Aufgaben:Aufgabe 3.1: Analyse eines Faltungscodierers - Versionsgeschichte

Guenter am 6. November 2022 um 16:21 Uhr

2022-11-06T16:21:52Z

Guenter am 6. November 2022 um 16:14 Uhr

2022-11-06T16:14:29Z

Guenter am 3. Juni 2019 um 14:25 Uhr

2019-06-03T14:25:21Z

Guenter am 3. Juni 2019 um 14:20 Uhr

2019-06-03T14:20:18Z

Guenter am 3. Juni 2019 um 14:17 Uhr

2019-06-03T14:17:16Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:08Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 18. Januar 2018 um 15:18 Uhr

2018-01-18T15:18:40Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 15:10 Uhr

2018-01-18T15:10:41Z

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2018-01-18T15:05:45Z

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2018-01-04T06:44:33Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Zu jedem Takt werden $\underline {k = 3}$ neue Informationsbits verarbeitet und $\underline {n = 4}$ Codebits ausgegeben.
+'''(1)'''&nbsp; Zu jedem Takt werden&nbsp; $\underline {k = 3}$&nbsp; neue Informationsbits verarbeitet und&nbsp; $\underline {n = 4}$&nbsp; Codebits ausgegeben.
-'''(2)'''&nbsp; Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen&nbsp; $\underline{u}^{(j)}$&nbsp; mit&nbsp; $\nu_j$, wobei&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; k = 3$&nbsp; zu setzen ist. Dann gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen &nbsp; $\underline{u}^{(j)}$ &nbsp; mit&nbsp; $\nu_j$,&nbsp; wobei&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; k = 3$&nbsp; zu setzen ist.&nbsp; Dann gilt:
 :$$\nu_1  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 \nu_2  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\nu_3 = 2\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Gedächtnisordnung $m$ (oder kurz: das Gedächtnis) des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline {m = 2}$.
+*Die Gedächtnisordnung&nbsp; $m$&nbsp; $($oder kurz:&nbsp; das Gedächtnis$)$&nbsp; des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {m = 2}$.
 *Die Gesamteinflusslänge (oder kurz: Einflusslänge) entspricht der Anzahl der Speicherelemente der gesamten Codiererschaltung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {\nu = 3}$.
 [[Datei:P_ID2623__KC_A_3_1_neu.png|right|frame|Vorgegebener Faltungscodierer]]
-'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt für die $n = 4$ Codebits zum Schritt $i$:
+'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt für die&nbsp; $n = 4$&nbsp; Codebits zum Schritt&nbsp; $i$:
 :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
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 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
 *Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt.
 *Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i \, &ndash;1$ bzw. $i \, &ndash;2$ verzichten.
-*Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$.
+*Deshalb kann man für&nbsp; $i = 1$&nbsp; auf alle Bits mit den Indizes &nbsp; $i \, &ndash;1$ &nbsp; bzw. &nbsp; $i \, &ndash;2$ &nbsp; verzichten.
 *Damit erhält man durch Modulo&ndash;2&ndash;Addition:
 :$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0}   \hspace{0.05cm},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Im Codierschritt $i = 3$ lauten die Informationsbits:
+'''(4)'''&nbsp; Im Codierschritt&nbsp; $i = 3$&nbsp; lauten die Informationsbits:
 :$$u_i^{(1)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(1)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(1)} = 0\hspace{0.05cm},$$
 :$$u_i^{(2)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$u_i^{(3)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(3)} = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(3)} = 1\hspace{0.05cm},$$
-woraus sich folgende Codebits ergeben:
+:woraus sich folgende Codebits ergeben:
 :$$x_3^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(2)} = 1+0+1+0\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(3)}= 0+1+1+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(4)} = 1+0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=1}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Codebits im Codierschritt $i = 2$ wurden bereits auf der Angabenseite genannt. Hier folgt noch die Herleitung:
+&rArr; &nbsp; Die Codebits im Codierschritt&nbsp; $i = 2$&nbsp; wurden bereits auf der Angabenseite genannt.&nbsp; Hier folgt noch die Herleitung:
 :$$x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_2^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} = 1+1+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
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 :$$x_2^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{0}^{(3)}= 1+1+0+(0) = 0\hspace{0.05cm}.$$
-Somit beginnt die Codesequenz $\underline {x}$ (nach dem Multiplexing) mit $(0100, 1000, 1011, \ \text{...})$. Die Gruppierung wurde hier nur aus Gründen der Übersichtlichkeit vorgenommen.
+*Somit beginnt die Codesequenz&nbsp; $\underline {x}$&nbsp; $($nach dem Multiplexing$)$ &nbsp;mit&nbsp; $(0100, 1000, 1011, \ \text{...})$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.1 Grundlagen der Faltungscodierung^]]

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 :$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ =  \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...}  \big )\hspace{0.05cm}.$$
-Die zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; am Coder anliegenden Bits werden mit&nbsp; $u_i^{\rm (1)}$,&nbsp; $u_i^{\rm (2)}$&nbsp; und&nbsp; $u_i^{\rm (3)}$&nbsp; bezeichnet. Beispielsweise gilt&nbsp; $u_1^{\rm (1)} = 0$,&nbsp; $u_2^{\rm (2)} = 1$&nbsp; sowie&nbsp; $u_3^{\rm (3)} = 1$.
+Die zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; am Coder anliegenden Bits werden mit&nbsp; $u_i^{\rm (1)}$,&nbsp; $u_i^{\rm (2)}$&nbsp; und&nbsp; $u_i^{\rm (3)}$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Beispielsweise gilt&nbsp; $u_1^{\rm (1)} = 0$,&nbsp; $u_2^{\rm (2)} = 1$&nbsp; sowie&nbsp; $u_3^{\rm (3)} = 1$.
 In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden:
 * die Anzahl&nbsp; $k$&nbsp; der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
 * die Anzahl&nbsp; $n$&nbsp; der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
-Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz&nbsp; $\underline {u}$&nbsp; die Codesymbole&nbsp; $x_i^{(1)}$,&nbsp; $x_i^{(2)}$,&nbsp; $x_i^{(3)}$&nbsp; und&nbsp; $x_i^{(4)}$&nbsp; für die Taktzeitpunkte&nbsp; $i = 1$&nbsp; und&nbsp; $i = 3$&nbsp; bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren.
+* die Gesamteinflusslänge&nbsp; $($oder kurz: &nbsp;Einflusslänge$)$&nbsp; $\nu$.
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 * Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt&nbsp; $i = 2$&nbsp; angegeben:
 :$$x_2^{(1)} = 1  \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
 x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 * Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt.
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 $x_1^{(4)} \ = \ ${ 0 3% }
-{Wie lauten die Codebits im dritten Codierschritt&nbsp; $(i = 3)$?
+{Wie lauten die vier Codebits im dritten Codierschritt&nbsp; $(i = 3)$?
 |type="{}"}
 $x_3^{(1)} \ = \ ${ 1 3% }

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-'''(2)'''&nbsp; Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen $\underline{u}^{(j)}$ mit $\nu_j$, wobei $1 &#8804; j &#8804; k = 3$ zu setzen ist. Dann gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen&nbsp; $\underline{u}^{(j)}$&nbsp; mit&nbsp; $\nu_j$, wobei&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; k = 3$&nbsp; zu setzen ist. Dann gilt:
 :$$\nu_1  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 \nu_2  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\nu_3 = 2\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
-Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt. Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i \, &ndash;1$ bzw. $i \, &ndash;2$ verzichten. Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$. Damit erhält man durch Modulo&ndash;2&ndash;Addition:
+*Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt.
 :$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0}   \hspace{0.05cm},$$
 :$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},$$

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Codeparameter $k$ und $n$?
+{Wie lauten die Codeparameter&nbsp; $k$&nbsp; und&nbsp; $n$?
 |type="{}"}
 $k \ = \ ${ 3 3% }
 $n \ = \ ${ 4 3% }
-{Wie groß sind die Gedächtnisordnung $m$ und die Gesamteinflusslänge $\nu$?
+{Wie groß sind die Gedächtnisordnung&nbsp; $m$&nbsp; und die Gesamteinflusslänge&nbsp; $\nu$?
 |type="{}"}
 $m \ = \ ${ 2 3% }
 $\nu \ = \ ${ 3 3% }
-{Wie lauten die vier Codebits im ersten Codierschritt ($i = 1$)?
+{Wie lauten die vier Codebits im ersten Codierschritt&nbsp; $(i = 1)$?
 |type="{}"}
 $x_1^{(1)} \ = \ ${ 0 3% }
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 $x_1^{(4)} \ = \ ${ 0 3% }
-{Wie lauten die Codebits im dritten Codierschritt ($i = 3$)?
+{Wie lauten die Codebits im dritten Codierschritt&nbsp; $(i = 3)$?
 |type="{}"}
 $x_3^{(1)} \ = \ ${ 1 3% }

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 :$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ =  \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...}  \big )\hspace{0.05cm}.$$
-Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$.
+Die zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; am Coder anliegenden Bits werden mit&nbsp; $u_i^{\rm (1)}$,&nbsp; $u_i^{\rm (2)}$&nbsp; und&nbsp; $u_i^{\rm (3)}$&nbsp; bezeichnet. Beispielsweise gilt&nbsp; $u_1^{\rm (1)} = 0$,&nbsp; $u_2^{\rm (2)} = 1$&nbsp; sowie&nbsp; $u_3^{\rm (3)} = 1$.
 In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden:
-* die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
+* die Anzahl&nbsp; $k$&nbsp; der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
-* die Anzahl $n$ der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
+* die Anzahl&nbsp; $n$&nbsp; der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
-* die Gedächtnisordnung (oder kurz: das Gedächtnis) $m$,
+* die Gedächtnisordnung (oder kurz: &nbsp;das Gedächtnis)&nbsp; $m$,
-* die Gesamteinflusslänge (oder kurz: Einflusslänge) $\nu$.
+* die Gesamteinflusslänge (oder kurz: &nbsp;Einflusslänge)&nbsp; $\nu$.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]].
-* Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben:
+* Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt&nbsp; $i = 2$&nbsp; angegeben:
 :$$x_2^{(1)} = 1  \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
 x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2588__KC_A_3_1_neu.png|right|frame|Vorgegebener Faltungscodierer]]
-Wir betrachten den nebenstehenden Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz:
+Wir betrachten den skizzierten Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz aus:
-:$$\underline{\it u} =   \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}...   \big )\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{\it u} =   \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...}   \big )\hspace{0.05cm}.$$
 Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt:
-:$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ...   \big )\hspace{0.05cm},$$
+:$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} \text{...}  \big )\hspace{0.05cm},$$
-:$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ...   \big )\hspace{0.05cm},$$
+:$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}\text{...}   \big )\hspace{0.05cm},$$
-:$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ =  \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ...   \big )\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ =  \hspace{-0.15cm}   \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...}  \big )\hspace{0.05cm}.$$
 Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$.
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz $\underline {u}$ die Codesymbole $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$, $x_i^{(3)}$, $x_i^{(4)}$ für die Taktzeitpunkte $i = 1$ und $i = 3$ bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren.
 ''Hinweise:''
@@ Zeile 26: / Zeile 30: @@
 :$$x_2^{(1)} = 1  \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
 x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
+* Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt.
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.