Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Januar 2022 um 13:07 Uhr

2022-01-02T13:07:51Z

Guenter am 2. Januar 2022 um 13:02 Uhr

2022-01-02T13:02:04Z

Guenter am 14. November 2019 um 14:14 Uhr

2019-11-14T14:14:15Z

Guenter am 14. November 2019 um 14:05 Uhr

2019-11-14T14:05:58Z

Guenter am 8. August 2018 um 06:26 Uhr

2018-08-08T06:26:37Z

Guenter am 8. August 2018 um 06:17 Uhr

2018-08-08T06:17:02Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:32:58Z

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Guenter am 8. März 2017 um 15:21 Uhr

2017-03-08T15:21:04Z

Guenter am 7. März 2017 um 15:07 Uhr

2017-03-07T15:07:37Z

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png|right|frame|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
 * $x$&nbsp;  ist wertkontinuierlich.
 * $y$&nbsp; ist wertdiskret&nbsp; $(M = 5)$.
-*Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber, ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
+*Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber,&nbsp; ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
 '''(2)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-*Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.
+*Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis&nbsp; $\underline{A=0.5}$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; einen festen Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; einen festen Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; annimmt,&nbsp; ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
 *F&uuml;r die wertdiskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gilt dagegen gemäß der Angabe: &nbsp;  ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$&nbsp; $($Gewicht der Diracfunktion bei&nbsp; $y = 0)$.
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+'''(5)'''&nbsp; Da&nbsp; $y$&nbsp; eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist,&nbsp; addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r&nbsp; $y = 1$&nbsp; und&nbsp; $y = 2$:
 :$${\rm Pr}(y >0) =  {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Ereignis&nbsp; $|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$&nbsp; ist hier identisch mit &nbsp;$y  = 0$. Damit erh&auml;lt man:
+'''(6)'''&nbsp; Das Ereignis&nbsp; $|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$&nbsp; ist hier identisch mit &nbsp;$y  = 0$.&nbsp; Damit erh&auml;lt man:
 :$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| < 1) =  {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.4}.$$

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 [[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;WDF (oben) und Dirac&ndash;WDF (unten)]]
-Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
+Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; zweier Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
 *Die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; lautet in analytischer Form:
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-Betrachtet man diese Zufallsgr&ouml;&szlig;en als Momentanwerte zweier Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich&nbsp; $\pm 2$&nbsp; „amplitudenbegrenzt“ sind.&nbsp; Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.
+Betrachtet man diese Zufallsgr&ouml;&szlig;en als Momentanwerte zweier Zufallssignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$,&nbsp; so ist offensichtlich,&nbsp; dass beide Signale auf den Bereich&nbsp; $\pm 2$&nbsp; „amplitudenbegrenzt“ sind.&nbsp; Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x = 0$&nbsp; (exakt) gilt?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x = 0$&nbsp; (exakt) gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x > 0$&nbsp; ist?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x > 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y > 0$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $y > 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $y$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp;  $y$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als &nbsp; $1$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als &nbsp; $1$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }

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 [[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png|right|frame|Zur Berechnung der WDF-Fläche]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
-* $x$ ist wertkontinuierlich.
+* $x$&nbsp;  ist wertkontinuierlich.
-* $y$ ist wertdiskret ($M = 5$).
+* $y$&nbsp; ist wertdiskret&nbsp; $(M = 5)$.
 *Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber, ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
-'''(2)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.
+'''(2)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-'''(5)'''&nbsp; Da $y$ eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r $y = 1$ und $y = 2$:
+'''(4)'''&nbsp; Wegen&nbsp; ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$&nbsp; und der WDF-Symmetrie ergibt sich&nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.
 :$${\rm Pr}(y >0) =  {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Ereignis &bdquo;$|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;$y  = 0$&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
 :$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| < 1) =  {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.4}.$$
-'''(7)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$. Unter Ber&uuml;cksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erh&auml;lt man:
+'''(7)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von&nbsp; $-1$&nbsp; bis&nbsp; $+1$&nbsp; &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$.
 :$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
 \hspace{0.15cm}\underline{

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 }}
-[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png|right|frame|Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF]]
+[[Datei:P_ID143__Sto_A_3_1.png|right|frame|Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;WDF (oben) und Dirac&ndash;WDF (unten)]]
-Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgr&ouml;&szlig;en $x$ und $y$.
+Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
-*Die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ lautet in analytischer Form:
+*Die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; lautet in analytischer Form:
 :$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)   &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst.  \\\end{array}\right.$$
-*Dagegen besteht die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ aus insgesamt f&uuml;nf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.
+*Die WDF der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; besteht aus insgesamt f&uuml;nf Diracfunktionen mit den in der Grafik angegebenen Gewichten.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
-*Es gilt folgende Gleichung:
+*Es gilt folgende Integralgleichung:
 :$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4  a}\cdot \sin(2 ax).$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen uneingeschr&auml;nkt zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen uneingeschr&auml;nkt zu?
 |type="[]"}
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ ist wertkontinuierlich.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp;  $x$&nbsp; ist wertkontinuierlich.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ist wertdiskret.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist wertdiskret.
-- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.
+- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist gleichzeitig zeitdiskret.
-+ Die WDF sagt nichts aus bzgl. &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich&rdquo;.
++ Die WDF sagt nichts aus bezüglich &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich&rdquo;.
-{Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.
+{Berechnen Sie den Parameter&nbsp; $A$&nbsp; der WDF&nbsp; $f_x(x)$.
 |type="{}"}
 $A \ = \ $  { 0.5 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt $x = 0$ ist?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x = 0$&nbsp; (exakt) gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $ { 0. }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x > 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y > 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $ { 0.3 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $1$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $y$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als 1 ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als &nbsp; $1$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }

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 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als $1$ ist?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(|y| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }
+${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.4 3% }
 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als 1 ist?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(|x| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }
+${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $ { 0.818 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
 * $x$ ist wertkontinuierlich.
@@ Zeile 78: / Zeile 79: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
+'''(2)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.
 '''(4)'''&nbsp; Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.
 '''(5)'''&nbsp; Da $y$ eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r $y = 1$ und $y = 2$:
 :$${\rm Pr}(y >0) =  {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Das Ereignis &bdquo;$| y | < 1$&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;$y  = 0$&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
-:$${\rm Pr}(|y| < 1) =  {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.4}.$$
+'''(6)'''&nbsp; Das Ereignis &bdquo;$|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;$y  = 0$&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
 '''(7)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$. Unter Ber&uuml;cksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erh&auml;lt man:
-:$${\rm Pr}(| x|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
+:$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
 \hspace{0.15cm}\underline{
 \approx 0.818}.$$

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: <i>x</i> ist wertkontinuierlich und <i>y</i> wertdiskret (<i>M</i> = 5). Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber, ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> einen festen Wert <i>x</i><sub>0</sub> annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Pr(<i>x</i> = 0) = 0</u>. F&uuml;r die wertdiskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> gilt dagegen gemäß der Angabe: Pr(<i>y</i> = 0) = 0.4 (Gewicht der Diracfunktion bei <i>y</i> = 0).
+[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png|right|WDF-Fläche]]
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Wegen Pr(<i>x</i> = 0) und der WDF-Symmetrie ergibt sich Pr(<i>x</i> > 0) <u>= 0.5</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Da <i>y</i> eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r <i>y</i> = 1 und <i>y</i> = 2:
+F&uuml;r die wertdiskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe: ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).
-:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Das Ereignis &bdquo;| <i>y</i> | < 1&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;<i>y</i> = 0&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
+'''(4)'''&nbsp; Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.
-:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von -1 bis +1 &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i>. Unter Ber&uuml;cksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erh&auml;lt man:
+'''(5)'''&nbsp; Da $y$ eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r $y = 1$ und $y = 2$:
-:$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1)=\rm 2 \cdot \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot \it x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=\frac{x}{\rm 2}+\frac{\rm 1}{\pi}\cdot\rm sin(\frac{\pi}{2}\cdot\it x)\Bigg |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
+:$${\rm Pr}(y >0) =  {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
 \hspace{0.15cm}\underline{
 \approx 0.818}.$$