Aufgaben:Aufgabe 2.9: Korrelationsdauer - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juni 2020 um 16:32 Uhr

2020-06-04T16:32:15Z

Guenter am 4. Juni 2020 um 16:19 Uhr

2020-06-04T16:19:10Z

Guenter am 14. April 2019 um 12:08 Uhr

2019-04-14T12:08:56Z

Guenter am 14. April 2019 um 12:01 Uhr

2019-04-14T12:01:34Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 6. Dezember 2017 um 17:02 Uhr

2017-12-06T17:02:33Z

Guenter am 6. Dezember 2017 um 16:54 Uhr

2017-12-06T16:54:48Z

Guenter am 6. Dezember 2017 um 16:49 Uhr

2017-12-06T16:49:29Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.9 Korrelationsdauer nach Aufgaben:Aufgabe 2.9: Korrelationsdauer

2017-12-06T16:41:20Z

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Hussain am 21. November 2017 um 12:44 Uhr

2017-11-21T12:44:31Z

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Doppler&ndash;WDF und Doppler&ndash;LDS sind im allgemeinen nur formgleich.
-*Da aber im betrachteten Beispiel das Integral über ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ gleich $1$ ist, erkennbar am Korrelationswert $\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0) = 1$, trifft hier sogar die Identität zu.
+*Da aber im betrachteten Beispiel das Integral über&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist, erkennbar am Korrelationswert&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0) = 1$, trifft hier sogar die Identität zu.
-*Bei anderer Wahl des Rayleigh&ndash;Paramters $\sigma$ würde dies allerdings nicht gelten.
+*Bei anderer Wahl des Rayleigh&ndash;Paramters&nbsp; $\sigma$&nbsp; würde dies allerdings nicht gelten.
 '''(2)'''&nbsp; Aus der Achsensymmetrie von ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ erkennt man, dass der Mittelwert $m_{\rm D} = {\rm E}\big[f_{\rm D}\big] = 0$ ist.
-*Die Varianz der Zufallsgröße $f_{\rm D}$ kann somit direkt als quadratischer Mittelwert berechnet werden:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der Achsensymmetrie von&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; erkennt man, dass der Mittelwert&nbsp; $m_{\rm D} = {\rm E}\big[f_{\rm D}\big] = 0$&nbsp; ist.
 :$$\sigma_{\rm D}^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\rm D}^2 \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d} f_{\rm D} = \int_{-f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}^{+f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \frac{f_{\rm D}^2}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left ({f_{\rm D}}/{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.15cm}{\rm d} f_{\rm D}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Unter Ausnutzung der Symmetrie und mit der Substitution $u = f_{\rm D}/f_{\rm D, \ max}$ ergibt sich daraus:
+*Unter Ausnutzung der Symmetrie und mit der Substitution&nbsp; $u = f_{\rm D}/f_{\rm D, \ max}$&nbsp; ergibt sich daraus:
 :$$\sigma_{\rm D}^2 = \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}} \hspace{0.15cm}{\rm d} u
   \hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 98: / Zeile 99: @@
 \\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz} \\ \end{array}
   \hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
-'''(4)'''&nbsp; Die Korrelationsdauer $T_{\rm D}$ ergibt sich aus der Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$. $T_{\rm D}$ ist derjenige $\Delta t$&ndash;Wert, bei dem $|\varphi_{\rm Z}(\Delta t)|$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgeklungen ist. Es muss gelten:
+'''(4)'''&nbsp; Die Korrelationsdauer&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; ergibt sich aus der Zeitkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$.&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; ist derjenige&nbsp; $\Delta t$&ndash;Wert, bei dem&nbsp; $|\varphi_{\rm Z}(\Delta t)|$&nbsp; auf die Hälfte seines Maximalwertes abgeklungen ist.&nbsp; Es muss gelten:
 :$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D}) \stackrel {!}{=} 0.5 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D} = 1.52
@@ Zeile 115: / Zeile 117: @@
-'''(5)'''&nbsp; In den Teilaufgaben '''(2)''' und '''(4)''' haben wir erhalten:
+'''(5)'''&nbsp; In den Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; haben wir erhalten:
 :$$B_{\rm D} =  \frac{ f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm D} =  \frac{1.52}{2 \pi f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} =  \frac{1.52}{\sqrt{2} \cdot 2 \pi } \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.171}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2180__Mob_A_2_9.png|right|frame|Doppler–Leistungsdichtespektrum und Zeit&ndash;Korrelationsfunktion]]
-Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh&ndash;Fadings durch das&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; beschrieben. Mit dem Rayleigh&ndash;Parameter&nbsp; $\sigma = \sqrt{0.5}$&nbsp;  gilt für dieses im Doppler&ndash;Frequenzbereich&nbsp; $|f_{\rm D}| &#8804; f_{\rm D, \ max}$:
+Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh&ndash;Fadings durch das&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; beschrieben.
 :$${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) =  \frac{1}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left (\frac{f_{\rm D}}{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Funktion ist für&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; (blaue Kurve) und&nbsp;  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; (rote Kurve) skizziert.
+*Diese Funktion ist für&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; (blaue Kurve) und&nbsp;  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; (rote Kurve) skizziert.
-Die Funktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; ist die Fourierrücktransformierte des Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f)$:
 :$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t ) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.$$
-${\rm J}_0$&nbsp; bezeichnet die <i>Besselfunktion nullter Ordnung</i>. Die ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; ist unten gezeichnet, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
+${\rm J}_0$&nbsp; bezeichnet die <i>Besselfunktion nullter Ordnung</i>.&nbsp; Die ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; ist unten gezeichnet, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
 Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich eine Kenngröße ableiten:
-* Die &nbsp;<b>Dopplerverbreiterung</b>&nbsp; $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; und gibt dessen Streuung $\sigma_{\rm D}$ an.
+* Die &nbsp;<b>Dopplerverbreiterung</b>&nbsp; $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; und gibt dessen Streuung&nbsp; $\sigma_{\rm D}$&nbsp; an.
-::Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes&ndash;Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz&nbsp; $\sigma_{\rm D}^2$&nbsp; nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[f_{\rm D}^2\big]$&nbsp; ist. Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; aus dem Verzögerungs&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
+::Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes&ndash;Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz&nbsp; $\sigma_{\rm D}^2$&nbsp; nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[f_{\rm D}^2\big]$&nbsp; ist.&nbsp; Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; aus dem Verzögerungs&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
 * Die&nbsp; <b>Korrelationsdauer</b> $T_{\rm D}$&nbsp; bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp;.
-:: $T_{\rm D}$&nbsp; gibt denjenigen&nbsp; $\Delta t$&ndash;Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte des Maximums $($bei&nbsp; $\Delta t = 0)$&nbsp; abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; aus der Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
+:: $T_{\rm D}$&nbsp; gibt denjenigen&nbsp; $\Delta t$&ndash;Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte des Maximums $($bei&nbsp; $\Delta t = 0)$&nbsp; abgefallen ist.&nbsp; Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; aus der Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Dopplerfrequenz im vorliegenden Beispiel zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; der Dopplerfrequenz im vorliegenden Beispiel zu?
 |type="[]"}
 + Die Doppler&ndash;WDF ist immer formgleich mit dem Doppler&ndash;LDS.

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-'''(2)'''&nbsp; Aus der Achsensymmetrie von ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ erkennt man, dass der Mittelwert $m_{\rm D} = {\rm E}[f_{\rm D}] = 0$ ist. Die Varianz der Zufallsgröße $f_{\rm D}$ kann somit direkt als quadratischer Mittelwert berechnet werden:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der Achsensymmetrie von ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ erkennt man, dass der Mittelwert $m_{\rm D} = {\rm E}\big[f_{\rm D}\big] = 0$ ist.
 :$$\sigma_{\rm D}^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\rm D}^2 \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d} f_{\rm D} = \int_{-f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}^{+f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \frac{f_{\rm D}^2}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left ({f_{\rm D}}/{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.15cm}{\rm d} f_{\rm D}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Unter Ausnutzung der Symmetrie und mit der Substitution $u = f_{\rm D}/f_{\rm D, \ max}$ ergibt sich daraus:
+*Unter Ausnutzung der Symmetrie und mit der Substitution $u = f_{\rm D}/f_{\rm D, \ max}$ ergibt sich daraus:
 :$$\sigma_{\rm D}^2 = \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}} \hspace{0.15cm}{\rm d} u
   \hspace{0.05cm}. $$
-Mit dem auf der Angabenseite angegebenen Integral erhält man weiter:
+*Mit dem auf der Angabenseite angegebenen Integral erhält man weiter:
 :$$\sigma_{\rm D}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \left [ -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u) \right ]_0^1 = \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \frac{2}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2}{2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Dopplerverbreiterung ist gleich der Streuung, also der Wurzel aus der Varianz:
+*Die Dopplerverbreiterung ist gleich der Streuung, also der Wurzel aus der Varianz:
 :$$B_{\rm D} = \sigma_{\rm D}  = \frac{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}{\sqrt{2}}= \left\{ \begin{array}{c} \underline{35.35\,{\rm Hz}}\\
   \underline{70.7\,{\rm Hz}}   \end{array} \right.\quad
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 '''(3)'''&nbsp; Mit den angegebenen Besselwerten erhält man
-* für $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$:
+* für die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$:
 :$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5\,{\rm ms}) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot 50\,{\rm Hz} \cdot 5\,{\rm ms} ) = {\rm J}_0(\pi/2) \hspace{0.1cm} \underline {= 0.472} \hspace{0.05cm},$$
-* für $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$:
+* für die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$:
 :$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5\,{\rm ms}) =   {\rm J}_0(\pi) \hspace{0.1cm} \underline {= -0.305} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
-'''(5)'''&nbsp; In den Teilaufgaben (2) und (4) haben wir erhalten:
+'''(5)'''&nbsp; In den Teilaufgaben '''(2)''' und '''(4)''' haben wir erhalten:
 :$$B_{\rm D} =  \frac{ f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm D} =  \frac{1.52}{2 \pi f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} =  \frac{1.52}{\sqrt{2} \cdot 2 \pi } \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.171}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell}}
-[[Datei:P_ID2180__Mob_A_2_9.png|right|frame|Doppler–Leistungsdichtespektrum und Zeitkorrelationsfunktion]]
+[[Datei:P_ID2180__Mob_A_2_9.png|right|frame|Doppler–Leistungsdichtespektrum und Zeit&ndash;Korrelationsfunktion]]
-Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh&ndash;Fadings durch das [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Jakes&ndash;Spektrum]] beschrieben. Mit dem Rayleigh&ndash;Parameter $\sigma = \sqrt{0.5}$  gilt für dieses im Doppler&ndash;Frequenzbereich $|f_{\rm D}| &#8804; f_{\rm D, \ max}$:
+Im Frequenzbereich wird der Einfluss des Rayleigh&ndash;Fadings durch das&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading| Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; beschrieben. Mit dem Rayleigh&ndash;Parameter&nbsp; $\sigma = \sqrt{0.5}$&nbsp;  gilt für dieses im Doppler&ndash;Frequenzbereich&nbsp; $|f_{\rm D}| &#8804; f_{\rm D, \ max}$:
 :$${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D}) =  \frac{1}{ \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \sqrt{1 - \left (\frac{f_{\rm D}}{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} \right )^2} } \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Funktion ist für $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$ (blaue Kurve) und  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ (rote Kurve) skizziert.
+Diese Funktion ist für&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 50 \ \rm Hz$&nbsp; (blaue Kurve) und&nbsp;  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; (rote Kurve) skizziert.
-Die Funktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist die Fourierrücktransformierte des Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_{\rm D}(f)$:
+Die Funktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; ist die Fourierrücktransformierte des Doppler&ndash;Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f)$:
 :$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t ) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.$$
-${\rm J}_0$ bezeichnet die <i>Besselfunktion nullter Ordnung</i>. Diese ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ ist unten gezeichnet, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
+${\rm J}_0$&nbsp; bezeichnet die <i>Besselfunktion nullter Ordnung</i>. Die ebenfalls symmetrische Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; ist unten gezeichnet, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte.
 Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich eine Kenngröße ableiten:
-* Die <b>Dopplerverbreiterung</b> $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler&ndash;LDS ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ und gibt dessen Streuung $\sigma_{\rm D}$ an. Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes&ndash;Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz $\sigma_{\rm D}^2$ nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert ${\rm E}[f_{\rm D}^2]$ ist. Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung $T_{\rm V}$ aus dem Verzögerungs&ndash;LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
+* Die &nbsp;<b>Dopplerverbreiterung</b>&nbsp; $B_{\rm D}$ bezieht sich auf das Doppler&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; und gibt dessen Streuung $\sigma_{\rm D}$ an.
-* Die <b>Korrelationsdauer</b> $T_{\rm D}$ bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ und gibt denjenigen $\Delta t$&ndash;Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte des Maximums (bei $\Delta t = 0$) abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ aus der Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
+::Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes&ndash;Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz&nbsp; $\sigma_{\rm D}^2$&nbsp; nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[f_{\rm D}^2\big]$&nbsp; ist. Die Berechnung geschieht analog zur Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; aus dem Verzögerungs&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].
@@ Zeile 21: / Zeile 24: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabegehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
+* Die Aufgabegehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
-* Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
+* Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
 * Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
 :$$\int \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}} \hspace{0.15cm}{\rm d} u = -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung (${\rm J}_0$):
+* Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung&nbsp; $({\rm J}_0)$:
-:$${\rm J}_0(\pi/2) = 0.472\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(1.52) = 0.500\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(\pi) = -0.305\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm J}_0(2\pi) = 0.221
+:$${\rm J}_0(\pi/2) = 0.472\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm J}_0(1.52) = 0.500\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm J}_0(\pi) = -0.305\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm J}_0(2\pi) = 0.221
    \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 40: @@
 {Welche Aussagen treffen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Dopplerfrequenz im vorliegenden Beispiel zu?
 |type="[]"}
-+ Die Doppler&ndash;WDF ist identisch mit dem Doppler&ndash;LDS.
++ Die Doppler&ndash;WDF ist immer formgleich mit dem Doppler&ndash;LDS.
-+ Die Doppler&ndash;WDF ist nur formgleich mit dem Doppler&ndash;LDS.
++ Die Doppler&ndash;WDF ist hier identisch mit dem Doppler&ndash;LDS.
 - Doppler&ndash;WDF und Doppler&ndash;LDS unterscheiden sich grundsätzlich.
-{Bestimmen Sie die Dopplerverbreiterungen $B_{\rm D}$.
+{Bestimmen Sie die Dopplerverbreiterungen&nbsp; $B_{\rm D}$.
 |type="{}"}
 $f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.6cm} B_{\rm D} \ = \ ${ 35.35 3% } $\ \rm Hz$
 $f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm D} \ = \ ${ 70.7 3% } $\ \rm Hz$
-{Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für $\Delta t = 5 \ \rm ms$?
+{Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für&nbsp; $\Delta t = 5 \ \rm ms$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.6cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ ${ 0.472 3% }
 $f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ ${ -0.31415--0.29585 }
-{Wie groß sind die Korrelationsdauern $T_{\rm D}$ für beide Parametersätze?
+{Wie groß sind die Korrelationsdauern&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; für beide Parametersätze?
 |type="{}"}
 $f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.6cm} T_{\rm D} \ = \ ${ 4.84 3% } $\ \rm ms$
 $f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm D} \ = \ ${ 2.42 3% } $\ \rm ms$
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Dopplerverbreiterung $B_{\rm D}$ und der Korrelationsdauer $T_{\rm D}$, ausgehend vom Jakes&ndash;Spektrum?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Dopplerverbreiterung&nbsp; $B_{\rm D}$&nbsp; und der Korrelationsdauer&nbsp; $T_{\rm D}$, ausgehend vom Jakes&ndash;Spektrum?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} \approx 1$,
 - $B_{\rm D} \cdot T_{\rm D} \approx 0.5$,

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 :$${\rm J}_0(\pi/2) = 0.472\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(1.52) = 0.500\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm J}_0(\pi) = -0.305\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm J}_0(2\pi) = 0.221
    \hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 {Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für $\Delta t = 5 \ \rm ms$?
 |type="{}"}
-$f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.6cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \hspace{0.55cm} = \ ${ 0.472 3% }
+$f_{\rm D, \ max} = 50 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.6cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ ${ 0.472 3% }
 $f_{\rm D, \ max} = 100 \ {\rm Hz} \text{:} \hspace{0.4cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t = 5 \ \rm ms) \ = \ ${ -0.31415--0.29585 }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Doppler&ndash;WDF und Doppler&ndash;LDS sind im allgemeinen nur formgleich. Da aber im betrachteten Beispiel das Integral über ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ gleich $1$ ist, erkennbar am Korrelationswert $\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0) = 1$, trifft hier sogar die Identität zu. Bei anderer Wahl des Rayleigh&ndash;Paramters $\sigma$ würde dies allerdings nicht gelten.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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 Mit dem auf der Angabenseite angegebenen Integral erhält man weiter:
-:$$\sigma_{\rm D}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \left [ -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u) \right ]_0^1 =$$
+:$$\sigma_{\rm D}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \left [ -\frac{u}{2} \cdot \sqrt{1-u^2} + \frac{1}{2} \cdot {\rm arcsin}\,(u) \right ]_0^1 = \frac{2}{\pi} \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2 \cdot \frac{2}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}^2}{2}
   \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(4)'''&nbsp; Die Korrelationsdauer $T_{\rm D}$ ergibt sich aus der Zeitkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$. $T_{\rm D}$ ist derjenige $\Delta t$&ndash;Wert, bei dem $|\varphi_{\rm Z}(\Delta t)|$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgeklungen ist. Es muss gelten:
-:$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D}) \stackrel {!}{=} 0.5 $$
+:$$\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) =  {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D}) \stackrel {!}{=} 0.5 \hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D} = 1.52
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot T_{\rm D} = 1.52
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm D} = \frac{1.52}{2 \pi f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} = \frac{0.242}{ f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 4.84\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm},$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 50\,{\rm Hz}\text{:} \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 4.84\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz}\text{:} \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 2.42\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm}.  $$

← Nächstältere Version	Version vom 6. Dezember 2017, 16:41 Uhr
(kein Unterschied)

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   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm D} = \frac{1.52}{2 \pi f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}} = \frac{0.242}{ f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 4.84\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm},$$
-:$$\hspace{1.5cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 2.42\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm}.  $$
+:$$\hspace{0.8cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm} \ : \ \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} T_{\rm D} \hspace{0.1cm} \underline {\approx 2.42\,{\rm ms}}  \hspace{0.05cm}.  $$