Aufgaben:Aufgabe 2.7Z: Huffman-Codierung für Zweiertupel einer Ternärquelle - Versionsgeschichte

Guenter am 11. August 2021 um 09:49 Uhr

2021-08-11T09:49:31Z

Guenter am 25. Januar 2020 um 16:26 Uhr

2020-01-25T16:26:59Z

Guenter am 25. Januar 2020 um 16:18 Uhr

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Guenter am 25. Januar 2020 um 16:16 Uhr

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Guenter am 28. September 2018 um 13:08 Uhr

2018-09-28T13:08:36Z

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Guenter am 28. September 2018 um 10:27 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:46Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:00:03Z

Guenter verschob die Seite 2.7Z Huffman-Codierung für Zweiertupel einer Ternärquelle nach Aufgabe 2.7Z: Huffman-Codierung für Zweiertupel einer Ternärquelle

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman|Entropiecodierung nach Huffman]].
-*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf&nbsp; $k$-Tupel]]&nbsp; Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax169-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf&nbsp; $k$-Tupel]]&nbsp; Bezug genommen.
 *Eine vergleichbare Aufgabenstellung mit binären Eingangssymbolen wird in der&nbsp;   [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]]&nbsp; behandelt.
 *Bezeichnen Sie die möglichen Zweiertupel mit &nbsp; &nbsp; $\rm XX = A$,&nbsp; &nbsp;$\rm XY = B$,&nbsp; &nbsp;$\rm XZ = C$,&nbsp;&nbsp; $\rm YX = D$,&nbsp; &nbsp;$\rm YY = E$,&nbsp; &nbsp;$\rm YZ = F$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZX = G$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZY = H$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZZ = I$.

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-Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum, wenn man den Huffman&ndash;Algorithmus auf Einzelsymbole anwendet, also den Fall&nbsp; $k= 1$. <br>In der Teilaufgabe '''(2)''' sollen Sie den entsprechenden Huffman&ndash;Code angeben, wenn vorher Zweiertupel gebildet werden&nbsp; $(k=2)$.
+Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum, wenn man den Huffman&ndash;Algorithmus auf Einzelsymbole anwendet, also den Fall&nbsp; $k= 1$. <br>In der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; sollen Sie den entsprechenden Huffman&ndash;Code angeben, wenn vorher Zweiertupel gebildet werden&nbsp; $(k=2)$.
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 '''(1)'''&nbsp; Die mittlere Codewortlänge ergibt sich mit &nbsp;$p_{\rm X} = 0.7$, &nbsp;$L_{\rm X} = 1$, &nbsp;$p_{\rm Y} = 0.2$, &nbsp;$L_{\rm Y} = 2$, &nbsp;$p_{\rm Z} = 0.1$, &nbsp;$L_{\rm Z} = 2$ zu
 :$$L_{\rm M} = p_{\rm X} \cdot 1 + (p_{\rm Y} + p_{\rm Z}) \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.3\,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$
-Dieser Wert liegt noch deutlich über der Quellenentropie $H = 1.157$ bit/Quellensymbol.
+*Dieser Wert liegt noch deutlich über der Quellenentropie&nbsp; $H = 1.157$&nbsp; bit/Quellensymbol.
-'''(2)'''&nbsp; Es gibt $M' = M^k = 3^2$ = 9 Zweiertupel mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
 [[Datei:P_ID2459__Inf_Z_2_7c.png|right|frame|Huffman–Baum für Ternärquelle und Zweiertupel]]
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 :$$p_{\rm H} = \rm Pr(ZY) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02,$$
 :$$p_{\rm I} = \rm Pr(ZZ) = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01.$$
+'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum für die Anwendung mit $k = 2$.&nbsp; Damit erhält man
 * für die einzelnen Zweiertupels folgende Binärcodierungen: <br>
 : &nbsp; &nbsp;  $\rm XX = A$ &nbsp; &#8594; &nbsp; '''0''', &nbsp; &nbsp;  $\rm XY = B$ &nbsp; &#8594; &nbsp; '''111''', &nbsp; &nbsp;  $\rm XZ = C$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1011</b>,
 : &nbsp; &nbsp;  $\rm YX = D$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>110</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm YY = E$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1000</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm YZ = F$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>10010</b>,
-: &nbsp; &nbsp;  $\rm ZX = G$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1010</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm ZY = H$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>100111</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm ZZ =I$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>100110</b>.
+: &nbsp; &nbsp;  $\rm ZX = G$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1010</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm ZY = H$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>100111</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm ZZ =I$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>100110</b>;
 * für die mittlere Codewortlänge:
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 1</u>, auch wenn $L_{\rm M}$ mit wachsendem $k$ nur sehr langsam abfällt.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 1</u>, auch wenn&nbsp; $L_{\rm M}$&nbsp; mit wachsendem&nbsp; $k$&nbsp; nur sehr langsam abfällt.
-* Die letzte Aussage ist falsch, da $L_{\rm M}$ auch für $k &#8594; &#8734;$ nicht kleiner sein kann als $H = 1.157$ bit/Quellensymbol.
+* Die letzte Aussage ist falsch, da&nbsp; $L_{\rm M}$&nbsp; auch für&nbsp; $k &#8594; &#8734;$&nbsp; nicht kleiner sein kann als&nbsp; $H = 1.157$&nbsp; bit/Quellensymbol.
-* Aber auch die zweite Aussage ist nicht unbedingt richtig: &nbsp; Da mit $k = 2$ weiterhin $L_{\rm M} > H$ gilt, kann $k = 3$ zu einer weiteren Verbesserung führen.
+* Aber auch die zweite Aussage ist nicht unbedingt richtig: &nbsp; Da mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; weiterhin&nbsp; $L_{\rm M} > H$&nbsp; gilt, kann&nbsp; $k = 3$&nbsp; zu einer weiteren Verbesserung führen.
 {{ML-Fuß}}

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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die mittlere Codewortlänge, wenn der Huffman&ndash;Algorithmus direkt auf die ternären Quellensymbole&nbsp; $\rm X$,nbsp; $\rm Y$nbsp; undnbsp; $\rm Z$nbsp; angewendet wird?
+{Wie groß ist die mittlere Codewortlänge, wenn der Huffman&ndash;Algorithmus direkt auf die ternären Quellensymbole&nbsp; $\rm X$,&nbsp; $\rm Y$&nbsp; und&nbsp; $\rm Z$&nbsp; angewendet wird?
 |type="{}"}
 $\underline{k=1}\text{:} \hspace{0.25cm}L_{\rm M} \ = \ $ { 1.3 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$
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-{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn man mehr als zwei Ternärzeichen zusammenfasstnbsp; $(k>2)$?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn man mehr als zwei Ternärzeichen zusammenfasst&nbsp; $(k>2)$?
 |type="[]"}
 + $L_{\rm M}$&nbsp; fällt monoton mit steigendem &nbsp;$k$&nbsp; ab.

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 }}
-[[Datei:P_ID2458__Inf_Z_2_7.png|right|frame|Huffman–Baum für Ternärquelle]]
+[[Datei:P_ID2458__Inf_Z_2_7.png|right|frame|Huffman–Baum für <br>eine Ternärquelle]]
-Wir betrachten den gleichen Sachverhalt wie in der [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe A2.7]]: &nbsp; Der Huffman&ndash;Algorithmus führt zu einem besseren Ergebnis, das heißt zu einer kleineren mittleren Codewortlänge $L_{\rm M}$, wenn man ihn nicht auf einzelne Symbole anwendet, sondern vorher $k$&ndash;Tupel bildet. Dadurch erhöht man den Symbolumfang von $M$ auf $M' = M^k$.
+Wir betrachten den gleichen Sachverhalt wie in der&nbsp; [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe A2.7]]: &nbsp;
 Für die hier betrachtete Nachrichtenquelle gilt:
 * Symbolumfang: &nbsp; $M = 3$,
-* Symbolvorrat: &nbsp; $\{$ $\rm X$, $\rm Y$, $\rm Z$ $\}$,
+* Symbolvorrat: &nbsp; $\{$ $\rm X$,&nbsp; $\rm Y$,&nbsp; $\rm Z$ $\}$,
-* Wahrscheinlichkeiten: &nbsp;  $p_{\rm X} = 0.7$, $p_{\rm Y} = 0.2$, $p_{\rm Z} = 0.1$,
+* Wahrscheinlichkeiten: &nbsp;  $p_{\rm X} = 0.7$,&nbsp; $p_{\rm Y} = 0.2$,&nbsp; $p_{\rm Z} = 0.1$,
 * Entropie: &nbsp; $H = 1.157 \ \rm  bit/Ternärsymbol$.
-Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum, wenn man den Huffman&ndash;Algorithmus auf Einzelsymbole anwendet, also den Fall $k= 1$. In der Teilaufgabe '''(2)''' sollen Sie den entsprechenden Huffman&ndash;Code angeben, wenn vorher Zweiertupel gebildet werden $(k=2)$.
+Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum, wenn man den Huffman&ndash;Algorithmus auf Einzelsymbole anwendet, also den Fall&nbsp; $k= 1$. <br>In der Teilaufgabe '''(2)''' sollen Sie den entsprechenden Huffman&ndash;Code angeben, wenn vorher Zweiertupel gebildet werden&nbsp; $(k=2)$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman|Entropiecodierung nach Huffman]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman|Entropiecodierung nach Huffman]].
-*Insbesondere wird auf die Seite [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax153-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel]] Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Anwendung_der_Huffman.E2.80.93Codierung_auf_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F.E2.80.93Tupel|Anwendung der Huffman-Codierung auf&nbsp; $k$-Tupel]]&nbsp; Bezug genommen.
-*Eine vergleichbare Aufgabenstellung mit binären Eingangssymbolen wird in der   [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]] behandelt.
+*Eine vergleichbare Aufgabenstellung mit binären Eingangssymbolen wird in der&nbsp;   [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]]&nbsp; behandelt.
-*Bezeichnen Sie die möglichen Zweiertupel mit &nbsp; &nbsp; $\rm XX = A$,&nbsp;&nbsp;$\rm XY = B$,&nbsp;&nbsp;$\rm XZ = C$,&nbsp;&nbsp; $\rm YX = D$,&nbsp;&nbsp;$\rm YY = E$,&nbsp;&nbsp;$\rm YZ = F$,&nbsp;&nbsp;$\rm ZX = G$,&nbsp;&nbsp;$\rm ZY = H$,&nbsp;&nbsp;$\rm ZZ = I$.
+*Bezeichnen Sie die möglichen Zweiertupel mit &nbsp; &nbsp; $\rm XX = A$,&nbsp; &nbsp;$\rm XY = B$,&nbsp; &nbsp;$\rm XZ = C$,&nbsp;&nbsp; $\rm YX = D$,&nbsp; &nbsp;$\rm YY = E$,&nbsp; &nbsp;$\rm YZ = F$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZX = G$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZY = H$,&nbsp; &nbsp;$\rm ZZ = I$.
@@ Zeile 30: / Zeile 36: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die mittlere Codewortlänge, wenn der Huffman&ndash;Algorithmus direkt auf die ternären Quellensymbole $\rm X$, $\rm Y$ und $\rm Z$ angewendet wird?
+{Wie groß ist die mittlere Codewortlänge, wenn der Huffman&ndash;Algorithmus direkt auf die ternären Quellensymbole&nbsp; $\rm X$,nbsp; $\rm Y$nbsp; undnbsp; $\rm Z$nbsp; angewendet wird?
 |type="{}"}
 $\underline{k=1}\text{:} \hspace{0.25cm}L_{\rm M} \ = \ $ { 1.3 3% } $\ \rm bit/Quellensymbol$
-{Wie groß sind  die Tupel&ndash;Wahrscheinlichkeiten? Insbesondere:
+{Wie groß sind hier die Tupel&ndash;Wahrscheinlichkeiten? Insbesondere:
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} = \rm Pr(XX)\ = \ $ { 0.49 3% }
@@ Zeile 47: / Zeile 53: @@
-{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn man mehr als zwei Ternärzeichen zusammenfasst ($k>2$)?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn man mehr als zwei Ternärzeichen zusammenfasstnbsp; $(k>2)$?
 |type="[]"}
 + $L_{\rm M}$&nbsp; fällt monoton mit steigendem &nbsp;$k$&nbsp; ab.

@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 '''(1)'''&nbsp; Die mittlere Codewortlänge ergibt sich mit &nbsp;$p_{\rm X} = 0.7$, &nbsp;$L_{\rm X} = 1$, &nbsp;$p_{\rm Y} = 0.2$, &nbsp;$L_{\rm Y} = 2$, &nbsp;$p_{\rm Z} = 0.1$, &nbsp;$L_{\rm Z} = 2$ zu
 :$$L_{\rm M} = p_{\rm X} \cdot 1 + (p_{\rm Y} + p_{\rm Z}) \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.3\,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}. $$
-Dieser Wert liegt noch deutlich über der Quellenentropie <i>H</i> = 1.157 bit/Quellensymbol.
+Dieser Wert liegt noch deutlich über der Quellenentropie $H = 1.157$ bit/Quellensymbol.
-'''(2)'''&nbsp; Es gibt <i>M</i><sup>&nbsp;</sup>&prime; = <i>M</i><sup>&nbsp;2</sup> = 3<sup>2</sup> = 9 Zweiertupel mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
+'''(2)'''&nbsp; Es gibt $M' = M^k = 3^2$ = 9 Zweiertupel mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
-: &nbsp; &nbsp;  <i>p</i><sub>A</sub> = Pr(<b>XX</b>) <u>= 0.49</u>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<i>p</i><sub>B</sub> = Pr(<b>XY</b>) <u>= 0.14</u>,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>C</sub> = Pr(<b>XZ</b>) <u>= 0.07</u>,
+[[Datei:P_ID2459__Inf_Z_2_7c.png|right|frame|Huffman–Baum für Ternärquelle und Zweiertupel]]
-: &nbsp; &nbsp;  <i>p</i><sub>D</sub> = Pr(<b>YX</b>) = 0.14,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>E</sub> = Pr(<b>YY</b>) = 0.04,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>F</sub> = Pr(<b>YZ</b>) = 0.02,
+:$$p_{\rm A} = \rm Pr(XX) = 0.7 \cdot 0.7\hspace{0.15cm}\underline{= 0.49},$$
-: &nbsp; &nbsp;  <i>p</i><sub>G</sub> = Pr(<b>YX</b>) = 0.07,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>H</sub> = Pr(<b>YY</b>) = 0.02,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>p</i><sub>I</sub> = Pr(<b>YZ</b>) = 0.01.
+:$$p_{\rm B} = \rm Pr(XY) = 0.7 \cdot 0.2\hspace{0.15cm}\underline{= 0.14},$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum für die Anwendung mit <i>k</i> = 2.
+'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt den Huffman&ndash;Baum für die Anwendung mit $k = 2$.
 Damit erhält man
 * für die einzelnen Zweiertupels folgende Binärcodierungen: <br>
-:  &nbsp; &nbsp;  <b>XX</b> = <b>A</b> &#8594; <b>0</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>XY</b> = <b>B</b> &#8594; <b>111</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>XZ</b> = <b>C</b> &#8594; <b>1011</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b>YX</b> = <b>D</b> &#8594; <b>110</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>YY</b> = <b>E</b> &#8594; <b>1000</b>, <br>
+: &nbsp; &nbsp;  $\rm XX = A$ &nbsp; &#8594; &nbsp; '''0''', &nbsp; &nbsp;  $\rm XY = B$ &nbsp; &#8594; &nbsp; '''111''', &nbsp; &nbsp;  $\rm XZ = C$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1011</b>,
-:  &nbsp; &nbsp;  <b>YZ</b> = <b>F</b> &#8594; <b>10010</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b>ZX</b> = <b>G</b> &#8594; <b>1010</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>ZY</b> = <b>H</b> &#8594; <b>100111</b>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<b>ZZ</b> = <b>I</b> &#8594; <b>100110</b> .
+: &nbsp; &nbsp;  $\rm YX = D$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>110</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm YY = E$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>1000</b>, &nbsp; &nbsp;  $\rm YZ = F$ &nbsp; &#8594; &nbsp; <b>10010</b>,
 * für die mittlere Codewortlänge:
-:$$L_{\rm M}' =0.49 \cdot 1 + (0.14 + 0.14) \cdot 3 + (0.07 + 0.04 + 0.07) \cdot 4 + 0.02 \cdot 5 + (0.02 + 0.01) \cdot 6 = 2.33\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
+:$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' =0.49 \cdot 1 + (0.14 + 0.14) \cdot 3 + (0.07 + 0.04 + 0.07) \cdot 4 + 0.02 \cdot 5 + (0.02 + 0.01) \cdot 6 = 2.33\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
-:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{  = 1.165\,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{  = 1.165\,\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Aussage 1</u>, auch wenn <i>L</i><sub>M</sub> mit wachsendem <i>k</i> nur sehr langsam abfällt.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 1</u>, auch wenn $L_{\rm M}$ mit wachsendem $k$ nur sehr langsam abfällt.
-* Die letzte Aussage ist falsch, da <i>L</i><sub>M</sub> auch für <i>k</i> &#8594; &#8734; nicht kleiner sein kann als <i>H</i> = 1.157 bit/Quellensymbol.
+* Die letzte Aussage ist falsch, da $L_{\rm M}$ auch für $k &#8594; &#8734;$ nicht kleiner sein kann als $H = 1.157$ bit/Quellensymbol.
-* Aber auch die zweite Aussage ist nicht unbedingt richtig: Da mit <i>k</i> = 2 weiterhin <i>L</i><sub>M</sub> > <i>H</i> gilt, kann <i>k</i> = 3 zu einer weiteren Verbesserung führen.
+* Aber auch die zweite Aussage ist nicht unbedingt richtig: &nbsp; Da mit $k = 2$ weiterhin $L_{\rm M} > H$ gilt, kann $k = 3$ zu einer weiteren Verbesserung führen.
 {{ML-Fuß}}

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 *Eine vergleichbare Aufgabenstellung mit binären Eingangssymbolen wird in der   [[Aufgaben:2.7_Huffman-Anwendung_für_binäre_Zweiertupel|Aufgabe 2.7]] behandelt.
 *Bezeichnen Sie die möglichen Zweiertupel mit &nbsp; &nbsp; <b>XX</b> = <b>A</b>,&nbsp;&nbsp;<b>XY</b> = <b>B</b>,&nbsp;&nbsp;<b>XZ</b> = <b>C</b>,&nbsp;&nbsp; <b>YX</b> = <b>D</b>,&nbsp;&nbsp;<b>YY</b> = <b>E</b>,&nbsp;&nbsp;<b>YZ</b> = <b>F</b>,&nbsp;&nbsp;<b>ZX</b> = <b>G</b>,&nbsp;&nbsp;<b>ZY</b> = <b>H</b>,&nbsp;&nbsp;<b>ZZ</b> = <b>I</b> .
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.