Aufgaben:Aufgabe 2.7Z: Kohärenzbandbreite des LZI–Zweiwegekanals - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juni 2020 um 15:32 Uhr

2020-06-04T15:32:29Z

Guenter am 4. Juni 2020 um 15:30 Uhr

2020-06-04T15:30:54Z

Guenter am 4. Juni 2020 um 15:18 Uhr

2020-06-04T15:18:54Z

Guenter am 13. April 2019 um 14:52 Uhr

2019-04-13T14:52:03Z

Guenter am 13. April 2019 um 14:36 Uhr

2019-04-13T14:36:38Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-12-06T17:10:05Z

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Guenter am 6. Dezember 2017 um 15:15 Uhr

2017-12-06T15:15:56Z

Guenter am 6. Dezember 2017 um 15:05 Uhr

2017-12-06T15:05:48Z

Guenter am 6. Dezember 2017 um 14:57 Uhr

2017-12-06T14:57:23Z

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 Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:
 * die&nbsp; $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite&nbsp; $($im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz)$,
-* die vorne angegebene sehr einfache Näherung&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; $($im Beispiel&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz)$.
+* die vorne angegebene sehr einfache Näherung&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; wäre&nbsp; $($im Beispiel&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz)$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt Laufzeitdifferenz $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, - \tau_{\rm min} = 1 \ \rm &micro; s$.
+'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, - \tau_{\rm min} = 1 \ \rm &micro; s$.
 * Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert:
 :$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ \underline {= 1000 \ \rm kHz}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Grafiken beziehen sich auf die Impulsantwort $h(\tau)$.
 *Um das Verzögerungs&ndash;LDS zu erhalten, müssen die Gewichte quadriert werden:
 :$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = 1^2 \cdot \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
-*Das Integral über ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist demnach $1 + G^2$.
+*Das Integral über&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist demnach&nbsp; $1 + G^2$.
-*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) muss aber die &bdquo;Fläche 1&rdquo; ergeben (Summe der beiden Diracgewichte gleich $1$). Daraus folgt:
+*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; muss aber die &bdquo;Fläche 1&rdquo; ergeben&nbsp; $($Summe der beiden Diracgewichte gleich&nbsp; $1)$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{1}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau) + \frac{G^2}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
 *Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-*Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impulsantwort $h(\tau)$.
+*Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$.
-*Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs&ndash;LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ an.
+*Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs&ndash;LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; an.
 '''(3)'''&nbsp; Beim Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; sind die beiden Impulsgewichte gleich.
-*Damit kann für den Mittelwert $m_{\rm V}$ und die Standardabweichung $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$ ohne große Rechnung geschrieben werden:
+*Damit kann für den Mittelwert&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; und die Standardabweichung&nbsp; $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$&nbsp; ohne große Rechnung geschrieben werden:
 :$$m_{\rm V} = \frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm} {= 0.5\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm},
   \hspace{0.2cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} =\frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm &micro; s}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Beim Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; sind die Impulsgewichte $1/(1+0.5^2) = 0.8$ (für $\tau = 0$) und $0.2$ (für $\tau = 1 \ \rm &micro; s$).
+Beim Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; sind die Impulsgewichte&nbsp; $1/(1+0.5^2) = 0.8$&nbsp; $($für&nbsp; $\tau = 0)$&nbsp; und&nbsp; $0.2$&nbsp; $($für&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s)$.
-* Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|grundlegenden Gesetzen]] der Statistik:
+* Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|grundlegenden Gesetzen]]&nbsp; der Statistik:
 :$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm &micro; s} = 0.2\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 m_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot (1\,{\rm &micro; s})^2 = 0.2\,({\rm &micro; s})^2 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]].
+*Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]]:
 :$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm &micro; s})^2 - (0.2\,{\rm &micro; s})^2 = 0.16\,({\rm &micro; s})^2
    \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, &ndash; \tau_0)$:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = 1 + {\rm exp}(-{\rm j} \cdot 2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) = 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) $$
 [[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|right|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = \sqrt{2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.05cm}.$$
-*Das Funktionsmaximum bei $\Delta f = 0$ ist gleich $2$.
+*Das Funktionsmaximum bei&nbsp; $\Delta f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; $2$.
-*Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für $B_{\rm K}$:
+*Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für&nbsp; $B_{\rm K}$:
 :$$|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})| = 1 \hspace{0.3cm} $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})|^2 = 1
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
+*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.&nbsp; Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
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 \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
-*Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist.
+*Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die&nbsp; $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist.
 *Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
 Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:
-* die $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite (im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz$),
+* die&nbsp; $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite&nbsp; $($im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz)$,
-* die vorne angegebene sehr einfache Näherung $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$ (im Beispiel $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz$).
+* die vorne angegebene sehr einfache Näherung&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; $($im Beispiel&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz)$.
-Man erkennt bereits an diesen Zahlenwerten, dass alle diesbezüglichen Angaben sehr vage sind und sich die einzelnen &bdquo;Kohärenzbandbreiten&rdquo; um Faktoren unterscheiden können.
+Man erkennt bereits an diesen doch sehr unterschiedlichen Zahlenwerten, dass alle diesbezüglichen Angaben sehr vage sind und sich die einzelnen &bdquo;Kohärenzbandbreiten&rdquo; um Faktoren unterscheiden können.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2178__Mob_Z_2_7.png|right|frame|Zwei Zweiwegekanäle]]
-Zum GWSSUS&ndash;Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; statistisch erfassen. Mehr Informationen zum Thema &bdquo;Mehrwegeausbreitung&rdquo; finden Sie im Abschnitt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Simulation gemäß dem GWSSUS&ndash;Modell]]&nbsp; des Theorieteils.
+Zum GWSSUS&ndash;Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; statistisch erfassen.&nbsp; Mehr Informationen zum Thema &bdquo;Mehrwegeausbreitung&rdquo; finden Sie im Abschnitt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Simulation gemäß dem GWSSUS&ndash;Modell]]&nbsp; des Theorieteils.
-* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße &nbsp;$\tau$. <br>Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ermittelt werden. Die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$.
+* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße &nbsp;$\tau$. <br>Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$.
 * Die &nbsp;<b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. <br>Diese ist implizit durch die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; festgelegt als derjenige&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
 :$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.$$
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 *Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet.
-*Oft verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik) als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
+*Oft verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal&nbsp; (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik)&nbsp; als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
 :$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$
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 In dieser Aufgabe soll geklärt werden,
 * warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
-* welcher Zusammenhang zwischen&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; besteht, und
+* welcher Zusammenhang zwischen&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; besteht,&nbsp; und
 * welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergeben sich für Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$?
+{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergeben sich für den Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; und den Kanal &nbsp;$\rm B$?
 |type="{}"}
 Kanal &nbsp;${\rm A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
 Kanal &nbsp;${\rm B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie lautet die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$? $G$&nbsp; gibt das Gewicht des zweiten Pfades an.
+{Wie lautet die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$?&nbsp; Hierbei gibt&nbsp; $G$&nbsp; das Gewicht des zweiten Pfades an.
 |type="()"}
 - $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
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 {Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm A}$&nbsp; auf?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
 - Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
 {Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm B}$&nbsp; auf?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
 - Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.

@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 {Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung&nbsp; $ T_{\rm V}$.
 |type="{}"}
-Kanal &nbsp;${\rm A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm \mu s$
+Kanal &nbsp;${\rm A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm &micro; s$
-Kanal &nbsp;${\rm B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm \mu s$
+Kanal &nbsp;${\rm B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm &micro; s$
 {Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm A}$&nbsp; auf?
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt Laufzeitdifferenz $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, &ndash; \tau_{\rm min} = 1 \ \rm \mu s$. Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert:
+'''(1)'''&nbsp; Bei beiden Kanälen beträgt Laufzeitdifferenz $\Delta \tau = \tau_{\rm max} \, - \tau_{\rm min} = 1 \ \rm &micro; s$.
-:$$B_{\rm K}' \ \underline {= 1000 \ \rm kHz}.$$
+* Deshalb ergibt sich bei beiden Kanälen der gleiche Wert:
 '''(2)'''&nbsp; Die Grafiken beziehen sich auf die Impulsantwort $h(\tau)$. Um das Verzögerungs&ndash;LDS zu erhalten, müssen die Gewichte quadriert werden:
 :$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = 1^2 \cdot \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
-Das Integral über ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist demnach $1 + G^2$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) muss aber die &bdquo;Fläche 1&rdquo; ergeben (Summe der beiden Diracgewichte gleich $1$). Daraus folgt:
+*Das Integral über ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist demnach $1 + G^2$.
 :$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{1}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau) + \frac{G^2}{1 + G^2} \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+*Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-*Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impuls $h(\tau)$.
+*Der erste Vorschlag beschreibt nicht die WDF $f_{\rm V}(\tau)$, sondern die Impulsantwort $h(\tau)$.
 *Die zweite Gleichung gibt das Verzögerungs&ndash;LDS ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ an.
-'''(3)'''&nbsp; Beim Kanal '''A''' sind die beiden Impulsgewichte gleich. Damit kann für den Mittelwert $m_{\rm V}$ und die Standardabweichung $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$ ohne große Rechnung geschrieben werden:
-:$$m_{\rm V} = \frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm} {= 0.5\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},
+'''(3)'''&nbsp; Beim Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; sind die beiden Impulsgewichte gleich.
-  \hspace{0.2cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} =\frac{\tau_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm \mu s}}
+*Damit kann für den Mittelwert $m_{\rm V}$ und die Standardabweichung $\sigma_{\rm V} = T_{\rm V}$ ohne große Rechnung geschrieben werden:
   \hspace{0.05cm}.$$
-Beim Kanal '''B''' sind die Impulsgewichte $1/(1+0.5^2) = 0.8$ (für $\tau = 0$) und $0.2$ (für $\tau = 1 \ \rm \mu s$). Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|grundlegenden Gesetzen]] der Statistik:
+Beim Kanal &nbsp;$\rm B$&nbsp; sind die Impulsgewichte $1/(1+0.5^2) = 0.8$ (für $\tau = 0$) und $0.2$ (für $\tau = 1 \ \rm &micro; s$).
-:$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm \mu s} = 0.2\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
+* Damit erhält man für den linearen und den quadratischen Mittelwert nach den [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert|grundlegenden Gesetzen]] der Statistik:
-m_{\rm 2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot (1\,{\rm \mu s})^2 = 0.2\,({\rm \mu s})^2 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$m_{\rm 1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.8 \cdot 0 + 0.2 \cdot 1\,{\rm &micro; s} = 0.2\,{\rm &micro; s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]].
+*Zum gesuchten Ergebnis kommt man mit dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]].
-:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm \mu s})^2 - (0.2\,{\rm \mu s})^2 = 0.16\,({\rm \mu s})^2
+:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_{\rm 2} - m_{\rm 1}^2 = 0.2\,({\rm &micro; s})^2 - (0.2\,{\rm &micro; s})^2 = 0.16\,({\rm &micro; s})^2
-   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
+   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Frequenzkorrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, &ndash; \tau_0)$:
+'''(4)'''&nbsp; Die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion ist die Fouriertransformierte von ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + \delta(\tau \, &ndash; \tau_0)$:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = 1 + {\rm exp}(-{\rm j} \cdot 2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) = 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = \sqrt{2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.05cm}.$$
-Das Funktionsmaximum bei $\Delta f = 0$ ist gleich $2$. Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für $B_{\rm K}$:
+*Das Funktionsmaximum bei $\Delta f = 0$ ist gleich $2$.
-:$$|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})| = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(B_{\rm K})|^2 = 1
+*Deshalb lautet die Bestimmungsgleichung für $B_{\rm K}$:
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2 +  2 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = 1$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} $$
-[[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|right|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
+'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal &nbsp;${\rm B}$&nbsp; lauten die entsprechenden Gleichungen:
 :$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
 \varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 115: / Zeile 127: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
+*Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist.
 Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:

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 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell}}
-[[Datei:P_ID2178__Mob_Z_2_7.png|right|frame|Zweiwegekanäle]]
+[[Datei:P_ID2178__Mob_Z_2_7.png|right|frame|Zwei Zweiwegekanäle]]
-Zum GWSSUS&ndash;Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung $\tau$ statistisch erfassen. Mehr Informationen zum Thema &bdquo;Mehrwegeausbreitung&rdquo; finden Sie im Abschnitt [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Simulation gemäß dem GWSSUS&ndash;Modell]] des Theorieteils.
+Zum GWSSUS&ndash;Modell werden zwei Kenngrößen angegeben, die beide die entstehende Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; statistisch erfassen. Mehr Informationen zum Thema &bdquo;Mehrwegeausbreitung&rdquo; finden Sie im Abschnitt&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Simulation_gem.C3.A4.C3.9F_dem_GWSSUS.E2.80.93Modell| Simulation gemäß dem GWSSUS&ndash;Modell]]&nbsp; des Theorieteils.
-* Die <b>Mehrwegeverbreiterung</b> $T_{\rm V}$ ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße $\tau$. Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ ermittelt werden. Die WDF $f_{\rm V}(\tau)$ ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist.
+* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße &nbsp;$\tau$. <br>Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ermittelt werden. Die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist dabei formgleich mit dem Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$.
-* Die <b>Kohärenzbandbreite</b> $B_{\rm K}$ beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. Diese ist implizit durch die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ festgelegt als derjenige $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
+* Die &nbsp;<b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. <br>Diese ist implizit durch die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; festgelegt als derjenige&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist:
 :$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.$$
-Der Zusammenhang zwischen ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ und $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ist durch die Fouriertransformation gegeben:
+Der Zusammenhang zwischen&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; ist durch die Fouriertransformation gegeben:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
   \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet. Beispielsweise verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal (also mit konstanten Pfadgewichten entsprechend obiger Grafik) oft als Näherung für die Kohärenzbandbreite:
+*Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet.
 :$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}} \hspace{0.05cm}.$$
 In dieser Aufgabe soll geklärt werden,
 * warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt,
-* welcher Zusammenhang zwischen $B_{\rm K}$ und $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$ besteht, und
+* welcher Zusammenhang zwischen&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; besteht, und
 * welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
-*Bezug genommen  wird auch auf einige Theorieseiten im Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
+*Bezug genommen  wird auch auf einige Theorieseiten im Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$ ergeben sich für Kanal A und B?
+{Welche Kohärenzbandbreitennäherungen&nbsp; $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergeben sich für Kanal &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$?
 |type="{}"}
-${\rm Kanal \ A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
+Kanal &nbsp;${\rm A} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
-${\rm Kanal \ B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
+Kanal &nbsp;${\rm B} \text {:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 1000 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie lautet die WDF $f_{\rm V}(\tau)$? $G$ gibt das Gewicht des zweiten Pfades an.
+{Wie lautet die WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$? $G$&nbsp; gibt das Gewicht des zweiten Pfades an.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 - $f_{\rm V}(\tau) = \delta(\tau) + G^2 \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$,
 + $f_{\rm V}(\tau) = 1/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau) + G^2/(1 + G^2) \cdot \delta(\tau \, &ndash;\tau_0)$.
-{Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung $ T_{\rm V}$.
+{Berechnen Sie die Mehrwegeverbreitung&nbsp; $ T_{\rm V}$.
 |type="{}"}
-${\rm Kanal \ A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm \mu s$
+Kanal &nbsp;${\rm A} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm \mu s$
-${\rm Kanal \ B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm \mu s$
+Kanal &nbsp;${\rm B} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.4 3% } $\ \rm \mu s$
-{Welche Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ weist der '''Kanal A''' auf?
+{Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm A}$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
++ Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
-- Es gilt $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
+- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
-- Es gilt $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
+- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
-- $B_{\rm K}$ ist nach dieser Definition nicht angebbar.
+- $B_{\rm K}$&nbsp; ist nach dieser Definition nicht angebbar.
-{Welche Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ weist der '''Kanal B''' auf?
+{Welche Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; weist der Kanal &nbsp;${\rm B}$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
-- Es gilt $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
+- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 333 \ \rm kHz$.
-- Es gilt $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
+- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 500 \ \rm kHz$.
-- Es gilt $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
+- Es gilt&nbsp; $B_{\rm K} = 1 \ \rm MHz$.
-+ $B_{\rm K}$ ist nach dieser Definition nicht angebbar.
++ $B_{\rm K}$&nbsp; ist nach dieser Definition nicht angebbar.
 </quiz>

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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm cos}(2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}2\pi \cdot B_{\rm K} \cdot \tau_0 = \frac{2\pi}{3}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = \frac{1}{3\tau_0} = 333\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
+[[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|right|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
+Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. <br>Die Grafik (blaue Kurve) verdeutlicht das Ergebnis.
-[[Datei:P_ID2186__Mob_Z_2_7d.png|center|frame|Frequenzkorrelationsfunktion und Kohärenzbandbreite]]
+<br clear=all>
+'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal '''B''' lauten die entsprechenden Gleichungen:
+:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
-'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal B lauten die entsprechenden Gleichungen:
+\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
-:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1^2 \cdot \delta(\tau) + (-0.5)^2 \cdot \delta(\tau - \tau_0) \hspace{0.05cm},$$
+:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}= \sqrt{\frac{17}{16} +  \frac{1}{2} \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) }\hspace{0.3cm}
-:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  1 + 0.25 \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0) -{\rm j} \cdot 0.25 \cdot  {\rm sin}(2\pi \cdot \Delta f \cdot \tau_0)\hspace{0.05cm},$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Max}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 1.25\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Min}\hspace{0.1cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f)| = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
 Man erkennt an diesem Resultat, dass hier die $50\%$&ndash;Kohärenzbandbreite nicht angebbar ist. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
 Dieses Ergebnis ist der Grund dafür, dass es für die Kohärenzbandbreite in der Literatur unterschiedliche Definitionen gibt, zum Beispiel:
-* die $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite ($B_{\rm K, \ 90\%}$ wäre hier $184 \ \rm kHz$),
+* die $90\%$&ndash;Kohärenzbandbreite (im Beispiel wäre $B_{\rm K, \hspace{0.03cm} 90\%} =184 \ \rm kHz$),
-* die vorne angegebene sehr einfache Näherung $B_{\rm K}'$ (im Beispiel $1 \ \rm MHz$).
+* die vorne angegebene sehr einfache Näherung $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}'$ (im Beispiel $B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' =1 \ \rm MHz$).