Aufgaben:Aufgabe 3.10: Rayleighfading - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Februar 2022 um 10:17 Uhr

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Guenter am 3. Februar 2022 um 10:10 Uhr

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Guenter am 3. Februar 2022 um 10:06 Uhr

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Guenter am 25. November 2019 um 12:59 Uhr

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Guenter am 25. November 2019 um 12:54 Uhr

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Guenter am 25. November 2019 um 12:52 Uhr

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2018-08-10T16:00:35Z

Guenter am 10. August 2018 um 15:49 Uhr

2018-08-10T15:49:25Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 }}
-[[Datei:P_ID177__Sto_A_3_10.png|right|frame|Zur Rayleigh-WDF]]
+[[Datei:P_ID177__Sto_A_3_10.png|right|frame|Rayleighverteilten Zufallsgröße: Realteil, Imaginärteil, Betrag]]
 H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten&nbsp; "&auml;quivalenten Tiefpassbereich".&nbsp; Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]&nbsp; zu einem komplexen Signal:
 :$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
 *Die erste Aussage trifft aufgrund der Exponentialverteilung für&nbsp; $p(t)$&nbsp; zu.
-* Ein Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = \pm \pi/2 \ (\pm 90^\circ)$&nbsp; bedeutet, dass der Realteil&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; ist.
+* Ein Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = \pm \pi/2 \ (\pm 90^\circ)$&nbsp; bedeutet,&nbsp; dass der Realteil&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; ist.
-* Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$&nbsp; ist der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = +90^\circ$, bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = -90^\circ$.
+* Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$&nbsp; ist der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = +90^\circ$,&nbsp; bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = -90^\circ$.
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-'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $p(t) =a^2(t)$&nbsp; gilt und zudem &nbsp;$a(t) < 0$&nbsp; nicht möglich ist, ist das Ereignis &nbsp;$a(t) > 2$&nbsp; identisch mit dem Ereignis &nbsp;$p(t) > 4$:
+'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $p(t) =a^2(t)$&nbsp; gilt und zudem &nbsp;$a(t) < 0$&nbsp; nicht möglich ist,&nbsp; ist das Ereignis &nbsp;$a(t) > 2$&nbsp; identisch mit dem Ereignis &nbsp;$p(t) > 4$:
 *Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a(t) > 2)  \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}$&nbsp; wie unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.

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 [[Datei:P_ID177__Sto_A_3_10.png|right|frame|Zur Rayleigh-WDF]]
-H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten <i>&auml;quivalenten Tiefpassbereich</i>.&nbsp; Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]&nbsp; zu einem komplexen Signal:
+H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten&nbsp; "&auml;quivalenten Tiefpassbereich".&nbsp; Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]&nbsp; zu einem komplexen Signal:
 :$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$
-Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; kennzeichnet hierbei die&nbsp; <i>Inphasekomponente</i>&nbsp; und der Imagin&auml;rteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; die&nbsp; <i>Quadraturkomponente</i>.
+Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; kennzeichnet hierbei die&nbsp; "Inphasekomponente"&nbsp; und der Imagin&auml;rteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; die&nbsp; "Quadraturkomponente".
-Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger.&nbsp;
+Bei einem Mobilfunksystem,&nbsp; bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht,&nbsp; gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen&nbsp; (Brechung,&nbsp; Streuung,&nbsp; Reflexion usw.)&nbsp; zum Empf&auml;nger.&nbsp;
 In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
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 :$$ z(t)= a(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j}  \phi(t)}.$$
 *Aufgrund der Symmetrie bez&uuml;glich&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; gleichverteilt.
-*Dagegen ist der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; rayleighverteilt, was zu der Namensgebung &bdquo;Rayleighfading&rdquo; gef&uuml;hrt hat.
+*Dagegen ist der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; rayleighverteilt,&nbsp; was zu der Namensgebung &bdquo;Rayleighfading&rdquo; gef&uuml;hrt hat.
 *Als weitere Gr&ouml;&szlig;e definieren wir noch die Momentanleistung
 :$$ p(t)=x^{\rm 2}(t)+y^{\rm 2}( t)=a^{\rm 2}(t).$$
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 :$$f_p(p)=\frac{1}{2\sigma^{\rm 2}}\cdot {\rm e}^{ -p/(\sigma^{\rm 2})}.$$
-F&uuml;r alle negativen $p$&ndash;Werte gilt natürlich&nbsp; $f_p(p)= 0$, da&nbsp; $p$&nbsp; eine Leistung kennzeichnet.
+F&uuml;r alle negativen $p$&ndash;Werte gilt natürlich&nbsp; $f_p(p)= 0$,&nbsp; da&nbsp; $p$&nbsp; eine Leistung kennzeichnet.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]].
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-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $2$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $2$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a(t) > 2) \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Die erste Aussage trifft aufgrund der Exponentialverteilung für $p(t)$ zu.
+*Die erste Aussage trifft aufgrund der Exponentialverteilung für&nbsp; $p(t)$&nbsp; zu.
-* Ein Phasenwinkel $\phi(t) = \pm \pi/2 (\pm 90^\circ)$ bedeutet, dass der Realteil $x(t) = 0$ ist.
+* Ein Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = \pm \pi/2 \ (\pm 90^\circ)$&nbsp; bedeutet, dass der Realteil&nbsp; $x(t) = 0$&nbsp; ist.
-* Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$ ist der Phasenwinkel $\phi(t) = +90^\circ$, bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel $\phi(t) = -90^\circ$.
+* Bei positivem Imagin&auml;rteil &nbsp;&#8658;&nbsp; $y(t) > 0$&nbsp; ist der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = +90^\circ$, bei negativem Imagin&auml;rteil betr&auml;gt der Phasenwinkel&nbsp; $\phi(t) = -90^\circ$.
 '''(2)'''&nbsp; Mit $\sigma = 1$ gilt f&uuml;r die WDF der Momentanleistung:
 :$$f_p(p)= {\rm 1}/{\rm 2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}.$$
-Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
+*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist demnach:
-:$${\rm Pr}(p(t) > 4) = \int_{\rm 4}^{\infty}{1}/{2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}\,{\rm d} p={\rm e}^{\rm -2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{=0.135}.$$
+:$${\rm Pr}(p(t) > 4) = \int_{\rm 4}^{\infty}{1}/{2}\cdot{\rm e}^{-p/\rm 2}\,{\rm d} p={\rm e}^{\rm -2} \rm \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Da $p(t) =a^2(t)$ gilt und zudem &nbsp;$a(t) < 0$&nbsp; nicht möglich ist, ist das Ereignis &nbsp;$a(t) > 2$&nbsp; identisch mit dem Ereignis &nbsp;$p(t) > 4$.
+'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $p(t) =a^2(t)$&nbsp; gilt und zudem &nbsp;$a(t) < 0$&nbsp; nicht möglich ist, ist das Ereignis &nbsp;$a(t) > 2$&nbsp; identisch mit dem Ereignis &nbsp;$p(t) > 4$:
-Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a(t) > 2)  \hspace{0.15cm}\underline{=0.135}$ wie unter '''(2)''' berechnet.
+*Es ergibt sich die gleiche Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a(t) > 2)  \hspace{0.15cm}\underline{=13.5\%}$&nbsp; wie unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnet.
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 :$$f_a(a)=\frac{f_p(p)}{|g'(p)|}\Bigg |_{\, p=h(a)}.$$
-Die Transformationskennlinie lautet:
+*Die Transformationskennlinie lautet:
 :$$g\hspace{0.05cm}'(p)=\frac{ {\rm d} a}{  {\rm d} p}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{p}}.$$
-Diese ist stets positiv. Daraus folgt für die Rayleigh&ndash;WDF:
+*Diese ist stets positiv.&nbsp; Daraus folgt für die Rayleigh&ndash;WDF:
 :$$f_a(a)=\sqrt {p}\cdot {\rm e}^{ -p/\rm 2}\Big|_{ p=a^{\rm 2}}= a\cdot {\rm e}^{\, -a^{\rm 2}/\rm 2}.$$
-F&uuml;r $a = 1$ ergibt sich somit der Wert $f_a(a = 1)= {\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=0.607} $.
+*F&uuml;r&nbsp; $a = 1$&nbsp; ergibt sich somit der Wert&nbsp; $f_a(a = 1)= {\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=0.607} $.
 {{ML-Fuß}}

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 {Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die (normierte) Momentanleistung&nbsp; $p(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $4$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(p(t) > 4) \ = \ $ { 0.135 3% }
+${\rm Pr}(p(t) > 4) \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$
 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $2$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(a(t) > 2) \ = \ $ { 0.135 3% }
+${\rm Pr}(a(t) > 2) \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$

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 Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; kennzeichnet hierbei die&nbsp; <i>Inphasekomponente</i>&nbsp; und der Imagin&auml;rteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; die&nbsp; <i>Quadraturkomponente</i>.
-Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger.&nbsp; In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
+Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger.&nbsp;
 *Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; und auch der&nbsp; Imagin&auml;rteil $y(t)$&nbsp; sind jeweils gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei.
 *$x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; besitzen jeweils die gleiche Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; und sind voneinander unabh&auml;ngig.
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 |type="[]"}
 + Kleine Momentanleistungen sind wahrscheinlicher als gro&szlig;e.
-- Die Phase $\phi(t) = \pi/2$ bedeutet auch &bdquo;Imagin&auml;rteil $y(t) = 0$&rdquo;.
+- Die Phase&nbsp; $\phi(t) = \pi/2$&nbsp; bedeutet auch &bdquo;Imagin&auml;rteil $y(t) = 0$&rdquo;.
-+ Die Phase $\phi(t) = -\pi/2$ bedeutet auch &bdquo;Realteil $x(t) = 0$&rdquo;.
++ Die Phase&nbsp; $\phi(t) = -\pi/2$&nbsp; bedeutet auch &bdquo;Realteil $x(t) = 0$&rdquo;.
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die (normierte) Momentanleistung $p(t)$ größer als $4$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die (normierte) Momentanleistung&nbsp; $p(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $4$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(p(t) > 4) \ = \ $ { 0.135 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag $a(t)$ größer als $2$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag&nbsp; $a(t)$&nbsp; größer als&nbsp; $2$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a(t) > 2) \ = \ $ { 0.135 3% }
-{Berechnen Sie ausgehend von $f_p(p)$ die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $a$. Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r $a=1$?
+{Berechnen Sie ausgehend von&nbsp; $f_p(p)$&nbsp; die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $a$.&nbsp; Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $a=1$?
 |type="{}"}
 $f_a(a = 1)\ = \ $ { 0.607 3% }

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 [[Datei:P_ID177__Sto_A_3_10.png|right|frame|Zur Rayleigh-WDF]]
-H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten <i>&auml;quivalenten Tiefpassbereich</i>. Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch [[Signaldarstellung]] zu einem komplexen Signal:
+H&auml;ufig beschreibt man ein Bandpass&uuml;bertragungssystem im sogenannten <i>&auml;quivalenten Tiefpassbereich</i>.&nbsp; Diese Darstellung f&uuml;hrt entsprechend dem Kapitel &bdquo;Bandpassartige Signale&rdquo; im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]&nbsp; zu einem komplexen Signal:
 :$$z(t)=x(t)+ {\rm j} \cdot y(t).$$
-Der Realteil $x(t)$ kennzeichnet hierbei die <i>Inphasekomponente</i> und der Imagin&auml;rteil $y(t)$ die <i>Quadraturkomponente</i>.
+Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; kennzeichnet hierbei die&nbsp; <i>Inphasekomponente</i>&nbsp; und der Imagin&auml;rteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; die&nbsp; <i>Quadraturkomponente</i>.
-Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger. In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
+Bei einem Mobilfunksystem, bei dem zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht, gelangt somit das Funksignal ausschlie&szlig;lich auf indirekten Wegen (Brechung, Streuung, Reflexion usw.) zum Empf&auml;nger.&nbsp; In diesem Fall ist folgendes Modell anwendbar:
-*Der Realteil $x(t)$ und auch der Imagin&auml;rteil $y(t)$ sind jeweils gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei.
+*Der Realteil&nbsp; $x(t)$&nbsp; und auch der&nbsp; Imagin&auml;rteil $y(t)$&nbsp; sind jeweils gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei.
-*$x(t)$ und $y(t)$ besitzen jeweils die gleiche Streuung $\sigma$ und sind voneinander unabh&auml;ngig.
+*$x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; besitzen jeweils die gleiche Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; und sind voneinander unabh&auml;ngig.
-*Innere Bindungen der Signale $x(t)$ und $y(t)$ aufgrund des Dopplereffekts sollen hier nicht beachtet werden.
+*Innere Bindungen der Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; aufgrund des Dopplereffekts sollen hier nicht beachtet werden.
-Das komplexe Signal $z(t)$ kann man auch nach Betrag und Phase darstellen:
+Das komplexe Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; kann man auch nach Betrag und Phase darstellen:
 :$$ z(t)= a(t)\cdot {\rm e}^{{\rm j}  \phi(t)}.$$
-*Aufgrund der Symmetrie bez&uuml;glich $x(t)$ und $y(t)$ ist die Phase $\phi(t)$ gleichverteilt.
+*Aufgrund der Symmetrie bez&uuml;glich&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist die Phase&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; gleichverteilt.
-*Dagegen ist der Betrag $a(t) = |z(t)|$ rayleighverteilt, was zu der Namensgebung <i>Rayleighfading</i> gef&uuml;hrt hat.
+*Dagegen ist der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; rayleighverteilt, was zu der Namensgebung &bdquo;Rayleighfading&rdquo; gef&uuml;hrt hat.
 *Als weitere Gr&ouml;&szlig;e definieren wir noch die Momentanleistung
 :$$ p(t)=x^{\rm 2}(t)+y^{\rm 2}( t)=a^{\rm 2}(t).$$
-Die Zufallsgröße $p$ ist hier [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|(einseitig) exponentialverteilt]]. Deren WDF lautet f&uuml;r $p>0$:
+Die Zufallsgröße&nbsp; $p$&nbsp; ist hier&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|(einseitig) exponentialverteilt]].&nbsp; Deren WDF lautet f&uuml;r&nbsp; $p>0$:
 :$$f_p(p)=\frac{1}{2\sigma^{\rm 2}}\cdot {\rm e}^{ -p/(\sigma^{\rm 2})}.$$
-F&uuml;r alle negativen $p$&ndash;Werte gilt natürlich $f_p(p)= 0$, da $p$ eine Leistung kennzeichnet.
+F&uuml;r alle negativen $p$&ndash;Werte gilt natürlich&nbsp; $f_p(p)= 0$, da&nbsp; $p$&nbsp; eine Leistung kennzeichnet.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
-*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]].
+*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]].
-*Die Streuungen der beiden Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ &nbsp;seien jeweils $\sigma = 1$.
+*Die Streuungen der beiden Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$ &nbsp;seien jeweils&nbsp; $\sigma = 1$.
 *Alle Gr&ouml;&szlig;en sind deshalb als normiert zu verstehen.

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 *Die Streuungen der beiden Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$ Seien jeweils $\sigma = 1$.
 *Alle Gr&ouml;&szlig;en sind deshalb als normiert zu verstehen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.