Aufgaben:Aufgabe 3.1: Spektrum des Exponentialimpulses - Versionsgeschichte

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.1:_Spectrum_of_the_Exponential_Pulse]]

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2026-02-24T13:39:10Z

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Zeile 69:		Zeile 69:
	*Die obere Integralgrenze  $(t \rightarrow \infty)$  ergibt Null, die untere Grenze  $(t = 0)$  den Wert  $1$.  Somit gilt:		*Die obere Integralgrenze  $(t \rightarrow \infty)$  ergibt Null, die untere Grenze  $(t = 0)$  den Wert  $1$.  Somit gilt:

	:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}		:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$
	X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$

	*Bei der Frequenz  $f = 0$  ist demnach das Spektrum rein reell:		*Bei der Frequenz  $f = 0$  ist demnach das Spektrum rein reell:
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	Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:		Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:

	$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},		$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }},\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$
	\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$

	Bei der Frequenz  $f_0$  ist		Bei der Frequenz  $f_0$  ist

Guenter am 21. April 2021 um 12:44 Uhr

2021-04-21T12:44:09Z

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Zeile 67:		Zeile 67:
	:$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right\|_0^\infty .$$		:$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right\|_0^\infty .$$

	*Die obere Integralgrenze  $(t \rightarrow \infty)$  ergibt Null, die untere Grenze  $(t = 0)$  den Wert  $1$. Somit gilt:		*Die obere Integralgrenze  $(t \rightarrow \infty)$  ergibt Null, die untere Grenze  $(t = 0)$  den Wert  $1$.  Somit gilt:

	:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}		:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
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			'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.
	[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]		[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
	~~'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.~~
	*Damit erhält man:		*Damit erhält man:

Zeile 106:		Zeile 107:
	'''(4)'''  Für die Phasenfunktion gilt allgemein:		'''(4)'''  Für die Phasenfunktion gilt allgemein:

	$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$		:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$

	*Für $f = f_0$ ergibt sich  $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.		*Für  $f = f_0$  ergibt sich  $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
	* Für sehr große Werte von  $f$  nähert sich die Phasenfunktion dem Wert  $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$  an.		* Für sehr große Werte von  $f$  nähert sich die Phasenfunktion dem Wert  $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$  an.
	*Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.		*Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.

Guenter am 21. April 2021 um 12:38 Uhr

2021-04-21T12:38:32Z

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Zeile 22:		Zeile 22:


	dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:		dargestellt werden. Verwenden Sie hierbei die Notation:

	:$$X( f ) = \left\| {X( f )} \right\| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$		:$$X( f ) = \left\| {X( f )} \right\| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$







Zeile 42:		Zeile 37:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Spektralfunktion  $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  $X(f)$.  Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  $\rm mV/Hz$		$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\text{Im}[X(f=0)] \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$		$\text{Im}[X(f=0)] \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$

	{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von  $X(f)$  unter Verwendung von  $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei  $f = f_0$?		{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von  $X(f)$  unter Verwendung von  $f_0 = 1/(2\pi T)$.  Welche Werte ergeben sich bei  $f = f_0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \ $ { 1.5 3% }  $\rm mV/Hz$		$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \ $ { 1.5 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \ $ { -1.55--1.45 }  $\rm mV/Hz$		$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \ $ { -1.55--1.45 }  $\rm mV/Hz$

	{Berechnen Sie die Betragsfunktion  $\|X(f)\|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?		{Berechnen Sie die Betragsfunktion  $\|X(f)\|$.  Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|X(f=f_0)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 2.12 3% }  $\rm mV/Hz$		$\|X(f=f_0)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 2.12 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\|X(f\rightarrow \infty)\| \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$		$\|X(f\rightarrow \infty)\| \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$

	{Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?		{Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\varphi(f)$.  Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \ $ { 0.785 3% }  $\rm rad$		$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \ $ { 0.785 3% }  $\rm rad$

Guenter am 25. September 2019 um 14:18 Uhr

2019-09-25T14:18:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2019, 16:18 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal  $x(t)$  betrachtet,		In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal  $x(t)$  betrachtet,
	*das zum Zeitpunkt  $t = 0$  sprungartig von Null auf  $A$  ansteigt		*das zum Zeitpunkt  $t = 0$  sprungartig von Null auf  $A$  ansteigt, und
	*~~und~~ für Zeiten  $t > 0$  exponentiell mit der Zeitkonstanten  $T$  abfällt:		*für Zeiten  $t > 0$  exponentiell mit der Zeitkonstanten  $T$  abfällt:

	:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$		:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
Zeile 72:		Zeile 72:
	:$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right\|_0^\infty .$$		:$$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right\|_0^\infty .$$

	Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt ~~$0$~~, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert $1$. Somit gilt:		*Die obere Integralgrenze  $(t \rightarrow \infty)$  ergibt Null, die untere Grenze  $(t = 0)$  den Wert  $1$. Somit gilt:

	:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}		:$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
	X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$		X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$

	Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell:		*Bei der Frequenz  $f = 0$  ist demnach das Spektrum rein reell:
	:$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}  \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$		:$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}  \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$


	'''(2)'''  Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:
			'''(2)'''  Mit den Abkürzungen  $X_0 = A \cdot T$  und  $f_0 = 1/(2\pi T)$  lautet die Spektralfunktion:

	:$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$		:$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$
Zeile 90:		Zeile 91:
	\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$		\hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$

	Bei der Frequenz $f_0$ ist		Bei der Frequenz  $f_0$  ist
	*der Realteil gleich $X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$		*der Realteil gleich  $X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
	*der Imaginärteil gleich $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$		*der Imaginärteil gleich  $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$



	[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]		[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
	'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:		'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.
			*Damit erhält man:

	:$$ \left\| {X( f)} \right\| =\frac{ {X_0 }}{ {\left\| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right\|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$		:$$ \left\| {X( f)} \right\| =\frac{ {X_0 }}{ {\left\| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right\|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$
Zeile 102:		Zeile 105:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$

	Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).		*Bei sehr großen Frequenzen  $(f \rightarrow \infty)$  ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).



Zeile 109:		Zeile 113:
	$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$		$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$

	Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$~~, für~~ sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$ an. Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.		*Für $f = f_0$ ergibt sich  $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
			* Für sehr große Werte von  $f$  nähert sich die Phasenfunktion dem Wert  $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$  an.
			*Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 25. September 2019 um 14:11 Uhr

2019-09-25T14:11:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2019, 16:11 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID494__Sig_A_3_1.png\|right\|frame\|Exponentialimpuls]]		[[Datei:P_ID494__Sig_A_3_1.png\|right\|frame\|Exponentialimpuls]]

	In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet, das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von ~~$0$~~ auf $A$ ansteigt und für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:		In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal  $x(t)$  betrachtet,
			*das zum Zeitpunkt  $t = 0$  sprungartig von Null auf  $A$  ansteigt
			*und für Zeiten  $t > 0$  exponentiell mit der Zeitkonstanten  $T$  abfällt:

	:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$		:$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$

	An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.		An der Sprungstelle zum Zeitpunkt  $t = 0$  gilt  $x(t = 0) = A/2$.

	Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:		Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:

	:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.~~2cm~~} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$		:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.4cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$

	Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher		Die zu berechnende Spektralfunktion  $X(f)$  wird komplex sein und kann daher
	*nach Real– und Imaginärteil, aber auch		*nach Real– und Imaginärteil, aber auch
	*nach Betrag und Phase		*nach Betrag und Phase
Zeile 23:		Zeile 25:

	:$$X( f ) = \left\| {X( f )} \right\| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$		:$$X( f ) = \left\| {X( f )} \right\| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$





Zeile 29:		Zeile 34:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und –rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und –rücktransformation]].


Zeile 37:		Zeile 42:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  $\rm mV/Hz$		$\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\text{Im}[X(f=0)] \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$		$\text{Im}[X(f=0)] \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$

	{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von $X(f)$ unter Verwendung von $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei $f = f_0$?		{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von  $X(f)$  unter Verwendung von  $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei  $f = f_0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \ $ { 1.5 3% }  $\rm mV/Hz$		$\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \ $ { 1.5 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \ $ { -1.55--1.45 }  $\rm mV/Hz$		$\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \ $ { -1.55--1.45 }  $\rm mV/Hz$

	{Berechnen Sie die Betragsfunktion $\|X(f)\|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?		{Berechnen Sie die Betragsfunktion  $\|X(f)\|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|X(f=f_0)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 2.12 3% }  $\rm mV/Hz$		$\|X(f=f_0)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 2.12 3% }  $\rm mV/Hz$
	$\|X(f\rightarrow \infty)\| \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$		$\|X(f\rightarrow \infty)\| \ = \ $ { 0. }  $\rm mV/Hz$

	{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?		{Berechnen Sie die Phasenfunktion  $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz  $f = f_0$  und bei sehr großen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \ $ { 0.785 3% }  $\rm rad$		$\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \ $ { 0.785 3% }  $\rm rad$

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:31 Uhr

2018-07-23T14:31:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 16:31 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und –rücktransformation]].

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:30 Uhr

2018-07-23T14:30:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 16:30 Uhr
Zeile 97:		Zeile 97:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$

	Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu ~~$0$~~</u> (siehe Skizze).		Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:29 Uhr

2018-07-23T14:29:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 16:29 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:


	''~~Hinweise~~:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].

Zeile 72:		Zeile 72:
	X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$		X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$

	Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell ~~  &rArr~~;   ~~Imaginärteil:~~ $0$.		Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell:
			:$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}  \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$


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	[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|~~Spektrum~~ des Exponentialimpulses]]		[[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png\|right\|frame\|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
	'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:		'''(3)'''  Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.