Aufgaben:Aufgabe 3.10: Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Juli 2022 um 12:44 Uhr

2022-07-01T12:44:17Z

Guenter am 1. Juli 2022 um 12:34 Uhr

2022-07-01T12:34:03Z

Guenter am 7. März 2019 um 10:45 Uhr

2019-03-07T10:45:46Z

Guenter am 7. März 2019 um 10:37 Uhr

2019-03-07T10:37:49Z

Guenter am 7. März 2019 um 10:37 Uhr

2019-03-07T10:37:08Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:46Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:30:28Z

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Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.Zehn Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood nach Aufgaben:3.10 Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood

2017-11-15T17:13:03Z

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Guenter am 3. November 2017 um 12:27 Uhr

2017-11-03T12:27:21Z

Guenter am 3. November 2017 um 11:54 Uhr

2017-11-03T11:54:34Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
+'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten.&nbsp; Grün hervorgehoben ist der Verlauf&nbsp; $i_0(t)/E_{\rm B}$&nbsp; mit dem Endergebnis&nbsp; $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$,&nbsp; der zunächst linear bis&nbsp; $+1$&nbsp; ansteigt &ndash; weil das jeweils erste Bit von&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; und $s_3(t)$ übereinstimmen &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
 [[Datei:P_ID1466__Dig_A_3_10.png|right|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers]]
 Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
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 :$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
+*Bei Vorhandensein von&nbsp; (Rausch&ndash;) Störungen nehmen die Funktionen&nbsp; $i_i(t)$&nbsp; nicht mehr linear zu bzw. ab,&nbsp; sondern haben einen Verlauf wie in der rechten Grafik dargestellt.
-*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der (roten) Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
-*Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.
+*Solange&nbsp; $I_3 > I_{\it i&ne;3}$&nbsp; ist,&nbsp; entscheidet der Korrelationsempfänger richtig.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die&nbsp; <u>zweite Aussage</u>&nbsp; zutreffend:
-*Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
+*Da nun die möglichen Sendesignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können,&nbsp; besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
 *Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
-*Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.
+*Da die Energien&nbsp; $E_i$&nbsp; unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der&nbsp; (roten)&nbsp; Signale&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen&nbsp; $W_i$&nbsp; herangezogen werden.
 *Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs.
-*Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ \text{...} \ 3T$ weiter verringert.
+*Die Verwendung der reinen Korrelationswerte&nbsp; $I_i$&nbsp; kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
-Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
+Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|"Aufgabe 3.9"]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole&nbsp; ("Bits")&nbsp; mittels des Korrelationsempfängers.
 *Die möglichen Sendesignale &nbsp;$s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$&nbsp; seien bipolar.
 *In der Grafik sind die Funktionen &nbsp;$s_0(t)$, &nbsp;$s_1(t)$, &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; dargestellt.
 *Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse.
-Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von &nbsp;$0$&nbsp; bis &nbsp;$3T$&nbsp; die Funktionen
+Darunter gezeichnet ist das so genannte&nbsp; "Baumdiagramm"&nbsp; für diese Konstellation unter der Voraussetzung,&nbsp; dass das Signal &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; gesendet wurde.&nbsp; Dargestellt sind hier im Bereich von &nbsp;$0$&nbsp; bis &nbsp;$3T$&nbsp; die Funktionen
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \  , 7)\hspace{0.05cm}.$$
 *Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte &nbsp;$I_i = i_i(3T)$&nbsp; miteinander und sucht den größtmöglichen Wert &nbsp;$I_j$.
 *Das zugehörige Signal &nbsp;$s_j(t)$&nbsp; ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
-Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen &nbsp;$W_i = I_i \ - E_i/2$&nbsp; trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale &nbsp;$(i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7)$&nbsp; die genau gleiche Energie
+Anzumerken ist,&nbsp; dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen &nbsp;$W_i = I_i \ - E_i/2$&nbsp; trifft.&nbsp; Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale &nbsp;$(i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7)$&nbsp; die genau gleiche Energie
 :$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
-aufweisen, liefern die Integrale &nbsp;$I_i$&nbsp; genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen &nbsp;$W_i$.
+aufweisen,&nbsp; liefern die Integrale &nbsp;$I_i$&nbsp; genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen &nbsp;$W_i$.
 Die roten Signalverläufe &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm G}(t)$&nbsp; eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
 *Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
 *Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu  Impulsinterferenzen.
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+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|"Optimale Empfängerstrategien"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
+{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; für Rechtecksignale&nbsp; (ohne Rauschen)&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $I_0/E_{\rm B} \ = \ $  { -1.03--0.97 }
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 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Ist &nbsp;$I_3$&nbsp; der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
++ Ist &nbsp;$I_3$&nbsp; der maximale&nbsp; $I_i$&ndash;Wert,&nbsp; so entscheidet der Empfänger richtig.
 - Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen &nbsp;$I_0 = I_6$.
-{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
+{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe&nbsp; (mit Impulsinterferenzen)?
 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
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 {Wie sollte der Intergrationsbereich &nbsp;$(t_1 \ \text{...} \ t_2)$&nbsp; gewählt werden?
 |type="[]"}
-+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
++ Ohne Impulsinterferenzen&nbsp; (blau)&nbsp; sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
-- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
+- Mit Impulsinterferenzen&nbsp; (rot)&nbsp; sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
 </quiz>

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 '''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend:
 *Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
-*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
+*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der (roten) Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
 *Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
-Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
+*Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
 *Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
 *Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.

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 [[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
-Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
+Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
 *Die möglichen Sendesignale &nbsp;$s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$&nbsp; seien bipolar.
 *In der Grafik sind die Funktionen &nbsp;$s_0(t)$, &nbsp;$s_1(t)$, &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; dargestellt.

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 [[Datei:P_ID1465__Dig_A_3_10_95.png|right|frame|Signale und Baumdiagramm]]
-Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse.
+Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe 3.9]]&nbsp; betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.
 Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \  , 7)\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$.
+*Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte &nbsp;$I_i = i_i(3T)$&nbsp; miteinander und sucht den größtmöglichen Wert &nbsp;$I_j$.
-*Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
+*Das zugehörige Signal &nbsp;$s_j(t)$&nbsp; ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
-Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ &ndash; E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7$) die genau gleiche Energie
+Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen &nbsp;$W_i = I_i \ - E_i/2$&nbsp; trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale &nbsp;$(i = 0,  \ \text{...} \  , \ 7)$&nbsp; die genau gleiche Energie
 :$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
-aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.
+aufweisen, liefern die Integrale &nbsp;$I_i$&nbsp; genau die gleichen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Informationen wie die korrigierten Größen &nbsp;$W_i$.
-Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
+Die roten Signalverläufe &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm G}(t)$&nbsp; eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
 *Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
 *Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu  Impulsinterferenzen.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].
@@ Zeile 31: / Zeile 39: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
+{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
 |type="{}"}
 $I_0/E_{\rm B} \ = \ $  { -1.03--0.97 }
@@ Zeile 41: / Zeile 49: @@
 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Ist $I_3$ der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
++ Ist &nbsp;$I_3$&nbsp; der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
-- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.
+- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen &nbsp;$I_0 = I_6$.
 {Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
 |type="[]"}
 - Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
-+ Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ \text{...} \ ,  7$) sind unterschiedlich.
++ Die Signalenergien &nbsp;$E_i(i = 0, \ \text{...} \ ,  7$)&nbsp; sind unterschiedlich.
-- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.
+- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen &nbsp;$I_i$&nbsp; als auch &nbsp;$W_i$&nbsp; geeignet.
-{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1 \ \text{...} \ t_2$) gewählt werden?
+{Wie sollte der Intergrationsbereich &nbsp;$(t_1 \ \text{...} \ t_2)$&nbsp; gewählt werden?
 |type="[]"}
-+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
++ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
-- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
+- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
 </quiz>