Aufgaben:Aufgabe 3.1: Spektrum des Exponentialimpulses - Versionsgeschichte

Guenter am 21. April 2021 um 12:44 Uhr

2021-04-21T12:44:09Z

Guenter am 21. April 2021 um 12:38 Uhr

2021-04-21T12:38:32Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:18 Uhr

2019-09-25T14:18:48Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:11 Uhr

2019-09-25T14:11:08Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:31 Uhr

2018-07-23T14:31:26Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:30 Uhr

2018-07-23T14:30:49Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:29 Uhr

2018-07-23T14:29:21Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 07:30 Uhr

2018-01-16T07:30:32Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.1 Spektrum des Exponentialimpulses nach Aufgaben:Aufgabe 3.1: Spektrum des Exponentialimpulses

2018-01-01T17:16:51Z

Guenter verschob die Seite 3.1 Spektrum des Exponentialimpulses nach Aufgabe 3.1: Spektrum des Exponentialimpulses

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 :$$X( f ) = \int_0^\infty  {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty  .$$
-*Die obere Integralgrenze&nbsp; $(t \rightarrow \infty)$&nbsp; ergibt Null, die untere Grenze&nbsp; $(t = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$. Somit gilt:
+*Die obere Integralgrenze&nbsp; $(t \rightarrow \infty)$&nbsp; ergibt Null, die untere Grenze&nbsp; $(t = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$.&nbsp; Somit gilt:
 :$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 [[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png|right|frame|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
-'''(3)'''&nbsp; Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.
 *Damit erhält man:
@@ Zeile 106: / Zeile 107: @@
 '''(4)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion gilt allgemein:
-$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
+:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
-*Für $f = f_0$ ergibt sich&nbsp; $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
 * Für sehr große Werte von&nbsp; $f$&nbsp; nähert sich die Phasenfunktion dem Wert&nbsp; $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$&nbsp; an.
 *Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
-dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:
+dargestellt werden. Verwenden Sie hierbei die Notation:
 :$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$
@@ Zeile 42: / Zeile 37: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $\text{Im}[X(f=0)] \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; unter Verwendung von&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$?
+{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; unter Verwendung von&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \  $ { 1.5 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \  $ { -1.55--1.45 } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $|X(f=f_0)| \hspace{0.25cm} = \  $ { 2.12 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $|X(f\rightarrow \infty)| \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \  $ { 0.785 3% } &nbsp;$\rm rad$

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; betrachtet,
-*das zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; sprungartig von Null auf&nbsp; $A$&nbsp; ansteigt
+*das zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; sprungartig von Null auf&nbsp; $A$&nbsp; ansteigt, und
-*und für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; exponentiell mit der Zeitkonstanten&nbsp; $T$&nbsp; abfällt:
+*für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; exponentiell mit der Zeitkonstanten&nbsp; $T$&nbsp; abfällt:
 :$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 :$$X( f ) = \int_0^\infty  {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty  .$$
-Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt $0$, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert $1$. Somit gilt:
+*Die obere Integralgrenze&nbsp; $(t \rightarrow \infty)$&nbsp; ergibt Null, die untere Grenze&nbsp; $(t = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$. Somit gilt:
 :$$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm}
 X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist demnach das Spektrum rein reell:
 :$$\text{Re}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}&nbsp; \hspace{1.15 cm}\text{Im}[X(f=0)] \hspace{0.15 cm}\underline{ =0}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:
 :$$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
 \hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] =  - \frac{ {X_0  \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$
-Bei der Frequenz $f_0$ ist
+Bei der Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist
-*der Realteil gleich  $X_0/2  \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
+*der Realteil gleich&nbsp;  $X_0/2  \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
-*der Imaginärteil gleich $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$
+*der Imaginärteil gleich&nbsp; $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$
 [[Datei:P_ID548__Sig_A_3_1_c_neu.png|right|frame|Betragsspektrum des Exponentialimpulses]]
-'''(3)'''&nbsp; Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner.
 :$$ \left| {X( f)} \right| =\frac{ {X_0 }}{ {\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$
@@ Zeile 102: / Zeile 105: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left| {X( {f = f_0} )} \right| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{  = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$
-Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).
+*Bei sehr großen Frequenzen&nbsp; $(f \rightarrow \infty)$&nbsp; ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).
@@ Zeile 109: / Zeile 113: @@
 $$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
-Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$, für sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$ an. Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.
+*Für $f = f_0$ ergibt sich&nbsp; $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID494__Sig_A_3_1.png|right|frame|Exponentialimpuls]]
-In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet, das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von $0$ auf $A$ ansteigt und für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:
+In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; betrachtet,
 :$$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
-An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.
+An der Sprungstelle zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $x(t = 0) = A/2$.
 Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:
-:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.2cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$
+:$$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.4cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$
-Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher
+Die zu berechnende Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird komplex sein und kann daher
 *nach Real– und Imaginärteil, aber auch
 *nach Betrag und Phase
@@ Zeile 23: / Zeile 25: @@
 :$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$
@@ Zeile 29: / Zeile 34: @@
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
@@ Zeile 37: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[X(f=0)] \ = \ $ { 3 3% }  &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $\text{Im}[X(f=0)] \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von $X(f)$ unter Verwendung von $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei $f = f_0$?
+{Wie lauten der Real– und der Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; unter Verwendung von&nbsp; $f_0 = 1/(2\pi T)$. Welche Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[X(f=f_0)] \ = \  $ { 1.5 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $\text{Im}[X(f=f_0)] \ = \  $ { -1.55--1.45 } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$. Welche Werte ergeben sich bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $|X(f=f_0)| \hspace{0.25cm} = \  $ { 2.12 3% } &nbsp;$\rm mV/Hz$
 $|X(f\rightarrow \infty)| \ = \  $ { 0. } &nbsp;$\rm mV/Hz$
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz $f = f_0$ und bei sehr großen Frequenzen?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi(f)$. Welche Werte ergeben sich hierfür bei der Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und bei sehr großen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $\varphi(f=f_0) \hspace{0.25cm} = \  $ { 0.785 3% } &nbsp;$\rm rad$

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	''Hinweis:''		''Hinweis:''
−	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und -rücktransformation]].	+	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation und –rücktransformation]].

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juli 2018, 14:30 Uhr
Zeile 97:		Zeile 97:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left\| {X( {f = f_0} )} \right\| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$

−	Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu ~~$0$~~</u> (siehe Skizze).	+	Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag <u>nahezu Null</u> (siehe Skizze).

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und -rücktransformation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

← Nächstältere Version	Version vom 1. Januar 2018, 17:16 Uhr
(kein Unterschied)