm  bit$:
-:$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \big [ \hspace{0.02cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)} \big ] = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = {\rm E} \hspace{0.02cm} \left [ \hspace{0.02cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)} \right ] = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.1} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.9} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
 P_{XY}(1, 1) = p_1 \cdot (1 - \varepsilon)
   \hspace{0.15cm} \underline {=0.72} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Allgemein gilt:
@@ Zeile 95: / Zeile 96: @@
 :$$ {\rm Pr}( Y = 0)= p_0 \cdot (1 - \varepsilon) + p_1 \cdot \varepsilon = 0.2 \cdot 0.9 + 0.8 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline {=0.26} \hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Pr}( Y = 1)= p_0 \cdot \varepsilon + p_1 \cdot (1 - \varepsilon) = 0.2 \cdot 0.1 + 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm} \underline {=0.74} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Für die Transinformation gilt gemäß der Definition mit $p_0 = 0.2$, $p_1 = 0.8$ und $ε = 0.1$:
@@ Zeile 100: / Zeile 102: @@
 :$$I(X;Y)  = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.18}{0.2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.26} + 0.02 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.08cm} \frac{0.02}{0.2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.74}
 + 0.08 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.08cm} \frac{0.08}{0.8 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.26} + 0.72 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.08cm} \frac{0.72}{0.8 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 0.74} \hspace{0.15cm} \underline {=0.3578\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit  der angegebenen Quellenentropie $H(X)$ erhält man für die Äquivokation:
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2.</u>
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2:</u>
 *Bei gestörter Übertragung $(ε > 0)$ ist die Unsicherheit hinsichtlich der Sinke stets größer als die Unsicherheit bezüglich der Quelle. Man erhält hier als Zahlenwert:
 :$$H(Y) = H_{\rm bin}(0.26)={ 0.8268\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 117: / Zeile 120: @@
-'''(6)'''&nbsp; Auch hier ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u> richtig.
 *Wegen $I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)$ ist $H(Y|X)$ um den gleichen Betrag größer als $H(X|Y)$, um den auch $H(Y)$ größer ist als $H(X)$:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) -I(X;Y) = 0.8268 - 0.3578 ={ 0.4690\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Transinformationsberechnung_f.C3.BCr_den_Bin.C3.A4rkanal|Transinformationsberechnung für den Binärkanal]].
-*In der [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_BSC–Kanalkapazität|Aufgabe 3.10Z] wird die  Kanalkapazität] $C_{\rm BSC }$ des BSC–Modells berechnet.
+*In der [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_BSC–Kanalkapazität|Aufgabe 3.10Z] wird die  Kanalkapazität]] $C_{\rm BSC }$ des BSC–Modells berechnet.
-*Diese ergibt sich als die maximale Transinformation $I(X; Y)$ durch Maximierung bezüglich der Wahrscheinlichkeiten $p_0$ bzw. $p_1 = 1 – p_0$.
+*Diese ergibt sich als die maximale Transinformation $I(X; Y)$ durch Maximierung bezüglich der Wahrscheinlichkeiten $p_0$ bzw. $p_1 = 1 - p_0$.

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2787__Inf_A_3_9.png|right|Betrachtetes BSC–Modell]]
+[[Datei:P_ID2787__Inf_A_3_9.png|right|frame|Betrachtetes BSC–Modell]]
 Wir betrachten den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]] (BSC). Für die gesamte Aufgabe gelten die  Parameterwerte:
-* Verfälschungswahrscheinlichkeit: $\epsilon = 0.1$
+* Verfälschungswahrscheinlichkeit: &nbsp; $\varepsilon = 0.1$
-* Wahrscheinlichkeit für $0$:   $p_0 = 0.2$,
+* Wahrscheinlichkeit für $0$: &nbsp;  $p_0 = 0.2$,
-* Wahrscheinlichkeit für $1$:   $p_1 = 0.8$.
+* Wahrscheinlichkeit für $1$: &nbsp;  $p_1 = 0.8$.
 Damit lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Quelle: $P_X(X)= (0.2 , 0.8)$ und für die Quellenentropie gilt:
 :$$H(X) = p_0 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_0} + p_1\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_1} = H_{\rm bin}(0.2)={ 0.7219\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
 In der Aufgabe sollen ermittelt werden:
 * die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Sinke:
-:$$P_Y(Y) = (\hspace{0.05cm}P_Y(0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} P_Y(1)\hspace{0.05cm})
+:$$P_Y(Y) = (\hspace{0.05cm}P_Y(0)\hspace{0.05cm}, \ \hspace{0.05cm} P_Y(1)\hspace{0.05cm})
 \hspace{0.05cm},$$
 * die Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion:
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 *die Irrelevanz:
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) =  {\rm E} \hspace{0.02cm} \big [ \hspace{0.02cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}Y \mid \hspace{0.03cm} X} (Y \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X)} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 32: / Zeile 35: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung|Anwendung auf die Digitalsignalübertragung]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite    [[Informationstheorie/Anwendung_auf_die_Digitalsignalübertragung#Transinformationsberechnung_f.C3.BCr_den_Bin.C3.A4rkanal|Transinformationsberechnung für den Binärkanal]].
-*In der [[Aufgaben:3.10Z_BSC–Kanalkapazität|Zusatzaufgabe 3.9Z] wird die  Kanalkapazität] $C_{\rm BSC }$ des BSC–Modells berechnet.
+*In der [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_BSC–Kanalkapazität|Aufgabe 3.10Z] wird die  Kanalkapazität] $C_{\rm BSC }$ des BSC–Modells berechnet.
 *Diese ergibt sich als die maximale Transinformation $I(X; Y)$ durch Maximierung bezüglich der Wahrscheinlichkeiten $p_0$ bzw. $p_1 = 1 – p_0$.