Aufgaben:Aufgabe 3.1: Impulsantwort des Koaxialkabels - Versionsgeschichte

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	Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$,  so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:		Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$,  so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
	:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-a_{\star} \cdot \sqrt{2f/R_{\~~rmB~~}}}\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} a_{\star} \cdot \sqrt{2f/R_{\~~rmB~~}}}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}a_{\star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-a_{\star} \cdot \sqrt{2f/R_{\rm B}}}\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} a_{\star} \cdot \sqrt{2f/R_{\rm B}}}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}a_{\star}\hspace{0.2cm}{\rm in}\hspace{0.2cm}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

	Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.688$  größer.  Bei einem Binärsystem gilt  $R_{\rm B} = 1/T$,  so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.		Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.688$  größer.  Bei einem Binärsystem gilt  $R_{\rm B} = 1/T$,  so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  $a_* = 60 \ \rm dB$  entspricht etwa  $6.9 \ \rm Np$.  Deshalb muss gelten:		'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  $a_* = 60 \ \rm dB$  entspricht etwa  $6.9 \ \rm Np$.  Deshalb muss gelten:
	:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R_{\rm B}}/{2} = 6.9\,\,{\~~rmNp~~}$$		:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R_{\rm B}}/{2} = 6.9\,\,{\rm Np}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\~~rmNp~~}}{0.2722\,\,\frac{\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}}\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\rm Np}}{0.2722\,\,\frac{\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}}\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}\hspace{0.05cm}.$$


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	*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\~~rme~~}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}$$		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = { a_{\star}^2}/({3 \pi})\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = { a_{\star}^2}/({3 \pi})\hspace{0.05cm}.$$

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.1 Impulsinterferenzen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.1 Impulsinterferenzen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.1:_Impulse_Response_of_the_Coaxial_Cable]]

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Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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	*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rme}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}$$		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rme}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0\hspace{0.05cm}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \~~cdotx~~^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = { a_{\star}^2}/({3 \pi})\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} \cdot x^{-5/2} = K_2 \cdot x^{-7/2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x_{\rm max} = {2}/{3} \cdot K_2 = { a_{\star}^2}/({3 \pi})\hspace{0.05cm}.$$

	Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $(a_ ≈ 6.9 \ \rm Np)$:		Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $(a_ ≈ 6.9 \ \rm Np)$:

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 31. Mai 2022 um 12:58 Uhr

2022-05-31T12:58:09Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung $a_* = 60 \ \rm dB$ entspricht etwa $6.9 \ \rm Np$. Deshalb muss gelten:		'''(1)'''  Die charakteristische Kabeldämpfung  $a_* = 60 \ \rm dB$  entspricht etwa  $6.9 \ \rm Np$.  Deshalb muss gelten:
	:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R_{\rm B}}/{2} = 6.9\,\,{\rm		:$$\alpha_2 \cdot l \cdot {R_{\rm B}}/{2} = 6.9\,\,{\rm
	Np}		Np}$$
	~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\rm		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} l = \frac{6.9\,\,{\rm
	Np}}{0.2722\,\,\frac{\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}}		Np}}{0.2722\,\,\frac{\rm Np}{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}}
	\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}		\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}
Zeile 103:		Zeile 103:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:		*Durch Nullsetzen der Ableitung folgt daraus:
	:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm		:$$- {3}/{2} \cdot K_1 \cdot x^{-5/2}\cdot {\rm e}^{-K_2/x}+ K_1 \cdot x^{-3/2}\cdot {\rm
	e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0		e}^{-K_2/x}\cdot (-K_2) \cdot (-x^{-2})= 0
Zeile 112:		Zeile 112:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung $(a_* ≈ 6.9 \ \rm Np)$:		Daraus ergibt sich für  $60 \ \rm dB$  Kabeldämpfung  $(a_ ≈ 6.9 \ \rm Np)$:
	:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T} \hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} { t_{\rm max}}/{ T} = { 6.9^2}/({3\pi})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 5} \hspace{0.2cm}.$$		:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T} \hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} { t_{\rm max}}/{ T} = { 6.9^2}/({3\pi})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 5} \hspace{0.2cm}.$$


	'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis von (2) in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (wir verwenden $a$ anstelle von $a_*$):		'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis von  '''(2)'''  in die vorgegebene Gleichung ein,  so erhält man  (wir verwenden  $a$ anstelle  von  $a_*$):
	:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) \ = \ \frac{1}{T} \cdot \frac{ a}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot \frac{a^6}{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t_{\rm max}) \ = \ \frac{1}{T} \cdot \frac{ a}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot \frac{a^6}{(3\pi)^3}}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm exp} \left[ - \frac{a^2}{2\pi} \cdot		{\rm exp} \left[ - \frac{a^2}{2\pi} \cdot
Zeile 124:		Zeile 124:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Mit $a = 6.9$ kommt man somit zum Endergebnis:		*Mit  $a = 6.9$  kommt man somit zum Endergebnis:
	:$${\rm Max} \ [h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}		:$${\rm Max} \ [h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) lautet die Bestimmungsgleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(3)'''  lautet die Bestimmungsgleichung:
	:$$\frac{ a/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 \cdot {1}/{T}= 0.0015 \cdot {1}/{T} \hspace{0.3cm}		:$$\frac{ a/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t_{5\%}/T)^3}}= 0.05 \cdot 0.03 \cdot {1}/{T}= 0.0015 \cdot {1}/{T} \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} (t_{5\%}/T)^{3/2} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot		\Rightarrow \hspace{0.3cm} (t_{5\%}/T)^{3/2} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot
Zeile 135:		Zeile 135:
	\hspace{0.3cm}t_{5\%}/T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 103.5}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.3cm}t_{5\%}/T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 103.5}\hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Wert ist etwas zu groß, da der zweite Term ${\rm e}^{\rm – 0.05} ≈ 0.95$ vernachlässigt wurde. Die exakte Berechnung liefert $t_{\rm 5\%}/T ≈ 97$.		*Dieser Wert ist etwas zu groß,  da der zweite Term  ${\rm e}^{\rm – 0.05} ≈ 0.95$  vernachlässigt wurde.
			*Die exakte Berechnung liefert  $t_{\rm 5\%}/T ≈ 97$.


	'''(5)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>. Allgemein gilt:		'''(5)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.  Allgemein gilt:
	:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot		:$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t) = s_0 \cdot
	\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$		\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$

	Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich verändert, kann hierfür auch geschrieben werden:		*Da sich die Kanalimpulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich verändert,  kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T .$$		:$$g_r(t) \approx h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T .$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.1 Impulsinterferenzen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.1 Impulsinterferenzen^]]

Guenter am 31. Mai 2022 um 12:51 Uhr

2022-05-31T12:51:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Mai 2022, 14:51 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.		Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen,  der zweite Term auf die Querverluste.  Dominant ist jedoch der Skineffekt,  der durch den dritten Term ausgedrückt wird.

	Mit den für ein so genanntes Normalkoaxialkabel  $(2.6 \ \rm mm$  Kerndurchmesser und  $9.5 \ \rm mm$  Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten		Mit den für ein so genanntes  "Normalkoaxialkabel"  $(2.6 \ \rm mm$  Kerndurchmesser und  $9.5 \ \rm mm$  Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
	\hspace{0.05cm},		\hspace{0.05cm},
Zeile 27:		Zeile 27:
	Das heißt:   Dämpfungsverlauf  $a_{\rm K}(f)$  und Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.		Das heißt:   Dämpfungsverlauf  $a_{\rm K}(f)$  und Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.

	Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$, so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:		Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$,  so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
	:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})		:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-
Zeile 35:		Zeile 35:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.688$  größer. Bei einem Binärsystem gilt  $R_{\rm B} = 1/T$, so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.		Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.688$  größer.  Bei einem Binärsystem gilt  $R_{\rm B} = 1/T$,  so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.


	Die Fouriertransformierte von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen-analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:		Die Fouriertransformierte von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$,  die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen-analytischer Form angebbar ist.  Für ein Binärsystem gilt:
	:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ a_{\star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ a_{\star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm exp} \left[ - \frac{a_{\star}^2}{2 \pi \cdot t/T}\hspace{0.1cm}\right]		{\rm exp} \left[ - \frac{a_{\star}^2}{2 \pi \cdot t/T}\hspace{0.1cm}\right]
Zeile 44:		Zeile 44:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Teilaufgabe '''(5)''' bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) * h_K(t)$, wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteckimpuls mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$  angenommen werden soll.		Die Teilaufgabe  '''(5)'''  bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) * h_K(t)$,  wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteckimpuls mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$  angenommen werden soll.


Zeile 51:		Zeile 51:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|"Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen"]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|"Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].


Zeile 61:		Zeile 61:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Länge  $l$  eines Normalkoaxialkabels, wenn sich für die Bitrate  $R_{\rm B} = 140 \ \rm Mbit/s$  die charakteristische Kabeldämpfung zu  $a_* = 60 \ \rm dB$  ergibt?		{Wie groß ist die Länge  $l$  eines Normalkoaxialkabels,  wenn sich für die Bitrate  $R_{\rm B} = 140 \ \rm Mbit/s$  die charakteristische Kabeldämpfung zu  $a_* = 60 \ \rm dB$  ergibt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm km $		$l \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm km $

	{Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  besitzt  $~~h_K~~(t)$  sein Maximum? Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.		{Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  besitzt  $h_{\rm K}(t)$  sein Maximum?  Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm max}/T= \ $ { 5 3% }		$t_{\rm max}/T= \ $ { 5 3% }

	{Wie groß ist der Maximalwert der Impulsantwort? Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.		{Wie groß ist der Maximalwert der Impulsantwort?  Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Max}\ \big [h_{\rm K}(t)\big ]= \ $ { 0.03 3% } $\ \cdot 1/T $		${\rm Max}\ \big [h_{\rm K}(t)\big ]= \ $ { 0.03 3% } $\ \cdot 1/T $

	{Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5\%}$  ist  $h_{\rm K}(t)$  kleiner als  $5\%$  des Maximums? Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.		{Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5\%}$  ist  $h_{\rm K}(t)$  kleiner als  $5\%$  des Maximums?  Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm 5\%}/T= \ $ { 103.5 3% }		$t_{\rm 5\%}/T= \ $ { 103.5 3% }

Guenter am 18. Februar 2019 um 09:33 Uhr

2019-02-18T09:33:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2019, 11:33 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}		\cdot \sqrt{70\,\,{\rm MHz}}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 3\,\,{\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Mit den Substitutionen		'''(2)'''  Mit den Substitutionen
Zeile 111:		Zeile 112:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung($a_* ≈ 6.9 \ \rm Np$)		Daraus ergibt sich für $60 \ \rm dB$ Kabeldämpfung $(a_* ≈ 6.9 \ \rm Np)$:
	:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T} \hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} { t_{\rm max}}/{ T} = { 6.9^2}/({3\pi})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 5} \hspace{0.2cm}.$$		:$$x_{\rm max} = { t_{\rm max}}/{ T} \hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} { t_{\rm max}}/{ T} = { 6.9^2}/({3\pi})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 5} \hspace{0.2cm}.$$


	'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis von (2) in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (wir verwenden $a$ anstelle von $a_*$):		'''(3)'''  Setzt man das Ergebnis von (2) in die vorgegebene Gleichung ein, so erhält man (wir verwenden $a$ anstelle von $a_*$):
Zeile 125:		Zeile 127:
	:$${\rm Max} \ [h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}		:$${\rm Max} \ [h_{\rm K}(t)] = \frac{1.453}{{6.9\,}^2} \cdot {1}/{T}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.03 \cdot {1}/{T}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) lautet die Bestimmungsgleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) lautet die Bestimmungsgleichung:
Zeile 139:		Zeile 142:
	\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$		\int_{t-T/2}^{t+T/2} h_{\rm K}(\tau) \,{\rm d} \tau .$$

	Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich ~~ändert~~, kann hierfür auch geschrieben werden:		Da sich die Kanalimpulsantwort $h_{\rm K}(t)$ innerhalb einer Symboldauer nur unwesentlich verändert, kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T .$$		:$$g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T .$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 18. Februar 2019 um 09:28 Uhr

2019-02-18T09:28:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2019, 11:28 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Das heißt~~, der~~ Dämpfungsverlauf  $a_{\rm K}(f)$  und ~~der~~ Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.		Das heißt:   Dämpfungsverlauf  $a_{\rm K}(f)$  und Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.

	Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$, so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:		Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$, so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Länge $l$ eines Normalkoaxialkabels, wenn sich für die Bitrate $R_{\rm B} = 140 \ \rm Mbit/s$ die charakteristische Kabeldämpfung zu $a_* = 60 \ \rm dB$ ergibt?		{Wie groß ist die Länge  $l$  eines Normalkoaxialkabels, wenn sich für die Bitrate  $R_{\rm B} = 140 \ \rm Mbit/s$  die charakteristische Kabeldämpfung zu  $a_* = 60 \ \rm dB$  ergibt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm km $		$l \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm km $

	{Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ besitzt $h_K(t)$ sein Maximum? Es gelte weiter $a_* = 60 \ \rm dB$.		{Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  besitzt  $h_K(t)$  sein Maximum? Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm max}/T= \ $ { 5 3% }		$t_{\rm max}/T= \ $ { 5 3% }

	{Wie groß ist der Maximalwert der Impulsantwort?		{Wie groß ist der Maximalwert der Impulsantwort? Es gelte weiter  $a_* = 60 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Max}\ [h_{\rm K}(t)]= \ $ { 0.03 3% } $\ \cdot 1/T $		${\rm Max}\ \big [h_{\rm K}(t)\big ]= \ $ { 0.03 3% } $\ \cdot 1/T $

	{Ab welcher Zeit $t_{\rm 5\%}$ ist $h_{\rm K}(t)$ kleiner als $5\%$ des Maximums? Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.		{Ab welcher Zeit  $t_{\rm 5\%}$  ist  $h_{\rm K}(t)$  kleiner als  $5\%$  des Maximums? Berücksichtigen Sie als Näherung nur den ersten Term der angegebenen Formel.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_{\rm 5\%}/T= \ $ { 103.5 3% }		$t_{\rm 5\%}/T= \ $ { 103.5 3% }

	{Welche Aussagen treffen für den Empfangsgrundimpuls $g_r(t)$ zu?		{Welche Aussagen treffen für den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $g_r(t)$ ist doppelt so breit wie $h_{\rm K}(t)$.		- $g_r(t)$  ist doppelt so breit wie  $h_{\rm K}(t)$.
	+ Es gilt näherungsweise $g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T$.		+ Es gilt näherungsweise  $g_r(t) = h_{\rm K}(t) \cdot s_0 \cdot T$.
	- $g_r(t)$ kann durch einen Gaußimpuls angenähert werden.		- $g_r(t)$  kann durch einen Gaußimpuls angenähert werden.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 18. Februar 2019 um 09:23 Uhr

2019-02-18T09:23:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Februar 2019, 11:23 Uhr
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	[[Datei:P_ID1370__Dig_A_3_1.png\|right\|frame\|Impulsantwort eines Koaxialkabels]]		[[Datei:P_ID1370__Dig_A_3_1.png\|right\|frame\|Impulsantwort eines Koaxialkabels]]
	Der Frequenzgang eines Koaxialkabels der Länge $l$ ist durch folgende Formel darstellbar:		Der Frequenzgang eines Koaxialkabels der Länge  $l$  ist durch folgende Formel darstellbar:
	:$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}		:$$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
	\cdot		\cdot
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	Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.		Der erste Term dieser Gleichung ist auf die Ohmschen Verluste zurückzuführen, der zweite Term auf die Querverluste. Dominant ist jedoch der Skineffekt, der durch den dritten Term ausgedrückt wird.

	Mit den für ein so genanntes Normalkoaxialkabel ($2.6 \ \rm mm$ Kerndurchmesser und $9.5 \ \rm mm$ Außendurchmesser) gültigen Koeffizienten		Mit den für ein so genanntes Normalkoaxialkabel  $(2.6 \ \rm mm$  Kerndurchmesser und  $9.5 \ \rm mm$  Außendurchmesser$)$ gültigen Koeffizienten
	:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}		:$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{\rm MHz}}
	\hspace{0.05cm},		\hspace{0.05cm},
Zeile 25:		Zeile 25:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Das heißt, der Dämpfungsverlauf $a_{\rm K}(f)$ und der Phasenverlauf $b_{\rm K}(f)$ sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.		Das heißt, der Dämpfungsverlauf  $a_{\rm K}(f)$  und der Phasenverlauf  $b_{\rm K}(f)$  sind bis auf die Pseudoeinheiten &bdquo;$\rm Np$” bzw. &bdquo;$\rm rad$” identisch.

	Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung $a_*$ bei der halben Bitrate ($R_{\rm B}/2$), so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:		Definiert man die charakteristische Kabeldämpfung  $a_*$  bei der halben Bitrate  $(R_{\rm B}/2)$, so kann man Digitalsysteme unterschiedlicher Bitrate und Länge einheitlich behandeln:
	:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})		:$$a_{\star} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2})
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der entsprechende $\rm dB$–Wert ist um den Faktor $8.688$ größer. Bei einem Binärsystem gilt $R_{\rm B} = 1/T$, so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz $f = 1/(2T)$ bezieht.		Der entsprechende  $\rm dB$–Wert ist um den Faktor  $8.688$  größer. Bei einem Binärsystem gilt  $R_{\rm B} = 1/T$, so dass sich dann die charakteristische Kabeldämpfung auf die Frequenz  $f = 1/(2T)$  bezieht.


	Die Fouriertransformierte von $H_{\rm K}(f)$ liefert die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen-analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:		Die Fouriertransformierte von  $H_{\rm K}(f)$  liefert die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$, die für ein Koaxialkabel mit den hier beschriebenen Näherungen in geschlossen-analytischer Form angebbar ist. Für ein Binärsystem gilt:
	:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ a_{\star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot		:$$h_{\rm K}(t) = \frac{ a_{\star}/T}{ \sqrt{2 \pi^2 \cdot (t/T)^3}}\hspace{0.1cm} \cdot
	{\rm exp} \left[ - \frac{a_{\star}^2}{2 \pi \cdot t/T}\hspace{0.1cm}\right]		{\rm exp} \left[ - \frac{a_{\star}^2}{2 \pi \cdot t/T}\hspace{0.1cm}\right]
Zeile 44:		Zeile 44:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Teilaufgabe (5) bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls $g_r(t) = g_s(t) * h_K(t)$, wobei für $g_s(t)$ ein Rechteckimpuls mit der Höhe $s_0$ und der Dauer $T$ angenommen werden soll.		Die Teilaufgabe '''(5)''' bezieht sich auf den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t) = g_s(t) * h_K(t)$, wobei für  $g_s(t)$  ein Rechteckimpuls mit der Höhe  $s_0$  und der Dauer  $T$  angenommen werden soll.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:48Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen\|Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume\|Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.