Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.1:_Cosine-square_PDF_and_PDF_with_Dirac_Functions]]

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	'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von  $-1$  bis  $+1$  über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße  $x$.		'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von  $-1$  bis  $+1$  über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße  $x$.
	*Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:		*Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:
	:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}		:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.818}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline{
	\approx 0.818}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 2. Januar 2022 um 13:07 Uhr

2022-01-02T13:07:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2022, 15:07 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]		[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	* $x$  ist wertkontinuierlich.		* $x$  ist wertkontinuierlich.
	* $y$  ist wertdiskret  $(M = 5)$.		* $y$  ist wertdiskret  $(M = 5)$.
	*Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.		*Die WDF liefert keine Aussagen darüber,  ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.



	'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben.		'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben.
	*Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.		*Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis  $\underline{A=0.5}$.



	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $x$  einen festen Wert  $x_0$  annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.		'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit,  dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $x$  einen festen Wert  $x_0$  annimmt,  ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
	*Für die wertdiskrete Zufallsgröße  $y$  gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$  $($Gewicht der Diracfunktion bei  $y = 0)$.		*Für die wertdiskrete Zufallsgröße  $y$  gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$  $($Gewicht der Diracfunktion bei  $y = 0)$.

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			'''(5)'''  Da  $y$  eine diskrete Zufallsgröße ist,  addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für  $y = 1$  und  $y = 2$:
	'''(5)'''  Da  $y$  eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für  $y = 1$  und  $y = 2$:
	:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$		:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$



	'''(6)'''  Das Ereignis  $\|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \| < 1$  ist hier identisch mit  $y = 0$. Damit erhält man:		'''(6)'''  Das Ereignis  $\|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \| < 1$  ist hier identisch mit  $y = 0$.  Damit erhält man:
	:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$		:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

Guenter am 2. Januar 2022 um 13:02 Uhr

2022-01-02T13:02:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2022, 15:02 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|frame\|Cosinus–Quadrat–WDF (oben) und Dirac–WDF (unten)]]		[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|frame\|Cosinus–Quadrat–WDF (oben) und Dirac–WDF (unten)]]
	Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.		Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $\rm (WDF)$  zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.

	*Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:		*Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:
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	Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.		Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$,  so ist offensichtlich,  dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.


Zeile 19:		Zeile 19:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
Zeile 45:		Zeile 43:


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x = 0$  (exakt) gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x = 0$  (exakt) gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }		${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x > 0$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x > 0$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y > 0$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $y > 0$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }		${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  betragsmäßig kleiner als  $1$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $y$  betragsmäßig kleiner als  $1$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  betragsmäßig kleiner als   $1$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x$  betragsmäßig kleiner als   $1$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }

Guenter am 14. November 2019 um 14:14 Uhr

2019-11-14T14:14:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2019, 16:14 Uhr
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	[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]		[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	* $x$ ist wertkontinuierlich.		* $x$  ist wertkontinuierlich.
	* $y$ ist wertdiskret ($M = 5$).		* $y$  ist wertdiskret  $(M = 5)$.
	*Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.		*Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.



	'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.		'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben.
			*Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.


	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$. Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).

			'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $x$  einen festen Wert  $x_0$  annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
			*Für die wertdiskrete Zufallsgröße  $y$  gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$  $($Gewicht der Diracfunktion bei  $y = 0)$.

	~~'''(4)'''  Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.~~


	'''(5)'''  Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:		'''(4)'''  Wegen  ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$  und der WDF-Symmetrie ergibt sich  $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.



			'''(5)'''  Da  $y$  eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für  $y = 1$  und  $y = 2$:
	:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$		:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$


	'''(6)'''  Das Ereignis &~~bdquo~~;$\|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \| < 1$&~~rdquo~~; ist hier identisch mit &~~bdquo~~;$y = 0$~~”~~. Damit erhält man:
			'''(6)'''  Das Ereignis  $\|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \| < 1$  ist hier identisch mit  $y = 0$. Damit erhält man:
	:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$		:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$


	'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:		'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von  $-1$  bis  $+1$  über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße  $x$.
			*Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:
	:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}		:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
	\hspace{0.15cm}\underline{		\hspace{0.15cm}\underline{

Guenter am 14. November 2019 um 14:05 Uhr

2019-11-14T14:05:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. November 2019, 16:05 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF]]		[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|frame\|Cosinus–Quadrat–WDF (oben) und Dirac–WDF (unten)]]
	Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.		Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.

	*Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:		*Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:
	:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$		:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

	*~~Dagegen besteht die~~ WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der ~~unteren~~ Grafik angegebenen Gewichten.		*Die WDF der Zufallsgröße  $y$  besteht aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der Grafik angegebenen Gewichten.


			Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.



	Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.


Zeile 19:		Zeile 22:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
	*Bezug genommen wird ~~aber~~ auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].

	*Es gilt folgende ~~Gleichung~~:		*Es gilt folgende Integralgleichung:
	:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$		:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Zeile 29:		Zeile 32:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche der ~~nachfolgenden~~ Aussagen treffen uneingeschränkt zu?		{Welche der folgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Zufallsgröße $x$ ist wertkontinuierlich.		+ Die Zufallsgröße  $x$  ist wertkontinuierlich.
	+ Die Zufallsgröße $y$ ist wertdiskret.		+ Die Zufallsgröße  $y$  ist wertdiskret.
	- Die Zufallsgröße $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.		- Die Zufallsgröße  $y$  ist gleichzeitig zeitdiskret.
	+ Die WDF sagt nichts aus ~~bzgl.~~ &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.		+ Die WDF sagt nichts aus bezüglich &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.


	{Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.		{Berechnen Sie den Parameter  $A$  der WDF  $f_x(x)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ = \ $ { 0.5 3% }		$A \ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ~~exakt~~ $x = 0$ ~~ist~~?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x = 0$  (exakt) gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }		${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x > 0$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y > 0$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }		${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  betragsmäßig kleiner als  $1$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  betragsmäßig kleiner als   $1$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }

Guenter am 8. August 2018 um 06:26 Uhr

2018-08-08T06:26:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2018, 08:26 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|y\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|x\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }		${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }


Zeile 72:		Zeile 72:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
			[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	* $x$ ist wertkontinuierlich.		* $x$ ist wertkontinuierlich.
Zeile 78:		Zeile 79:


	~~[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png\|right\|WDF-Fläche]]~~
	~~'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.~~

	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.		'''(2)'''  Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.


			'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$. Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).

	~~Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe: ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).~~

	'''(4)'''  Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.		'''(4)'''  Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.


	'''(5)'''  Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:		'''(5)'''  Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:
	:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$		:$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

	'''(6)'''  Das Ereignis &bdquo;$\| y \| < 1$” ist hier identisch mit &bdquo;$y = 0$”. Damit erhält man:
	:$${\rm Pr}(\|y\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$		'''(6)'''  Das Ereignis &bdquo;$\|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} \| < 1$” ist hier identisch mit &bdquo;$y = 0$”. Damit erhält man:
			:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}\| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$


	'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:		'''(7)'''  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:
	:$${\rm Pr}(\| x\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}		:$${\rm Pr}(\|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}\|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big \|_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
	\hspace{0.15cm}\underline{		\hspace{0.15cm}\underline{
	\approx 0.818}.$$		\approx 0.818}.$$

Guenter am 8. August 2018 um 06:17 Uhr

2018-08-08T06:17:02Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF]]		[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF]]
	Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.		Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.

	*Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:		*Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:
	:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm 2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$		:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$

	*Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.		*Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.
Zeile 13:		Zeile 13:

	Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.		Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
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	{Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.		{Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ =$ { 0.5 3% }		$A \ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt $x = 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt $x = 0$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x = 0)\ =$ { 0. }		${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 0)\ =$ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y > 0)\ =$ { 0.3 3% }		${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|y\| <1)\ =$ { 0.4 3% }		${\rm Pr}(\|y\| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|x\| <1)\ =$ { 0.818 3% }		${\rm Pr}(\|x\| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
	*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].		*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße\|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Es gilt folgende Gleichung:		*Es gilt folgende Gleichung:
	:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$		:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.1 cos² - und Dirac-WDF nach Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF

2018-01-03T13:32:58Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.1 cos² - und Dirac-WDF nach Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF

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(kein Unterschied)