Aufgaben:Aufgabe 3.09: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:58Z

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.7 Optimale Empfängerstrategien^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.7 Optimale Empfängerstrategien^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.09:_Correlation_Receiver_for_Unipolar_Signaling]]

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2026-02-24T13:39:03Z

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	[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]		[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]
	Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen  ("Bit")  mittels des Korrelationsempfängers.  Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:		Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen  ("Bit")  mittels des Korrelationsempfängers.  Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:
	:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011		:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
	Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111
	\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter gilt:		Weiter gilt:
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	Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen  $($"Metriken"$)$		Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen  $($"Metriken"$)$
	:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}		:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t\hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$
	I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t
	\hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$

	und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$,  falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$.  Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.		und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$,  falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$.  Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.
Zeile 81:		Zeile 76:

	'''(2)'''  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte  $W_i = I_i \ – E_i/2$,  jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:		'''(2)'''  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte  $W_i = I_i \ – E_i/2$,  jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:
	:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5		:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$W_2 = 1 - 0.5 = 0.5, \hspace{0.2cm}W_3 = 1 - 1 = 0\hspace{0.05cm},$$
	:$$W_2 = 1 - 0.5 = 0.5, \hspace{0.2cm}W_3 = 1 - 1 = 0		:$$W_4 = 0 - 0.5 = -0.5, \hspace{0.2cm}W_5 = 0 - 1 = -1\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$W_6 = 1 - 1 = 0, \hspace{0.2cm}W_7 = 1 - 1.5 =-0.5\hspace{0.05cm}.$$
	:$$W_4 = 0 - 0.5 = -0.5, \hspace{0.2cm}W_5 = 0 - 1 = -1
	\hspace{0.05cm}.$$
	:$$W_6 = 1 - 1 = 0, \hspace{0.2cm}W_7 = 1 - 1.5 =
	-0.5
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Der maximale Wert  $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.		*Der maximale Wert  $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.
Zeile 108:		Zeile 98:

	'''(4)'''  Der Korrelationsempfänger  $\rm C$  hat folgende Werte zu vergleichen:		'''(4)'''  Der Korrelationsempfänger  $\rm C$  hat folgende Werte zu vergleichen:
	:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 =		:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 =-1.81\hspace{0.05cm},$$
	-1.81		:$$W_2 = 3.59 - 0.50 = 3.09, \hspace{0.2cm}W_3 = 2.28 - 1.00 =1.28\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$W_4 = 0.97 - 0.50 = 0.47, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.34 - 1.00 =-1.34\hspace{0.05cm},$$
	:$$W_2 = 3.59 - 0.50 = 3.09, \hspace{0.2cm}W_3 = 2.28 - 1.00 =		:$$W_6 = 4.56 - 1.00 = 3.56, \hspace{0.2cm}W_7 = 3.25 - 1.50 =1.75\hspace{0.05cm}.$$
	1.28
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$W_4 = 0.97 - 0.50 = 0.47, \hspace{0.2cm}W_5 = -0.34 - 1.00 =
	-1.34
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$W_6 = 4.56 - 1.00 = 3.56, \hspace{0.2cm}W_7 = 3.25 - 1.50 =
	1.75
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Maximierung ergibt hier  $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.		Die Maximierung ergibt hier  $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.

Guenter am 1. Juli 2022 um 11:55 Uhr

2022-07-01T11:55:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2022, 13:55 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Beim System  $\rm B$  treten viermal die ~~Metriken~~ $0$ und viermal die ~~Metriken~~ $1$ auf.		*Beim System  $\rm B$  treten viermal die Metrik  $0$  und viermal die Metrik  $1$  auf.
	*Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen  $\rm A$  und  $\rm C$  – alle $I_i$ unterscheiden müssten.		*Dies weist auf  $n(t) = 0$  hin,  da sich sonst – wie bei den Systemen  $\rm A$  und  $\rm C$  – alle  $I_i$  unterscheiden müssten.


	'''(2)'''  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:		'''(2)'''  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte  $W_i = I_i \ – E_i/2$,  jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:
	:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5		:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$
Zeile 91:		Zeile 91:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.		*Der maximale Wert  $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.
	*Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$.		*Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für  $V = Q_2$.
	*Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ &bdquo;$\rm 010$” gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.		*Da keine Störungen auftreten,  wurde tatsächtlich auch  $Q_2 =$ &bdquo;$\rm 010$” gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.


Zeile 102:		Zeile 102:
	:$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$		:$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$

	*Das Maximum ist $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.		*Das Maximum ist  $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.
	*Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System  $\rm A$  die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.		*Das heißt,  dass der Korrelationsempfänger auch bei System  $\rm A$  die richtige Entscheidung  $V = Q_2$  trifft.
	*Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.		*Ohne den Korrekturterm  $(– E_i/2)$  hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung  $V = Q_6$  getroffen.


Zeile 121:		Zeile 121:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Maximierung ergibt hier $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.		Die Maximierung ergibt hier  $\underline {j = 6}$   ⇒   $V = Q_6$.
	*Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.		*Da aber  $Q_2$  gesendet wurde,  entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.  Die Störungen sind zu stark.
	*Die Störungen sind zu stark.



	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		'''(5)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*Die Störungen sind bei System  $\rm C$  am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.		*Die Störungen sind bei System  $\rm C$  am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß,  dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.



	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		'''(6)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	*Im fehlerfreien Fall (System  $\rm B$) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.		*Im fehlerfreien Fall  $($System  $\rm B)$  ist die Differenz zwischen  $W_2 = 0.5$  und den nächstgrößten Werten  $W_0 = W_3 = W_6 = 0$  jeweils gleich  $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.
	*Bei System  $\rm A$  (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$.
	*Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.		*Bei System  $\rm A$  (leichte Störungen)  ist die Differenz zwischen  $W_2 = 0.63$  und dem nächstgrößeren Wert  $W_6 = 0.18$  immerhin noch  $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$.
	*Für das System  $\rm C$, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe '''(4)''', wurde eine gegenüber dem System  $\rm A$  um den Faktor 400 größere Rauschleistung zugrundegelegt.
	*Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden.		*Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor  $50$,  so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig,  doch ist dann die minimale Differenz  $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$  deutlich kleiner.
	*Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist &bdquo;Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.
			*Für das System  $\rm C$,  bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe '''(4)''',  wurde eine gegenüber dem System  $\rm A$  um den Faktor  $400$  größere Rauschleistung zugrundegelegt.

			*Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge  $Q_2$  falsch,  so ist eine Verfälschung zu den Folgen  $Q_0$,  $Q_3$  bzw.  $Q_6$  am wahrscheinlichsten,  da sich alle diese drei Folgen von  $Q_2$  nur jeweils in einem Bit unterscheiden.

			*Dass bei der beschriebenen Simulation  $W_6$  stets größer ist als  $W_0$  bzw.  $W_3$,  ist &bdquo;Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 1. Juli 2022 um 11:31 Uhr

2022-07-01T11:31:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2022, 13:31 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:


	Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen (Metriken)		Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen  $($"Metriken"$)$
	:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}		:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
	I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t		I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t
	\hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$		\hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$

	und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$, falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.		und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$,  falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$.  Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.


	In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte  $I_0, \ \text{...} \ , I_7$  für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen  $n(t)$  unterscheiden und mit  $\rm A$,  $\rm B$  oder  $\rm C$  bezeichnet werden.		In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte  $I_0, \ \text{...} \ , I_7$  für drei verschiedene Systeme angegeben,  die sich hinsichtlich der Störungen  $n(t)$  unterscheiden und mit  $\rm A$,  $\rm B$  oder  $\rm C$  bezeichnet werden.
	*Eine dieser Spalten steht für &bdquo;keine ~~Störung~~”,		*Eine dieser Spalten steht für &bdquo;keine Störungen”,
	*eine für &bdquo;geringe Störungen” und		*eine für &bdquo;geringe Störungen” und
	*eine weitere für &bdquo;starke Störungen”.		*eine weitere für &bdquo;starke Störungen”.


	~~Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.~~


			Hinweis:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|"Optimale Empfängerstrategien"]].

			*Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.



	~~''Hinweis:''~~
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].


Zeile 62:		Zeile 60:
	${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 }		${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 }

	{Bei welchem System treten die größten Störungen auf? Bei		{Bei welchem System treten die größten Störungen auf?  Bei
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $\rm System \ A$,		- $\rm System \ A$,
Zeile 68:		Zeile 66:
	+ $\rm System \ C$.		+ $\rm System \ C$.

	{Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass  $Q_2$  gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für  $Q_2$  entscheidet?		{Welche Aussagen gelten unter der Annahme,  dass  $Q_2$  gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für  $Q_2$  entscheidet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Differenz zwischen  $W_2$  und dem nächstgrößten Wert  $W_{i \ne 2}$  ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind.		+ Die Differenz zwischen  $W_2$  und dem nächstgrößten Wert  $W_{i \ne 2}$  ist um so kleiner,  je stärker die Störungen sind.
	- Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge  $Q_6$.		- Wenn es zu einer Verfälschung kommt,  dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge  $Q_6$.
	+ Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von  $Q_0$,  $Q_3$  bzw.  $Q_6$  sind gleich.		+ Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von  $Q_0$,  $Q_3$  bzw.  $Q_6$  sind gleich.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 1. Juli 2022 um 10:29 Uhr

2022-07-01T10:29:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2022, 12:29 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]		[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]
	Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:		Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen  ("Bit")  mittels des Korrelationsempfängers.  Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:
	:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011		:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}		\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
Zeile 10:		Zeile 10:

	Weiter gilt:		Weiter gilt:
	*Die möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  – jeweils mit der Dauer  $3T$  – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von  $s_0(t) \equiv 0$.		*Die möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  – jeweils mit der Dauer  $3T$  – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von  $s_0(t) \equiv 0$.
	*Die Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_4(t)$  mit nur jeweils einer &bdquo;$1$” besitzen die Signalenergie  $E_{\rm B}$  (steht für &bdquo;Energie pro Bit”), während zum Beispiel die Energie von  $s_7(t)$  gleich  $3E_{\rm B}$ ist.
			*Die Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_4(t)$  mit nur jeweils einer &bdquo;$1$”  besitzen die Signalenergie  $E_{\rm B}$  $($steht für &bdquo;Energie pro Bit”$)$,  während zum Beispiel die Energie von  $s_7(t)$  gleich  $3E_{\rm B}$ ist.

Guenter am 7. März 2019 um 09:59 Uhr

2019-03-07T09:59:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2019, 11:59 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Beim ~~'''~~System B~~'''~~ treten viermal die Metriken 0 und viermal die Metriken 1 auf.		*Beim System  $\rm B$  treten viermal die Metriken $0$ und viermal die Metriken $1$ auf.
	*Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen A und C – alle $I_i$ unterscheiden müssten.		*Dies weist auf $n(t) = 0$ hin, da sich sonst – wie bei den Systemen  $\rm A$  und  $\rm C$  – alle $I_i$ unterscheiden müssten.


	'''(2)'''  Beim ~~'''~~System B~~'''~~ ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:		'''(2)'''  Beim System  $\rm B$  ergeben sich folgende Entscheidungswerte $W_i = I_i \ – E_i/2$, jeweils normiert auf $E_{\rm B}$:
	:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5		:$$W_0 = 0 - 0 = 0, \hspace{0.2cm}W_1 = 0 - 0.5 = -0.5
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$
Zeile 92:		Zeile 92:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$. Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$. Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ &bdquo;$\rm 010$” gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.		*Der maximale Wert $W_2 = 0.5$ ⇒ $i = 2$.
			*Der Korrelationsempfänger entscheidet sich also für $V = Q_2$.
			*Da keine Störungen auftreten, wurde tatsächtlich auch $Q_2 =$ &bdquo;$\rm 010$” gesendet   ⇒   $\underline { k= 2}$.


	'''(3)'''  Für die Entscheidungswerte von ~~'''~~System A~~'''~~ gilt:		'''(3)'''  Für die Entscheidungswerte von System  $\rm A$  gilt:
	:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$		:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -0.07 - 0.50 = -0.57, $$
	:$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$		:$$W_2 = 1.13 - 0.50 = 0.63, \hspace{0.2cm}W_3 = 1.06 - 1.00 = 0.06 \hspace{0.05cm},$$
Zeile 101:		Zeile 103:
	:$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$		:$$W_6 = 1.18 - 1.00 = 0.18, \hspace{0.2cm}W_7 = 1.11 - 1.50 = -0.39 \hspace{0.05cm}.$$

	Das Maximum ist $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.		*Das Maximum ist $W_j = W_2$   ⇒   $\underline { j= 2}$.
	*Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System ~~<b>~~A~~</b>~~ die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.		*Das heißt, dass der Korrelationsempfänger auch bei System  $\rm A$  die richtige Entscheidung $V = Q_2$ trifft.
	*Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.		*Ohne den Korrekturterm $(– E_i/2)$ hätte der Empfänger allerdings die falsche Entscheidung $V = Q_6$ getroffen.


	'''(4)'''  Der Korrelationsempfänger ~~<b>~~C~~</b>~~ hat folgende Werte zu vergleichen:		'''(4)'''  Der Korrelationsempfänger  $\rm C$  hat folgende Werte zu vergleichen:
	:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 =		:$$W_0 = 0.00 - 0.00 = 0.00, \hspace{0.2cm}W_1 = -1.31 - 0.50 =
	-1.81		-1.81
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	*Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.		*Da aber $Q_2$ gesendet wurde, entscheidet hier der Korrelationsempfänger falsch.
	*Die Störungen sind zu stark.		*Die Störungen sind zu stark.



	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*Die Störungen sind bei ~~'''~~System C~~'''~~ am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.		*Die Störungen sind bei System  $\rm C$  am größten und für die aktuellen Empfangswerte sogar so groß, dass der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung trifft.



	'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		'''(6)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	*Im fehlerfreien Fall (System B) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.		*Im fehlerfreien Fall (System  $\rm B$) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.5$ und den nächstgrößten Werten $W_0 = W_3 = W_6 = 0$ jeweils gleich $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} =0.5$.
	*Bei System A (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$. Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.		*Bei System  $\rm A$  (leichte Störungen) ist die Differenz zwischen $W_2 = 0.63$ und dem nächstgrößeren Wert $W_6 = 0.18$ immerhin noch $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.45$.
	*Für das System C, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe (4), wurde eine gegenüber dem System A um den Faktor 400 größere Rauschleistung zugrundegelegt.		*Erhöht man die Rauschleistung um den Faktor $50$, so entscheidet der Korrelationsempfänger immer noch richtig, doch ist dann die minimale Differenz $D_{\hspace{0.02cm}\rm min} = 0.16$ deutlich kleiner.
	*Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden. Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist &bdquo;Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.		*Für das System  $\rm C$, bei dem der Korrelationsempfänger überfordert ist   ⇒   Teilaufgabe '''(4)''', wurde eine gegenüber dem System  $\rm A$  um den Faktor 400 größere Rauschleistung zugrundegelegt.
			*Entscheidet der Korrelationsempfänger die gesendete Folge $Q_2$ falsch, so ist eine Verfälschung zu den Folgen $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ am wahrscheinlichsten, da sich alle diese drei Folgen von $Q_2$ nur jeweils in einem Bit unterscheiden.
			*Dass bei der beschriebenen Simulation $W_6$ stets größer ist als $W_0$ bzw. $W_3$, ist &bdquo;Zufall” und sollte nicht überinterpretiert werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 7. März 2019 um 09:47 Uhr

2019-03-07T09:47:53Z

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	[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]		[[Datei:P_ID1464__Dig_A_3_9.png\|right\|frame\|Beispielhafte Korrelationswerte]]
	Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von $N = 3$ Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die $M = 8$ möglichen Quellensymbolfolgen $Q_i$ besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:		Betrachtet wird die gemeinsame Entscheidung von  $N = 3$  Binärsymbolen (Bit) mittels des Korrelationsempfängers. Die  $M = 8$  möglichen Quellensymbolfolgen  $Q_i$  besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit und sie sind durch die folgenden unipolaren Amplitudenkoeffizienten festgelegt:
	:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011		:$$Q_0 = 000, \hspace{0.15cm}Q_1 = 001,\hspace{0.15cm}Q_2 = 010,\hspace{0.15cm}Q_3 = 011
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
	~~:$$~~Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111		Q_4 = 100, \hspace{0.15cm}Q_5 = 101,\hspace{0.15cm}Q_6 = 110,\hspace{0.15cm}Q_7 = 111
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter gilt:		Weiter gilt:
	*Die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ – jeweils mit der Dauer $3T$ – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von $s_0(t) \equiv 0$.		*Die möglichen Sendesignale  $s_i(t)$  – jeweils mit der Dauer  $3T$  – sind alle rechteckförmig mit Ausnahme von  $s_0(t) \equiv 0$.
	*Die Signale $s_1(t)$, $s_2(t)$, und $s_4(t)$ mit nur jeweils einer &bdquo;$1$” besitzen die Signalenergie $E_{\rm B}$ (steht für &bdquo;Energie pro Bit”), während zum Beispiel die Energie von $s_7(t)$ gleich $3E_{\rm B}$ ~~beträgt~~.		*Die Signale  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_4(t)$  mit nur jeweils einer &bdquo;$1$” besitzen die Signalenergie  $E_{\rm B}$  (steht für &bdquo;Energie pro Bit”), während zum Beispiel die Energie von  $s_7(t)$  gleich  $3E_{\rm B}$ ist.


	Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal $r(t) = s(t) + n(t)$ insgesamt $2^3 = 8$ Entscheidungsgrößen (Metriken)		Der Korrelationsempfänger bildet aus dem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  insgesamt  $2^3 = 8$  Entscheidungsgrößen (Metriken)
	:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}		:$$W_i = I_i - {E_i}/{2 }\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
	I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t		I_i =\int_{0}^{3T} r(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t
	\hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)$$		\hspace{0.3cm}( i = 0,\text{...} , 7)$$

	und setzt die Sinkensymbolfolge $V = Q_j$, falls $W_j$ größer ist als alle anderen $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.		und setzt die Sinkensymbolfolge  $V = Q_j$, falls  $W_j$  größer ist als alle anderen  $W_{i \ne j}$. Damit trifft er eine optimale Entscheidung im Sinne von Maximum–Likelihood.


	In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte $I_0, \ ... \ , I_7$ für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen $n(t)$ unterscheiden und mit ~~<b>~~A~~</b>~~, ~~<b>~~B~~</b>~~ oder ~~<b>~~C~~</b>~~ bezeichnet werden.		In der Tabelle sind die (unkorrigierten) Korrelationswerte  $I_0, \ \text{...} \ , I_7$  für drei verschiedene Systeme angegeben, die sich hinsichtlich der Störungen  $n(t)$  unterscheiden und mit  $\rm A$,  $\rm B$  oder  $\rm C$  bezeichnet werden.
	*Eine dieser Spalten steht für &bdquo;keine Störung”,		*Eine dieser Spalten steht für &bdquo;keine Störung”,
	*eine für &bdquo;geringe Störungen” und		*eine für &bdquo;geringe Störungen” und
	*eine weitere für &bdquo;starke Störungen”.		*eine weitere für &bdquo;starke Störungen”.


	Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.		Zur Bestimmung der Metriken für die drei Systemvarianten wurde stets die gleiche Quellensymbolfolge gesendet.


	''~~Hinweise~~:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].


			''Hinweis:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].


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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Bei welchem System gibt es keine Störungen $n(t)$? Bei		{Bei welchem System gibt es keine Störungen  $n(t)$? Bei
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $\rm System \ A$,		- $\rm System \ A$,
	+ $\rm System \ B$,		+ $\rm System \ B$,
	- $\rm System \ C$.		- $\rm System \ C$.

	{Welche Quellensymbolfolge $Q_k ∈ {Q_0, \ ... \ , Q_7}$ wurde tatsächtlich gesendet?		{Welche Quellensymbolfolge  $Q_k ∈ {Q_0, \ \text{...} \ , Q_7}$  wurde tatsächtlich gesendet?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$k \ = \ $ { 2 }		$k \ = \ $ { 2 }

	{Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist bei System A am größten?		{Welcher Entscheidungswert  $W_j$  ist bei System  $\rm A$  am größten?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 2 }		${\rm System \ A} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 2 }

	{Welcher Entscheidungswert $W_j$ ist beim System C am größten?		{Welcher Entscheidungswert  $W_j$  ist beim System  $\rm C$  am größten?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 }		${\rm System \ C} \text{:} \hspace{0.2cm} j \ = \ $ { 6 }
Zeile 62:		Zeile 67:
	+ $\rm System \ C$.		+ $\rm System \ C$.

	{Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass $Q_2$ gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für $Q_2$ entscheidet?		{Welche Aussagen gelten unter der Annahme, dass  $Q_2$  gesendet wurde und der Korrelationsempfänger sich normalerweise auch für  $Q_2$  entscheidet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Differenz zwischen $W_2$ und dem nächstgrößten Wert $W_{i \ne 2}$ ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind.		+ Die Differenz zwischen  $W_2$  und dem nächstgrößten Wert  $W_{i \ne 2}$  ist um so kleiner, je stärker die Störungen sind.
	- Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge $Q_6$.		- Wenn es zu einer Verfälschung kommt, dann entscheidet sich der Empfänger am wahrscheinlichsten für die Symbolfolge  $Q_6$.
	+ Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von $Q_0$, $Q_3$ bzw. $Q_6$ sind gleich.		+ Die Wahrscheinlichkeiten für fehlerhafte Entscheidungen zugunsten von  $Q_0$,  $Q_3$  bzw.  $Q_6$  sind gleich.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:46Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Zeile 32:		Zeile 32:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien\|Optimale Empfängerstrategien]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-04T06:30:12Z

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2017-11-15T17:12:39Z

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(kein Unterschied)