Aufgaben:Aufgabe 3.1: Kausalitätsbetrachtungen - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:26 Uhr

2021-10-09T14:26:22Z

Guenter am 9. Oktober 2021 um 14:20 Uhr

2021-10-09T14:20:22Z

Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:13 Uhr

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Guenter am 30. Oktober 2019 um 09:03 Uhr

2019-10-30T09:03:47Z

Guenter am 25. November 2018 um 13:50 Uhr

2018-11-25T13:50:26Z

Guenter am 25. November 2018 um 13:41 Uhr

2018-11-25T13:41:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 14. März 2018 um 16:20 Uhr

2018-03-14T16:20:54Z

Guenter am 14. März 2018 um 16:01 Uhr

2018-03-14T16:01:42Z

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2018-01-03T13:18:39Z

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Die angegebene Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen. &nbsp; Es gilt:
-:$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
+:$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1.$$
 *Es handelt sich um einen Hochpass.
 *Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität&nbsp; $L$&nbsp; einen Kurzschluss dar.
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 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Ja</u>:
-*Jedes reale Netzwerk ist kausal.&nbsp; Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird.
+*Jedes reale Netzwerk ist kausal.&nbsp; Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$,&nbsp; wenn zum Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird.
 *Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten&nbsp; $t< 0$&nbsp; ein Signal auftreten:
 :$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
   = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt.
+*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; äquivalente Tiefpassfunktion,&nbsp; die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt.
 *Die &bdquo;$1$&rdquo; wird zu einer Diracfunktion.&nbsp; Mit&nbsp; $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$&nbsp; gilt somit für&nbsp; $t \ge 0$:
 :$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
-*Für&nbsp; $t< 0$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
+*Für&nbsp; $t< 0$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $h_1(t)= 0$,&nbsp; womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-* Da  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; die Impulsantwort &nbsp;$h_1(t) = 0$&nbsp;  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation &nbsp;$h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$&nbsp; die Kausalitätsbedingung.&nbsp; Ebenso ergibt die&nbsp; $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
+* Da  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; die Impulsantwort &nbsp;$h_1(t) = 0$&nbsp;  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation &nbsp;$h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$&nbsp; die Kausalitätsbedingung. &nbsp;
   t<0 \hspace{0.05cm}.$
-*Bei kausaler Impulsantwort &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.&nbsp; Mit der Abkürzung &nbsp;$x = f/f_{\rm G}$&nbsp;  und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt somit:
+*Bei kausaler Impulsantwort &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.&nbsp;
 :$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
-Da die Hilbert&ndash;Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable &nbsp;$x$&nbsp; ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.
+Da die Hilbert&ndash;Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen,&nbsp; sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert,&nbsp; wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable &nbsp;$x$&nbsp; ausgedrückt,&nbsp; die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
 *Bezug genommen wird auch auf die Therieseiten &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Mit der angegebenen Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen:
+*Die angegebene Übertragungsfunktion kann man nach dem Spannungsteilerprinzip berechnen. &nbsp; Es gilt:
 :$$H_1(f = 0) = 0, \hspace{0.2cm}H_1(f \rightarrow \infty) = 1$$
 *Es handelt sich um einen Hochpass.
-*Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität $L$ einen Kurzschluss dar.
+*Für sehr niedrige Frequenzen stellt die Induktivität&nbsp; $L$&nbsp; einen Kurzschluss dar.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Ja</u>:
-*Jedes reale Netzwerk ist kausal. Die Impulsantwort $h(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt $t= 0$ am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird.
+*Jedes reale Netzwerk ist kausal.&nbsp; Die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; ist gleich dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$, wenn zum Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; am Eingang ein extrem kurzfristiger Impuls &ndash; ein so genannter Diracimpuls &ndash; angelegt wird.
-*Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten $t< 0$ ein Signal auftreten:
+*Aus Kausalitätsgründen kann dann natürlich am Ausgang nicht schon für Zeiten&nbsp; $t< 0$&nbsp; ein Signal auftreten:
 :$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
   t<0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: &nbsp; Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
+*Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: &nbsp; Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; kann wie folgt umgeformt werden:
 :$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
   = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die &bdquo;$1$&rdquo; wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
+*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt.
 :$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
-*Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
+*Für&nbsp; $t< 0$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
@@ Zeile 104: / Zeile 106: @@
   {\big [1+(f/f_{\rm G})^2 \big ]^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:
+*Mit&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; folgt daraus:
 :$$H_2(f = f_{\rm G})  = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2}
   {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \}  \hspace{0.15cm}\underline{  = 0}, \hspace{0.4cm}
   {\rm Im} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-* Da  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; die Impulsantwort &nbsp;$h_1(t) = 0$&nbsp;  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation &nbsp;$h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$&nbsp; die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
+* Da  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; die Impulsantwort &nbsp;$h_1(t) = 0$&nbsp;  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation &nbsp;$h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$&nbsp; die Kausalitätsbedingung.&nbsp; Ebenso ergibt die&nbsp; $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
   t<0 \hspace{0.05cm}.$
-*Bei kausaler Impulsantwort &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen. Mit der Abkürzung &nbsp;$x = f/f_{\rm G}$&nbsp;  und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' gilt somit:
+*Bei kausaler Impulsantwort &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.&nbsp; Mit der Abkürzung &nbsp;$x = f/f_{\rm G}$&nbsp;  und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt somit:
 :$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
   \hspace{0.05cm},$$
-wobei $f_{\rm G}$ die 3dB&ndash;Grenzfrequenz angibt:
+wobei&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; die 3dB&ndash;Grenzfrequenz angibt:
 :$$f_{\rm G} = \frac{R}{2 \pi \cdot L}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 In dieser Aufgabe wird ein solcher Vierpol im Hinblick auf seine Kausalitätseigenschaften betrachtet.
-Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$&nbsp; die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert&ndash;Transformation]], was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:
+Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$&nbsp; die&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert&ndash;Transformation]], was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:
 :$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 Da die Hilbert&ndash;Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable &nbsp;$x$&nbsp; ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.
@@ Zeile 54: / Zeile 57: @@
-{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für &nbsp;$f = f_{\rm G}$?
+{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_2(f)$.&nbsp; Welcher komplexe Wert ergibt sich für &nbsp;$f = f_{\rm G}$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $  { 0. }
@@ Zeile 63: / Zeile 66: @@
 |type="[]"}
 + $H_2(f)$&nbsp; beschreibt ein kausales System.
-+ $(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; und &nbsp;$2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; sind ein Hilbert&ndash;Paar.
++ Die Ausdrücke&nbsp; $(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; und &nbsp;$2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; sind ein Hilbert&ndash;Paar.
 - Für &nbsp;$n > 2$&nbsp; ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 :$$y(t) = h(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
   t<0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
+*Formal lässt sich dies folgendermaßen zeigen: &nbsp; Die Hochpass&ndash;Übertragungsfunktion $H_1(f)$ kann wie folgt umgeformt werden:
 :$$H_1(f) = \frac{{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
   = 1- \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die &bdquo;1&rdquo; wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
+*Die zweite Übertragungsfunktion beschreibt die zu $H_1(f)$ äquivalente Tiefpassfunktion, die im Zeitbereich zur Exponentialfunktion führt. Die &bdquo;$1$&rdquo; wird zu einer Diracfunktion. Mit $T = 2\pi \cdot f_{\rm G}$ gilt somit für $t \ge 0$:
 :$$h_1(t) = \delta(t) - {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.05cm}.$$
 *Für $t< 0$ gilt dagegen $h_1(t)= 0$, womit die Kausalität nachgewiesen wäre.
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 '''(3)'''&nbsp; Die Hintereinanderschaltung zweier Hochpässe führt zu folgender Übertragungsfunktion:
-:$$H_2(f) = \left [H_1(f)\right ]^2  =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}{\left [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2}
+:$$H_2(f) = \big [H_1(f)\big ]^2  =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2}
-  =\frac{\left [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\right ]^2 \cdot \left [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}
+  =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^2 \cdot \big [(1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\big ]^2}
-  {\left [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\right ]^2}=  \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2
+  {\big [(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}) \cdot (1-{\rm j}\cdot f/f_{\rm G})\big ]^2}=  \frac{(f/f_{\rm G})^4 - (f/f_{\rm G})^2 +{\rm j}\cdot 2
 \cdot  (f/f_{\rm G})^3)}
-  {\left [1+(f/f_{\rm G})^2 \right ]^2}\hspace{0.05cm}.$$
+  {\big [1+(f/f_{\rm G})^2 \big ]^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:
+*Mit $f = f_{\rm G}$ folgt daraus:
 :$$H_2(f = f_{\rm G})  = \frac{1 - 1 +{\rm j}\cdot 2}
   {4}= {\rm j} /{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm Re} \left\{ H_2(f = f_{\rm G}) \right \}  \hspace{0.15cm}\underline{  = 0}, \hspace{0.4cm}
@@ Zeile 108: / Zeile 108: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-* Da  für $t < 0$ die Impulsantwort $h_1(t) = 0$  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation $h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$ die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
+* Da  für &nbsp;$t < 0$&nbsp; die Impulsantwort &nbsp;$h_1(t) = 0$&nbsp;  ist, erfüllt auch die Faltungsoperation &nbsp;$h_2(t) = h_1(t) \star h_1(t)$&nbsp; die Kausalitätsbedingung. Ebenso ergibt die $n$&ndash;fache Faltung eine kausale Impulsantwort: &nbsp;  $h_n(t) = 0 \hspace{0.2cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.2cm}
   t<0 \hspace{0.05cm}.$
-*Bei kausaler Impulsantwort $h_2(t)$ hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H_2(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen. Mit der Abkürzung $x = f/f_{\rm G}$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) gilt somit:
+*Bei kausaler Impulsantwort &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; hängen aber der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion &nbsp;$H_2(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen. Mit der Abkürzung &nbsp;$x = f/f_{\rm G}$&nbsp;  und dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' gilt somit:
 :$$\frac{x^4- x^2}{x^4+2 x^2+1} \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Hintereinanderschalten $n$ gleich aufgebauter Vierpole $H_1(f)$ kommt man zu der Übertragungsfunktion
+Durch Hintereinanderschalten von &nbsp;$n$&nbsp; gleich aufgebauten Vierpolen &nbsp;$H_1(f)$&nbsp; kommt man zur Übertragungsfunktion
 :$$H_n(f) = \big [H_1(f)\big ]^n =\frac{\big [{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n}{\big [1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm G}\big ]^n}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Vorausgesetzt ist hierbei eine geeignete Widerstandsentkopplung, die aber zur Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist. Die untere Grafik zeigt zum Beispiel die Realisierung der Übertragungsfunktion $H_2(f)$.
+*Vorausgesetzt ist hierbei eine geeignete Widerstandsentkopplung, die aber zur Lösung dieser Aufgabe nicht von Bedeutung ist.
 In dieser Aufgabe wird ein solcher Vierpol im Hinblick auf seine Kausalitätseigenschaften betrachtet. Bei einem jeden kausalen System erfüllen der Real&ndash; und der Imaginärteil der Spektralfunktion $H(f)$ die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert&ndash;Transformation]], was durch das folgende Kurzzeichen ausgedrückt wird:
 :$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \}  \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad
 {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
-Da die Hilbert&ndash;Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable $x$ ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.
+Da die Hilbert&ndash;Transformation nicht nur für Übertragungsfunktionen, sondern auch für Zeitsignale wichtige Aussagen liefert, wird die Korrespondenz häufig durch die allgemeine Variable &nbsp;$x$&nbsp; ausgedrückt, die je nach Anwendungsfall als normierte Frequenz oder als normierte Zeit zu interpretieren ist.
@@ Zeile 30: / Zeile 34: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz|Folgerungen aus dem Zuordnungssatz]].
-*Bezug genommen wird auch auf die Therieseiten [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]] sowie [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
+*Bezug genommen wird auch auf die Therieseiten &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Hilbert-Transformation]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
@@ Zeile 38: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie kann $H_1(f)$ charakterisiert werden?
+{Wie kann &nbsp;$H_1(f)$&nbsp; charakterisiert werden?
 |type="()"}
-- $H_1(f)$ beschreibt einen Tiefpass.
+- $H_1(f)$&nbsp; beschreibt einen Tiefpass.
-+ $H_1(f)$ beschreibt einen Hochpass.
++ $H_1(f)$&nbsp; beschreibt einen Hochpass.
-{Beschreibt $H_1(f)$ ein kausales Netzwerk?
+{Beschreibt &nbsp;$H_1(f)$&nbsp; ein kausales Netzwerk?
 |type="()"}
 + Ja.
@@ Zeile 50: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion $H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für $f = f_{\rm G}$?
+{Berechnen Sie die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_2(f)$. Welcher komplexe Wert ergibt sich für &nbsp;$f = f_{\rm G}$?
 |type="{}"}
-${\rm Re}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $  { 0. }
+${\rm Re}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $  { 0. }
-${\rm Im}[H_2(f = f_{\rm G})] \ = \ $ { 0.5 3% }
+${\rm Im}\big[H_2(f = f_{\rm G})\big] \ = \ $ { 0.5 3% }
 {Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ $H_2(f)$ beschreibt ein kausales System.
++ $H_2(f)$&nbsp; beschreibt ein kausales System.
-+ $(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$ und $2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$ sind ein Hilbert&ndash;Paar.
++ $(x^4 - x^2)/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; und &nbsp;$2x^3/(x^4 +2 x^2 + 1)$&nbsp; sind ein Hilbert&ndash;Paar.
-- Für $n > 2$ ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.
+- Für &nbsp;$n > 2$&nbsp; ist die Kausalitätsbedingung nicht erfüllt.