Aufgaben:Aufgabe 2.8: Unsymmetrischer Kanal - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Februar 2022 um 13:17 Uhr

2022-02-15T13:17:29Z

Guenter am 15. Februar 2022 um 13:09 Uhr

2022-02-15T13:09:32Z

Guenter am 16. März 2020 um 17:20 Uhr

2020-03-16T17:20:41Z

Guenter am 16. März 2020 um 17:02 Uhr

2020-03-16T17:02:00Z

Guenter am 16. März 2020 um 17:01 Uhr

2020-03-16T17:01:11Z

Guenter am 17. Dezember 2018 um 09:04 Uhr

2018-12-17T09:04:30Z

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2018-12-17T08:56:35Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:54Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:20:35Z

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Guenter am 30. Juni 2017 um 17:13 Uhr

2017-06-30T17:13:32Z

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-'''(3)'''&nbsp;  Die für einen Umlauf benötigte Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; ist gleich der Periodendauer des Quellensignals, also
+'''(3)'''&nbsp;  Die für einen Umlauf benötigte Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; ist gleich der Periodendauer des Quellensignals,&nbsp; also
 :$$t_1= 1/f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {=0.5 \ \rm ms}.$$
-'''(4)'''&nbsp;  Da das USB größer ist als das OSB, bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn.
+'''(4)'''&nbsp;  Da das USB größer ist als das OSB,&nbsp; bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn.
 *Der Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$&nbsp; zum ersten Mal erreicht.
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-'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für&nbsp; $v(t)$&nbsp; $($gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz)$&nbsp; ermittelt werden und  lauten:
+'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für&nbsp; $v(t)$&nbsp;  ermittelt werden und  lauten&nbsp; $($gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz)$:
 :$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$
 *Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor:
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 *Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$:
 :$$\rho_{v} = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
-*Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren&nbsp; $\rm SNR$.&nbsp; &nbsp;
+*Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen,&nbsp; so käme man zu einem deutlich kleineren&nbsp; $\rm SNR$.&nbsp; &nbsp;
 *Mit $P_q = A_{\rm N}^2/2 = 8 \ \rm V^2$&nbsp; und&nbsp; $P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = {1}/{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$&nbsp; würde man dann erhalten:
 :$$\rho_{v }\hspace{0.02cm}' = \frac{8 \,{\rm V}^2}{1.254 \,{\rm V}^2} \approx 6.4\hspace{0.05cm}.$$
-'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N}$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin&nbsp; $α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; beträgt.
+'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N}$,&nbsp; wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin&nbsp; $α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; beträgt.
 *Damit erhält man auch für&nbsp; $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$&nbsp; den gleichen Klirrfaktor&nbsp; $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1038__Mod_A_2_8.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass–Signal <br>in der komplexen Ebene]]
-Ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N}$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; wird ZSB–amplitudenmoduliert, so dass für das modulierte Signal gilt:
+Ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N}$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; wird ZSB–amplitudenmoduliert,&nbsp; so dass für das modulierte Signal gilt:
 :$$ s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
 Der Übertragungskanal weist lineare Verzerrungen auf:
-*Während das untere Seitenband $($USB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} - f_{\rm N})$&nbsp; und auch der Träger unverfälscht übertragen werden,
+*Während das untere Seitenband&nbsp; $($USB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} - f_{\rm N})$&nbsp; und auch der Träger unverfälscht übertragen werden,
-*wird das obere Seitenband $($OSB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} + f_{\rm N})$&nbsp; mit dem Dämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; gewichtet.
+*wird das obere Seitenband&nbsp; $($OSB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} + f_{\rm N})$&nbsp; mit dem Dämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; gewichtet.
-Die Grafik zeigt die Ortskurve, also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.
+Die Grafik zeigt die Ortskurve,&nbsp; also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.
-Wertet man das Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; mit einem idealen Hüllkurvendemodulator aus, so erhält man ein Sinkensignal &nbsp;$v(t)$, das wie folgt angenähert werden kann:
+Wertet man das Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; mit einem idealen Hüllkurvendemodulator aus,&nbsp; so erhält man ein Sinkensignal &nbsp;$v(t)$,&nbsp; das wie folgt angenähert werden kann:
 :$$v(t) = 2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t ) -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )-\text{ ...}$$
 Für diese Messung wurde die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; benutzt.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
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 $t_2 \ = \ $ { 0.375 3% } $\ \rm ms$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion (Hüllkurve)  &nbsp;$a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für diesen Zeitpunkt &nbsp;$t_2$.
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; ("Hüllkurve")  &nbsp;$a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für diesen Zeitpunkt &nbsp;$t_2$.
 |type="{}"}
 $a(t = t_2) \ = \ $ { 10.44 3% } $\ \rm V$

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 '''(1)'''&nbsp;  Bei cosinusförmigem Quellensignal und Dämpfung des oberen Seitenbandes gilt:
 :$$ r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \alpha_{\rm O} \cdot{\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot{\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t}\hspace{0.05cm}.$$
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse.
-*Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite $r_{\rm TP}(t = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 15 \ \rm V}$ abgelesen werden.
+*Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite&nbsp; $r_{\rm TP}(t = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 15 \ \rm V}$&nbsp; abgelesen werden.
 '''(2)'''&nbsp;  Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt: $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm V}$.
-*Aus der in der ersten Teilaufgabe angegebenen Gleichung kann somit auch die Amplitude $A_{\rm N}$ berechnet werden:
+'''(2)'''&nbsp;  Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt:&nbsp; $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm V}$.
 :$$ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1+ \alpha_0) = r_{\rm TP}(t= 0) - A_{\rm T} = 5 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Kontrolle kann der in der Grafik markierte Punkt '''(2)''' herangezogen werden:
+*Zur Kontrolle kann der in der Grafik markierte Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; herangezogen werden:
 :$$\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1- \alpha_0) = 3 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} = 8 \,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp;  Die für einen Umlauf benötigte Zeit $t_1$ ist gleich der Periodendauer des Quellensignals, also $t_1= 1/f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {=0.5 \ \rm ms}$.
 '''(4)'''&nbsp;  Da das USB größer ist als das OSB, bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn.
-*Der Punkt '''(2)''' wird zum Zeitpunkt $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$ zum ersten Mal erreicht.
+*Der Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$&nbsp; zum ersten Mal erreicht.
-[[Datei:P_ID1039__Mod_A_2_8_e.png|right|frame|Zur Berechnung von <i>t</i><sub>2</sub> und <i>t</i><sub>3</sub>]]
+[[Datei:P_ID1039__Mod_A_2_8_e.png|right|frame|Zur Berechnung von&nbsp; $t_2$&nbsp; und&nbsp; $t_3$]]
-'''(5)'''&nbsp;  Die Zeigerlänge zur Zeit $t_2$ kann mit dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satz von Pythagoras] bestimmt werden:
+'''(5)'''&nbsp;  Die Zeigerlänge zur Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; kann mit dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satz von Pythagoras]&nbsp; bestimmt werden:
 :$$ a(t = t_2) = \sqrt{(10 \,{\rm V})^2 + (3 \,{\rm V})^2}\hspace{0.15cm}\underline { = 10.44 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-Für die Phasenfunktion gilt:
+*Für die Phasenfunktion gilt:
 :$$\phi(t = t_2) = {\rm arctan} \frac{3 \,{\rm V}}{10 \,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 16.7^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die maximale Phase $ϕ_{\rm max}$ ist geringfügig größer. Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt $t_3 < t_2$ dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert.
+*Die maximale Phase&nbsp; $ϕ_{\rm max}$&nbsp; ist geringfügig größer.&nbsp; Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt&nbsp; $t_3 < t_2$&nbsp; dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert.
-*Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt ($x_3$, $y_3$) analytisch exakt berechnet werden.
+*Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt&nbsp; $(x_3$,&nbsp; $y_3)$&nbsp; analytisch exakt berechnet werden.
-*Daraus würde für die maximale Phase gelten: $\phi_{\rm max} = {\rm arctan} \ {y_3}/{x_3} \hspace{0.05cm}.$
+*Daraus würde für die maximale Phase gelten:&nbsp; $\phi_{\rm max} = {\rm arctan} \ {y_3}/{x_3} \hspace{0.05cm}.$
-'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für $v(t)$ (gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$)ermittelt werden und  lauten:
+'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für&nbsp; $v(t)$&nbsp; $($gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz)$&nbsp; ermittelt werden und  lauten:
 :$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$
 *Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor:
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 '''(7)'''&nbsp;  Für die Leistungen von Nutz– und Störsignal erhält man:
 :$$ P_{v 1} = \frac{(2.424 \,{\rm V})^2}{2} = 2.94 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} P_{\varepsilon} = \frac{(-0.148 \,{\rm V})^2}{2} + \frac{(0.056 \,{\rm V})^2}{2}= 0.0125 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}$$
-*Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR):
+*Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$:
 :$$\rho_{v} = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
-*Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren SNR. Mit $P_q = A_{\rm N}^2/2 = 8 \ \rm V^2$ und $P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = {1}/{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$ würde man dann erhalten:
+*Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren&nbsp; $\rm SNR$.&nbsp; &nbsp;
 :$$\rho_{v }\hspace{0.02cm}' = \frac{8 \,{\rm V}^2}{1.254 \,{\rm V}^2} \approx 6.4\hspace{0.05cm}.$$
-'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin $α_{\rm O} = 0.25$ beträgt.
+'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N}$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin&nbsp; $α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; beträgt.
-*Damit erhält man auch für $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$ den gleichen Klirrfaktor $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.
+*Damit erhält man auch für&nbsp; $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$&nbsp; den gleichen Klirrfaktor&nbsp; $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].

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 }}
-[[Datei:P_ID1038__Mod_A_2_8.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass–Signal in der komplexen Ebene]]
+[[Datei:P_ID1038__Mod_A_2_8.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass–Signal <br>in der komplexen Ebene]]
 Ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N}$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; wird ZSB–amplitudenmoduliert, so dass für das modulierte Signal gilt:
 :$$ s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
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 Für diese Messung wurde die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; benutzt.
-In der Teilaufgabe '''(7)''' soll das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR) wie folgt berechnet werden:
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; soll das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; wie folgt berechnet werden:
 :$$ \rho_{v } = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnen &nbsp;$P_{v1} = α^2 · P_q$&nbsp; und &nbsp;$P_ε$&nbsp; die „Leistungen” der beiden Signale:
 :$$ v_1(t)  =  2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \varepsilon(t)  =  v(t) - v_1(t) \approx -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das Tiefpass-Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in analytischer Form an. Welcher Wert ergibt sich für die Zeit  &nbsp;$t = 0$?
+{Geben Sie das Tiefpass-Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in analytischer Form an.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für die Zeit  &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $r_{\rm TP}(t=0) \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm V$
@@ Zeile 48: / Zeile 50: @@
 $A_{\rm N} \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm V$
-{Es gelte &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$. Zu welcher Zeit &nbsp;$t_1$&nbsp; wird der Startpunkt '''(1)''' zum ersten Mal nach &nbsp;$t = 0$&nbsp; wieder erreicht?
+{Es gelte &nbsp;$f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline{= 2 \ \rm kHz}$.&nbsp; Zu welcher Zeit &nbsp;$t_1$&nbsp; wird der Startpunkt&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zum ersten Mal nach &nbsp;$t = 0$&nbsp; wieder erreicht?
 |type="{}"}
 $t_1 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm ms$
-{Zu welchem Zeitpunkt &nbsp;$t_2$&nbsp; wird der Ellipsenpunkt '''(2)''' mit dem Wert &nbsp;$\rm j · 3\ V$&nbsp; zum ersten Mal erreicht?
+{Zu welchem Zeitpunkt &nbsp;$t_2$&nbsp; wird der Ellipsenpunkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; mit dem Wert &nbsp;$\rm j · 3\ V$&nbsp; zum ersten Mal erreicht?
 |type="{}"}
 $t_2 \ = \ $ { 0.375 3% } $\ \rm ms$

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel   [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Bei cosinusförmigem Quellensignal und Dämpfung des unteren Seitenbandes gilt:
+'''(1)'''&nbsp;  Bei cosinusförmigem Quellensignal und Dämpfung des oberen Seitenbandes gilt:
-$$ r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \alpha_0 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot{\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \alpha_{\rm O} \cdot{\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot{\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t}\hspace{0.05cm}.$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse. Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite $r_{TP}(t = 0) = 15 V$ abgelesen werden.
+Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse. Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite $r_{\rm TP}(t = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 15 \ \rm V}$ abgelesen werden.
-'''2.''' Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt: $A_T = 10 V$. Aus der bei Punkt a) angegebenen Gleichung kann somit auch die Amplitude $A_N$ berechnet werden:
+'''(2)'''&nbsp;  Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt: $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm V}$. Aus der in der ersten Teilaufgabe angegebenen Gleichung kann somit auch die Amplitude $A_{\rm N}$ berechnet werden:
-$$ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1+ \alpha_0) = r_{\rm TP}(t= 0) - A_{\rm T} = 5 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1+ \alpha_0) = r_{\rm TP}(t= 0) - A_{\rm T} = 5 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
-Zur Kontrolle kann der Punkt (2) in der Grafik herangezogen werden:
+Zur Kontrolle kann der in der Grafik markierte Punkt '''(2)''' herangezogen werden:
-$$\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1- \alpha_0) = 3 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} = 8 \,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1- \alpha_0) = 3 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} = 8 \,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
-'''3.'''Die für einen Umlauf benötigte Zeit t1 ist gleich der Periodendauer des Quellensignals, also 0.5 ms.
+'''(3)'''&nbsp;  Die für einen Umlauf benötigte Zeit $t_1$ ist gleich der Periodendauer des Quellensignals, also $t_1= 1/f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {=0.5 \ \rm ms}$.
-'''4.'''Da das USB größer ist als das OSB, bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn. Der Punkt (2) wird zum Zeitpunkt $t_2 = 3/4 · t_1 = 0.375 ms$ zum ersten Mal erreicht.
+'''(4)'''&nbsp;  Da das USB größer ist als das OSB, bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn. Der Punkt '''(2)''' wird zum Zeitpunkt $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$ zum ersten Mal erreicht.
 [[Datei:P_ID1039__Mod_A_2_8_e.png|right|]]
-'''5.''' Die Zeigerlänge zum Zeitpunkt t2 kann mit dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satz von Pythagoras] bestimmt werden:
+[[Datei:P_ID1039__Mod_A_2_8_e.png|right|frame|Zur Berechnung von <i>t</i><sub>2</sub> und <i>t</i><sub>3</sub>]]
-$$ a(t = t_2) = \sqrt{(10 \,{\rm V})^2 + (3 \,{\rm V})^2}\hspace{0.15cm}\underline { = 10.44 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(5)'''&nbsp;  Die Zeigerlänge zur Zeit $t_2$ kann mit dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satz von Pythagoras] bestimmt werden:
 Für die Phasenfunktion gilt:
-$$\phi(t = t_2) = {\rm arctan} \frac{3 \,{\rm V}}{10 \,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 16.7^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\phi(t = t_2) = {\rm arctan} \frac{3 \,{\rm V}}{10 \,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 16.7^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$
-Die maximale Phase $ϕ_{max}$ ist geringfügig größer. Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt $t_3 < t_2$ dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert. Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt ($x_3$, $y_3$) analytisch exakt berechnet werden. Daraus würde für die maximale Phase gelten:
+Die maximale Phase $ϕ_{\rm max}$ ist geringfügig größer. Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt $t_3 < t_2$ dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert. Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt ($x_3$, $y_3$) analytisch exakt berechnet werden. Daraus würde für die maximale Phase gelten: $\phi_{\rm max} = {\rm arctan} \ {y_3}/{x_3} \hspace{0.05cm}.$
-'''6.''' Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung lauten:
+'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für $v(t)$ (gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$)ermittelt werden und  lauten:
-$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$
 Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor:
-$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 }\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}.$$
+:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 }\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}.$$
-'''7.'''Für die Leistungen von Nutz– und Störsignal erhält man:
-$$ P_{v 1} = \frac{(2.424 \,{\rm V})^2}{2} = 2.94 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},$$
-$$ P_{\varepsilon} = \frac{(-0.148 \,{\rm V})^2}{2} + \frac{(0.056 \,{\rm V})^2}{2}= 0.0125 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}$$
+'''(7)'''&nbsp;  Für die Leistungen von Nutz– und Störsignal erhält man:
-Damit ergibt sich:
+:$$ P_{v 1} = \frac{(2.424 \,{\rm V})^2}{2} = 2.94 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} P_{\varepsilon} = \frac{(-0.148 \,{\rm V})^2}{2} + \frac{(0.056 \,{\rm V})^2}{2}= 0.0125 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}$$
-$$\rho_{v 1 } = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
+Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR):
-Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren SNR. Mit $P_q = A_N^2/2 = 8 V^2$ und
+:$$\rho_{v} = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
-$$P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = \frac{1}{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$$
+Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren SNR. Mit $P_q = A_{\rm N}^2/2 = 8 \ \rm V^2$ und $P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = {1}/{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$ würde man dann erhalten:
-würde man erhalten:
+:$$\rho_{v }\hspace{0.02cm}' = \frac{8 \,{\rm V}^2}{1.254 \,{\rm V}^2} \approx 6.4\hspace{0.05cm}.$$
-'''8.''' Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz $f_N$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin $α_O = 0.25$ beträgt. Dann erhält man ebenfalls $K ≈ 6.6%$.
+'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin $α_{\rm O} = 0.25$ beträgt. Damit erhält man auch für $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$ den gleichen Klirrfaktor $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.
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