Aufgaben:Aufgabe 2.8: Huffman-Anwendung bei einer Markovquelle - Versionsgeschichte

Guenter am 11. August 2021 um 12:06 Uhr

2021-08-11T12:06:05Z

Guenter am 11. August 2021 um 11:53 Uhr

2021-08-11T11:53:56Z

Guenter am 11. August 2021 um 11:52 Uhr

2021-08-11T11:52:15Z

Guenter am 11. August 2021 um 11:50 Uhr

2021-08-11T11:50:07Z

Guenter am 26. Januar 2020 um 12:59 Uhr

2020-01-26T12:59:37Z

Guenter am 26. Januar 2020 um 12:35 Uhr

2020-01-26T12:35:20Z

Guenter am 26. Januar 2020 um 12:30 Uhr

2020-01-26T12:30:47Z

Guenter am 26. Januar 2020 um 12:29 Uhr

2020-01-26T12:29:16Z

Guenter am 26. Januar 2020 um 12:25 Uhr

2020-01-26T12:25:39Z

Guenter am 28. September 2018 um 14:12 Uhr

2018-09-28T14:12:56Z

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 [[Datei:P_ID2462__Inf_A_2_8d.png|right|frame|Zur Huffman–Codierung für $k = 2$]]
-'''(4)'''&nbsp; Nebenstehender Bildschirmabzug des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; zeigt die Konstruktion des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 2$&nbsp; mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten.
+'''(4)'''&nbsp; Nebenstehender Bildschirmabzug des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash;&nbsp; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; zeigt die Konstruktion des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 2$&nbsp; mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten.
 *Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:
 :$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 =  1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
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-'''(5)'''&nbsp; Richtig iist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Nach dem Quellencodierungstheorem gilt&nbsp; $L_{\rm M} &#8805; H$.
-*Wendet man aber Huffman&ndash;Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht&nbsp; $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht&nbsp; $H = 0.722$, sondern&nbsp; $H_2 = 0.861$&nbsp; (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
+*Wendet man aber Huffman&ndash;Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht&nbsp; $(k = 2)$,&nbsp; so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht&nbsp; $H = 0.722$, sondern&nbsp; $H_2 = 0.861$&nbsp; (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
 *Das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; war&nbsp; $L_{\rm M} = 0.9.$
-*Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$&nbsp; die Werte&nbsp; $50\%$,&nbsp; $25\%$&nbsp; und zweimal&nbsp; $12.5\%$&nbsp; ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge&nbsp; $L_{\rm M}  = 0.875$.
+*Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$&nbsp; die Werte&nbsp; $50\%$,&nbsp; $25\%$&nbsp; und zweimal&nbsp; $12.5\%$&nbsp; ergeben würden,&nbsp; so käme man auf die mittlere Codewortlänge&nbsp; $L_{\rm M}  = 0.875$.
 *Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß aber auch der Aufgabensteller (G. Söder) nicht.
 *Auch nicht, wie sich der Wert&nbsp; $0.875$&nbsp; auf&nbsp; $0.861$&nbsp; senken ließe. Der Huffman&ndash;Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.
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-'''(7)'''&nbsp; Der Bildschirmabzug des des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; verdeutlicht die Konstellation des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 3$.&nbsp; Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:
+[[Datei:P_ID2463__Inf_A_2_8g.png|right|frame|Zur Huffman–Codierung für $k = 3$]]
-:$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' =  0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 =  2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}\hspace{0.3cm}
+'''(7)'''&nbsp; Der Bildschirmabzug des des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash;&nbsp; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; verdeutlicht die Konstellation des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 3$.&nbsp;
-[[Datei:P_ID2463__Inf_A_2_8g.png|right|frame|Zur Huffman–Codierung für $k = 3$]]
+Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:
 *Man erkennt die Verbesserung gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.

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 <quiz display=simple>
 {Welche der vorne angegebenen Beispielfolgen gilt für&nbsp; $q = 0.8$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - die rote Quellensymbolfolge&nbsp; '''1''',
 + die blaue Quellensymbolfolge&nbsp; '''2'''.

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 *Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax169-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]]&nbsp;  Bezug genommen.
 *Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu    &nbsp;[[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]]&nbsp; und  &nbsp;[[Aufgaben:2.7Z_Huffman-Codierung_für_Zweiertupel_einer_Ternärquelle|Aufgabe 2.7Z]].
-*Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman und Shannon&ndash;Fano&ndash;&ndash;Codierung]].
+*Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das folgende Interaktionsmodul:&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung&nbsp; &rArr; &nbsp; $\text{SWF}$&ndash;Version]].

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman|Entropiecodierung nach Huffman]].
-*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]]&nbsp;  Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax169-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]]&nbsp;  Bezug genommen.
 *Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu    &nbsp;[[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]]&nbsp; und  &nbsp;[[Aufgaben:2.7Z_Huffman-Codierung_für_Zweiertupel_einer_Ternärquelle|Aufgabe 2.7Z]].
 *Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman und Shannon&ndash;Fano&ndash;&ndash;Codierung]].

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-{Ermitteln Sie mit dem angegebenen Applet den Huffman&ndash;Code für&nbsp; $\underline{k = 2}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
+{Ermitteln Sie den Huffman&ndash;Code für&nbsp; $\underline{k = 2}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
 |type="{}"}
 $L_{\rm M} \ = \ $ { 0.9 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$
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-{Ermitteln Sie mit dem angegebenen Applet den Huffman&ndash;Code für $\underline{k = 3}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
+{Ermitteln Sie den Huffman&ndash;Code für $\underline{k = 3}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
 |type="{}"}
 $L_{\rm M} \ = \ $ { 0.84 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Bei der blauen Quellensymbolfolge '''2''' erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge.
+*Bei der blauen Quellensymbolfolge&nbsp; '''2'''&nbsp; erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge.
-*Die Symbolfolge '''2''' wurde mit dem Parameter $q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) =
+*Die Symbolfolge&nbsp; '''2'''&nbsp; wurde mit dem Parameter&nbsp; $q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) =
-{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$ erzeugt und die rote Symbolfolge '''1''' mit $q = 0.2$.
+{\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$&nbsp; erzeugt und die rote Symbolfolge&nbsp; '''1'''&nbsp; mit&nbsp; $q = 0.2$.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 2 und 3</u>.:
-*Da hier die Quellensymbole $\rm X$ und $\rm X$ gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn.
+*Da hier die Quellensymbole&nbsp; $\rm X$&nbsp; und&nbsp; $\rm Y$&nbsp; als gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn.
-*Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen  der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man $k$&ndash;Tupel bildet $(k &#8805; 2)$.
+*Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen  der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man&nbsp; $k$&ndash;Tupel bildet&nbsp; $(k &#8805; 2)$.
-*Je größer $k$ ist, desto mehr nähert sich die Codewortlänge $L_{\rm M}$ der Entropie $H$.
+*Je größer&nbsp; $k$&nbsp; ist, desto mehr nähert sich die mittlere Codewortlänge&nbsp; $L_{\rm M}$&nbsp; der Entropie&nbsp; $H$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Symbolwahrscheinlichkeiten sind $p_{\rm X} = p_{\rm Y}  = 0.5$. Damit erhält man für die Zweiertupel:
+'''(3)'''&nbsp; Die Symbolwahrscheinlichkeiten sind&nbsp; $p_{\rm X} = p_{\rm Y}  = 0.5$.&nbsp; Damit erhält man für die Zweiertupel:
 :$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XX}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8 \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.4}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XY}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.1}  \hspace{0.05cm},$$
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 [[Datei:P_ID2462__Inf_A_2_8d.png|right|frame|Zur Huffman–Codierung für $k = 2$]]
-'''(4)'''&nbsp; Nebenstehender Bildschirmabzug des Programms [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]] zeigt die Konstruktion des Huffman&ndash;Codes für $k = 2$ mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten. Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:
+'''(4)'''&nbsp; Nebenstehender Bildschirmabzug des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; zeigt die Konstruktion des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 2$&nbsp; mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten.
 :$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 =  1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
 :$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{  = 0.9\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig iist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Nach dem Quellencodierungstheorem gilt $L_{\rm M} &#8805; H$.
+*Nach dem Quellencodierungstheorem gilt&nbsp; $L_{\rm M} &#8805; H$.
-*Wendet man aber Huffman&ndash;Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht $H = 0.722$, sondern $H_2 = 0.861$ (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
+*Wendet man aber Huffman&ndash;Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht&nbsp; $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht&nbsp; $H = 0.722$, sondern&nbsp; $H_2 = 0.861$&nbsp; (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
-*Das Ergebnis der Teilaufgabe '''(4) war''' $L_{\rm M} = 0.9.$
+*Das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; war&nbsp; $L_{\rm M} = 0.9.$
-*Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$ die Werte $50\%$, $25\%$ und zweimal $12.5\%$ ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge $L_{\rm M}  = 0.875$.
+*Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$&nbsp; die Werte&nbsp; $50\%$,&nbsp; $25\%$&nbsp; und zweimal&nbsp; $12.5\%$&nbsp; ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge&nbsp; $L_{\rm M}  = 0.875$.
 *Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß aber auch der Aufgabensteller (G. Söder) nicht.
-*Auch nicht, wie sich der Wert $0.875$ auf $0.861$ senken ließe. Der Huffman&ndash;Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.
+*Auch nicht, wie sich der Wert&nbsp; $0.875$&nbsp; auf&nbsp; $0.861$&nbsp; senken ließe. Der Huffman&ndash;Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.
-'''(6)'''&nbsp; Mit $q = 0.8$ und $1 - q = 0.2$ erhält man:
+'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $q = 0.8$&nbsp; und&nbsp; $1 - q = 0.2$&nbsp; erhält man:
 :$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXX})  = 0.5 \cdot q^2 \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.32} = p_{\rm H} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYY})\hspace{0.05cm},$$
 :$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXY}) = 0.5 \cdot q \cdot (1-q) \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.08}= p_{\rm G} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYX}) \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 144: / Zeile 145: @@
-'''(7)'''&nbsp; Der Bildschirmabzug des Flash&ndash;Moduls verdeutlicht die Konstellation des Huffman&ndash;Codes für $k = 3$. Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:
+'''(7)'''&nbsp; Der Bildschirmabzug des des (früheren) SWF&ndash;Programms&nbsp; [[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]]&nbsp; verdeutlicht die Konstellation des Huffman&ndash;Codes für&nbsp; $k = 3$.&nbsp; Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:
 :$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' =  0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 =  2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{  = 0.84\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 150: / Zeile 151: @@
 [[Datei:P_ID2463__Inf_A_2_8g.png|right|frame|Zur Huffman–Codierung für $k = 3$]]
-*Man erkennt die Verbesserung gegenüber '''(4)'''.
+*Man erkennt die Verbesserung gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
-*Die für $k = 2$ gültige informationstheoretische Schranke $H_2 = 0.861$ wird nun von der mittleren Codewortlänge $L_{\rm M}$ unterschritten.
+*Die für&nbsp; $k = 2$&nbsp; gültige Schranke&nbsp; $H_2 = 0.861$&nbsp; wird nun von der mittleren Codewortlänge&nbsp; $L_{\rm M}$&nbsp; unterschritten.
-*Die neue Schranke für $k = 3$ ist  $H_3 = 0.815$.
+*Die neue Schranke für&nbsp; $k = 3$&nbsp; ist&nbsp;  $H_3 = 0.815$.
-*Um die Quellenentropie $H = 0.722$ zu erreichen (besser gesagt: diesem Endwert bis auf ein $&epsilon;$ nahe zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden $(k &#8594; &#8734;)$.
+*Um die Quellenentropie&nbsp; $H = 0.722$&nbsp; zu erreichen&nbsp; (besser gesagt:&nbsp; diesem Endwert bis auf ein&nbsp; $&epsilon;$&nbsp; nahe zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden&nbsp; $(k &#8594; &#8734;)$.
 {{ML-Fuß}}

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 <quiz display=simple>
-{Welche der vorne angegebenen Beispielfolgen gilt für $q = 0.8$?
+{Welche der vorne angegebenen Beispielfolgen gilt für&nbsp; $q = 0.8$?
 |type="[]"}
-- die rote Quellensymbolfolge '''1''',
+- die rote Quellensymbolfolge&nbsp; '''1''',
-+ die blaue Quellensymbolfolge '''2''',
++ die blaue Quellensymbolfolge&nbsp; '''2'''.
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 |type="[]"}
 - Auch die direkte Anwendung von Huffman ist hier sinnvoll.
-+ Huffman macht bei Bildung von Zweiertupeln $(k = 2)$ Sinn.
++ Huffman macht bei Bildung von Zweiertupeln&nbsp; $(k = 2)$&nbsp; Sinn.
-+ Huffman macht bei Bildung von Dreiertupeln $(k = 3)$ Sinn.
++ Huffman macht bei Bildung von Dreiertupeln&nbsp; $(k = 3)$&nbsp; Sinn.
-{Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten der <u>Zweiertupel</u> $(k = 2)$ für &nbsp;$\underline{q = 0.8}$?
+{Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten der <u>Zweiertupel</u>&nbsp; $(k = 2)$&nbsp; für &nbsp;$\underline{q = 0.8}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} = \rm Pr(XX)\ = \ $ { 0.4 3% }
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
-{Ermitteln Sie mit dem angegebenen Flash&ndash;Modul den Huffman&ndash;Code für $\underline{k = 2}$. <br>Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
+{Ermitteln Sie mit dem angegebenen Applet den Huffman&ndash;Code für&nbsp; $\underline{k = 2}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
 |type="{}"}
 $L_{\rm M} \ = \ $ { 0.9 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$
-{Welche Schranke ergibt sich für die mittlere Codewortlänge, wenn <u>Zweiertupel</u> gebildet werden $(k = 2)$? Interpretation.
+{Welche Schranke ergibt sich für die mittlere Codewortlänge, wenn <u>Zweiertupel</u> gebildet werden&nbsp; $(k = 2)$? Interpretation.
 |type="()"}
-- $L_{\rm M} \ge H_1 =  1.000$ bit/Quellensymbol,
+- $L_{\rm M} \ge H_1 =  1.000$&nbsp; bit/Quellensymbol,
-+ $L_{\rm M} \ge H_2 \approx   0.861$ bit/Quellensymbol,
++ $L_{\rm M} \ge H_2 \approx   0.861$&nbsp; bit/Quellensymbol,
-- $L_{\rm M} \ge H_3 \approx   0.815$ bit/Quellensymbol,
+- $L_{\rm M} \ge H_3 \approx   0.815$&nbsp; bit/Quellensymbol,
-- $L_{\rm M} \ge H_{k \to \infty} \approx   0.722$ bit/Quellensymbol,
+- $L_{\rm M} \ge H_{k \to \infty} \approx   0.722$&nbsp; bit/Quellensymbol,
-- $L_{\rm M} \ge 0.5$ bit/Quellensymbol.
+- $L_{\rm M} \ge 0.5$&nbsp; bit/Quellensymbol.
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der <u>Dreiertupel</u> $(k = 3)$ für &nbsp;$\underline{q = 0.8}$?
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der <u>Dreiertupel</u>&nbsp; $(k = 3)$&nbsp; für &nbsp;$\underline{q = 0.8}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} = \rm Pr(XXX)\ = \ $ { 0.32 3% }
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
-{Ermitteln Sie mit dem genannten Flash&ndash;Modul den Huffman&ndash;Code für $\underline{k = 3}$. <br>Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
+{Ermitteln Sie mit dem angegebenen Applet den Huffman&ndash;Code für $\underline{k = 3}$.&nbsp; Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?
 |type="{}"}
 $L_{\rm M} \ = \ $ { 0.84 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 :$$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q}
 = 0.722\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
-* Bei Markovquellen sind&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|alle Entropienäherungen mit Ordnung&nbsp; $k \ge 2$]]&nbsp; durch&nbsp; $H_1$&nbsp;  und&nbsp; $H = H_{k \to \infty}$&nbsp; bestimmt:
+* Bei Markovquellen sind alle Entropienäherungen&nbsp; $H_k$&nbsp; mit Ordnung&nbsp; $k \ge 2$&nbsp; durch&nbsp; $H_1$&nbsp;  und&nbsp; $H = H_{k \to \infty}$&nbsp; bestimmt:
 :$$H_k = {1}/{k}\cdot \big [ H_1 + H \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 *Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; und &nbsp;$q = 0.8$&nbsp; gleichermaßen:

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2460__Inf_A_2_8.png|right|frame|Symmetrische Markovquelle]]
+[[Datei:P_ID2460__Inf_A_2_8.png|right|frame|Binäre symmetrische Markovquelle]]
-Wir betrachten hier die binäre symmetrische Markovquelle entsprechend nebenstehender Grafik, die durch den einzigen Parameter
+Wir betrachten die binäre symmetrische Markovquelle entsprechend der Grafik, die durch den einzigen Parameter
 :$$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) =
 {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y})$$
 vollständig beschrieben wird.
 *Die angegebenen Quellensymbolfolgen gelten für die bedingten Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; bzw. &nbsp;$q = 0.8$.
-*In der Teilaufgabe '''(1)''' ist zu klären, welche Symbolfolge &ndash; die rote oder die blaue &ndash; mit &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; und welche mit &nbsp;$q = 0.8$&nbsp; generiert wurde.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ist zu klären, welche Symbolfolge &ndash; die rote oder die blaue &ndash; mit &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; und welche mit &nbsp;$q = 0.8$&nbsp; generiert wurde.
-Die Eigenschaften von Markovquellen werden im Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]] ausführlich beschrieben. Aufgrund der hier vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der Binärsymbole &nbsp;$\rm X$&nbsp; und &nbsp;$\rm Y$&nbsp; ergeben sich einige gravierende Vereinfachungen, wie in der [[Aufgaben:1.5Z_Symmetrische_Markovquelle|Zusatzaufgabe  1.5Z]] hergeleitet wird:
+Die Eigenschaften von Markovquellen werden im Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]]&nbsp; ausführlich beschrieben.&nbsp; Aufgrund der hier vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der Binärsymbole &nbsp;$\rm X$&nbsp; und &nbsp;$\rm Y$&nbsp; ergeben sich einige gravierende Vereinfachungen, wie in der&nbsp; [[Aufgaben:1.5Z_Symmetrische_Markovquelle|Aufgabe  1.5Z]]&nbsp; hergeleitet wird:
-* Die Symbole &nbsp;$\rm X$&nbsp; und &nbsp;$\rm Y$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich, das heißt, es ist $p_{\rm X} = p_{\rm Y}  = 0.5$. Damit lautet die erste Entropienäherung: &nbsp; $H_1 = 1\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $
+* Die Symbole &nbsp;$\rm X$&nbsp; und &nbsp;$\rm Y$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich, das heißt, es gilt&nbsp; $p_{\rm X} = p_{\rm Y}  = 0.5$.&nbsp; <br>Damit lautet die erste Entropienäherung: &nbsp; $H_1 = 1\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $
 * Die Entropie der Markovquelle ergibt sich sowohl für &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; als auch für &nbsp;$q = 0.8$&nbsp; zu
 :$$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q}
 = 0.722\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
-* Bei Markovquellen sind [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|alle Entropienäherungen mit Ordnung $k \ge 2$]] durch $H_1$  und $H = H_{k \to \infty}$ bestimmt. Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für &nbsp;$q = 0.2$&nbsp; und &nbsp;$q = 0.8$&nbsp; gleichermaßen:
+* Bei Markovquellen sind&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|alle Entropienäherungen mit Ordnung&nbsp; $k \ge 2$]]&nbsp; durch&nbsp; $H_1$&nbsp;  und&nbsp; $H = H_{k \to \infty}$&nbsp; bestimmt.
 :$$H_2 = {1}/{2}\cdot \big [ H_1 + H \big ] = 0.861\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm},$$
 :$$H_3 = {1}/{3} \cdot \big [ H_1 + 2H \big ] = 0.815\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe soll der Huffman&ndash;Algorithmus auf $k$&ndash;Tupel angewandt werden, wobei wir uns auf $k = 2$ und $k = 3$ beschränken.
+In dieser Aufgabe soll der Huffman&ndash;Algorithmus auf&nbsp; $k$&ndash;Tupel angewandt werden, wobei wir uns auf&nbsp; $k = 2$&nbsp; und&nbsp; $k = 3$&nbsp; beschränken.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman|Entropiecodierung nach Huffman]].
-*Insbesondere wird auf die Seite [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_k.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]]  Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]]&nbsp;  Bezug genommen.
 *Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu    &nbsp;[[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]]&nbsp; und  &nbsp;[[Aufgaben:2.7Z_Huffman-Codierung_für_Zweiertupel_einer_Ternärquelle|Aufgabe 2.7Z]].
-*Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Huffman_Shannon_Fano|Shannon&ndash;Fano&ndash; und Huffman&ndash;Codierung]].
+*Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung|Huffman und Shannon&ndash;Fano&ndash;Codierung]].