Aufgaben:Aufgabe 2.7: Nochmals Zweiwegekanal - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Oktober 2021 um 14:18 Uhr

2021-10-06T14:18:27Z

Guenter am 6. Oktober 2021 um 14:05 Uhr

2021-10-06T14:05:32Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 15:57 Uhr

2019-10-29T15:57:49Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 15:42 Uhr

2019-10-29T15:42:12Z

Guenter am 13. November 2018 um 16:30 Uhr

2018-11-13T16:30:56Z

Guenter am 13. November 2018 um 16:00 Uhr

2018-11-13T16:00:00Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:46Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 9. März 2018 um 16:27 Uhr

2018-03-09T16:27:45Z

Guenter am 9. März 2018 um 16:17 Uhr

2018-03-09T16:17:10Z

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2018-01-03T13:18:11Z

Guenter verschob die Seite 2.7 Nochmals Zweiwegekanal nach Aufgabe 2.7: Nochmals Zweiwegekanal

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 Hierbei ist die Beziehung &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; verwendet.
-*Die Fourierrücktransformation von&nbsp; $Y_{11}$&nbsp; führt zu einem um&nbsp;  $t = 0$&nbsp; symmetrischen Rechteck der Breite&nbsp; $2T$.
+*Die Fourierrücktransformation von&nbsp; $Y_{11}(f)$&nbsp; führt zu einem um&nbsp;  $t = 0$&nbsp; symmetrischen Rechteck der Breite&nbsp; $2T$.
 *Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich&nbsp; $0$ ... $2T$&nbsp; verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.
-Trotz der Tatsache, dass $y_1(t)$ ebenso wie $x_1(t)$ rechteckförmig ist, liegen Verzerrungen vor:
+Trotz der Tatsache, dass&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; ebenso wie&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; rechteckförmig ist, liegen Verzerrungen vor:
-*Wegen&nbsp; $T_y > T_x$&nbsp; sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich&nbsp; $($das sind bei einem si&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen$)$&nbsp; ist&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
+*Wegen&nbsp; $T_y > T_x$&nbsp; sind diese linear.&nbsp; Im interessierenden Frequenzbereich&nbsp; $($das sind bei einem sinc&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen$)$&nbsp; ist&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; nicht konstant.&nbsp; Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
 *Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit&nbsp; $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.
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 [[Datei:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|frame|Lösungen&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)''']]
-'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer&nbsp; $T_0 = T$&nbsp; des periodischen Signals &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist &nbsp;$y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $&nbsp; und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
+'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer&nbsp; $T_0 = T$&nbsp; des periodischen Signals &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad.&nbsp; Deshalb ist &nbsp;$y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $&nbsp; und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
 Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis.
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-'''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass &nbsp;$y_4(t) = 1$&nbsp; gegenüber &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass &nbsp;$y_4(t) = 1$&nbsp; gegenüber &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; verzerrt ist.&nbsp; Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>,&nbsp; wie die folgende Überlegung zeigt.
 *Wegen&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp; weist das Signal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; die Grundfrequenz &nbsp;$f_0 = 1/(2T)$ auf.
 *Bei allen ungeraden Vielfachen von &nbsp;$f_0$&nbsp; hat somit der Frequenzgang Nullstellen.
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 :$$y_i^{\rm (5)}(t) = y_i(t-T_1).$$
-Alle Aussagen hinsichtlich der Verzerrungen sind weiter gültig. Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+Alle Aussagen hinsichtlich der Verzerrungen sind weiter gültig.&nbsp; Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 T)\right)}= 2 \cdot |\cos(\pi f T)|.$$
-Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion:
+Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion  für &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$:
 :$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) = \arctan \frac{\sin(2 \pi f
 T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \big[\tan(\pi f T)\big].$$
 *Im Frequenzbereich&nbsp; $|f| < 1/(2T)$&nbsp; steigt&nbsp; $b(f)$&nbsp; linear an: &nbsp; $b(f) = \pi \cdot f \cdot T.$
 *Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; bis&nbsp; $+\pi/2$&nbsp; linear zu.
+*Hierbei wurde folgende trigonometrische Umformung benutzt:
 Im Fragenkatalog bezeichnet &nbsp;$y_i(t)$&nbsp; das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal &nbsp;$x_i(t)$&nbsp; anliegt&nbsp; $( i = 1, 2, 3, 4)$.
 Als Eingangssignale werden untersucht:
-*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$; <br>für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$&nbsp; $($an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf$)$;
+*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit Höhe&nbsp; $1$&nbsp; zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$;&nbsp; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$&nbsp; $($an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf$)$;
 *ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; mit Höhe&nbsp; $1$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $0 \ \text{...} \  2T$;
 *ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = T_0$:
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$. Welche der Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$.&nbsp; Welche der Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 + $y_1(t)$&nbsp; ist wie&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; rechteckförmig.
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-{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_2(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten&nbsp; $t= 0.5 T$,&nbsp; $t= 1.5 T$&nbsp; und&nbsp; $t= 2.5 T$?
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_2(t)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten&nbsp; $t= 0.5 T$,&nbsp; $t= 1.5 T$&nbsp; und&nbsp; $t= 2.5 T$?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0.5T) \ = \ $  { 1 3% }
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-{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_3(t)$. Überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_3(t)$.&nbsp; Überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
 |type="[]"}
 + $y_3(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; unverzerrt.
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-{Es gelte nun &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
+{Es gelte nun &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$.&nbsp; Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
 |type="[]"}
 + Die obigen Aussagen hinsichtlich Verzerrungen sind weiterhin gültig.

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 + x_1(t) \star \delta (t - T) = x_1(t) + x_1(t-T).$$
-Somit ist $y_1(t)$ ein Rechteckimpuls der Höhe $1$ und der Breite $2T$.
+*Somit ist&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; ein Rechteckimpuls der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; und der Breite&nbsp; $2T$.
-Zum gleichen Ergebnis &ndash; aber zeitaufwändiger &ndash; kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
+*Zum gleichen Ergebnis &ndash; aber zeitaufwändiger &ndash; kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
 :$$Y_1(f) = X_1(f) \cdot H(f) = T  \cdot \frac {\sin(\pi f T)}{\pi f T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \cdot
   \big[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \big].$$
-Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] wie folgt umgewandelt werden:
+*Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; wie folgt umgewandelt werden:
 :$${\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T}
   \big[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \big] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
   \cdot \big[  {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \big] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$
-Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
+*Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
 :$$Y_1(f) = Y_{11}(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
   , \; \; {\rm mit }  \; \;
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 Hierbei ist die Beziehung &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; verwendet.
-Die Fourierrücktransformation von $Y_{11}$ führt zu einem um  $t = 0$ symmetrischen Rechteck der Breite $2T$. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich $0$ ... $2T$ verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.
+*Die Fourierrücktransformation von&nbsp; $Y_{11}$&nbsp; führt zu einem um&nbsp;  $t = 0$&nbsp; symmetrischen Rechteck der Breite&nbsp; $2T$.
 Trotz der Tatsache, dass $y_1(t)$ ebenso wie $x_1(t)$ rechteckförmig ist, liegen Verzerrungen vor:
-*Wegen $T_y > T_x$ sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich (das sind bei einem si&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen) ist $|H(f)|$ nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
+*Wegen&nbsp; $T_y > T_x$&nbsp; sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich&nbsp; $($das sind bei einem si&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen$)$&nbsp; ist&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
-*Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.
+*Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit&nbsp; $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der bereits in '''(1)''' angegebenen Gleichung
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der bereits in&nbsp; '''(1)'''&nbsp; angegebenen Gleichung
 :$$y_2(t)  = x_2(t) + x_2(t-T)$$
 erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend dem unteren Diagramm der obere Grafik.
-Die gesuchten Zahlenwerte sind:
+Die gesuchten Zahlenwerte sind: &nbsp; $y_2(t = 0.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
-:$$y_2(t = 0.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
+\hspace{0.3cm}y_2(t = 2.5 T)  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$
-[[Datei:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|frame|Lösungen zu Aufgabe (3) und (4)]]
+[[Datei:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|frame|Lösungen&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)''']]
-'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer $T_0 = T$ des periodischen Signals &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist &nbsp;$y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $&nbsp; und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
+'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer&nbsp; $T_0 = T$&nbsp; des periodischen Signals &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist &nbsp;$y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $&nbsp; und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
 Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis.
-*$X_3(f)$ ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen $f  = 0$,
+*$X_3(f)$&nbsp; ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen&nbsp; $f  = 0$,&nbsp; $f  =  \pm f_0 = \pm 1/T$,&nbsp; $f  =  \pm 3f_0$,&nbsp; usw..
 *Bei diesen diskreten Frequenzen gilt aber exakt:
 :$$|H(f)| = 2, \hspace{0.3cm} b(f) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
   \hspace{0.3cm}\tau_{\rm P}(f) = 0.$$
-*Auch daraus folgt wieder $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $.
+*Auch daraus folgt wieder&nbsp; $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $.
-*Richtig ist hier somit nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 '''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass &nbsp;$y_4(t) = 1$&nbsp; gegenüber &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt.
-*Wegen $T_0 = 2T$ weist das Signal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; die Grundfrequenz &nbsp;$f_0 = 1/(2T)$ auf.
+*Wegen&nbsp; $T_0 = 2T$&nbsp; weist das Signal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; die Grundfrequenz &nbsp;$f_0 = 1/(2T)$ auf.
 *Bei allen ungeraden Vielfachen von &nbsp;$f_0$&nbsp; hat somit der Frequenzgang Nullstellen.
 *Die einzige verbleibende Spektrallinie von  &nbsp;$Y_4(f)$&nbsp; liegt bei &nbsp;$f = 0$, wobei gilt:
 :$$Y_4(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot \delta (f) = 1 \cdot \delta (f)
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_4(t) = 1.$$
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 *Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang.
-*Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um &nbsp;$ \tau = T_1$, und es gilt für alle Signale $(i = 1, 2, 3, 4)$:
+*Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um &nbsp;$ \tau = T_1$, und es gilt für alle Signale&nbsp; $(i = 1, 2, 3, 4)$:
 :$$y_i^{\rm (5)}(t) = y_i(t-T_1).$$

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 [[Datei:P_ID914__LZI_A_2_7.png|right|frame|Betragsfrequenzgang und Phasenfunktion des Zweiwegekanals]]
-Wie in [[Aufgaben:2.6_Zweiwegekanal|Aufgabe 2.6]] wird ein Zweiwegekanal betrachtet, für dessen Impulsantwort gelte:
+Wie in&nbsp; [[Aufgaben:2.6_Zweiwegekanal|Aufgabe 2.6]]&nbsp; wird ein Zweiwegekanal betrachtet, für dessen Impulsantwort gelte:
 :$$h(t) = \delta ( t - T_1) + \delta ( t - T_2).$$
 Entgegen der allgemeinen Darstellung in Aufgabe 2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren gleich: &nbsp; $z_1 = z_2 = 1$.
-*Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand $T_2 - T_1$  in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad.
+*Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand&nbsp; $T_2 - T_1$&nbsp;  in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad.
-*Für dieses wird die Laufzeit $T_1$ vorausgesetzt.
+*Für dieses wird die Laufzeit&nbsp; $T_1$&nbsp; vorausgesetzt.
-Mit den in den Teilaufgaben '''(1)''' ... '''(4)'''  betrachteten Laufzeiten &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$&nbsp; erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals, dessen Betrag in der oberen Grafik dargestellt ist:
+Mit den in den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)''' ... '''(4)'''&nbsp;  betrachteten Laufzeiten &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$&nbsp; erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals, dessen Betrag in der oberen Grafik dargestellt ist:
 :$$H(f) = 1 +  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f T} = 1 +
 \cos(2 \pi f T) - {\rm j} \cdot \sin(2 \pi f T)$$
@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 Die untere Grafik zeigt diePhasenfunktion für &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$:
-*Im Frequenzbereich $|f| < 1/(2T)$ steigt $b(f)$ linear an: &nbsp; $b(f) = \pi \cdot f \cdot T.$
+*Im Frequenzbereich&nbsp; $|f| < 1/(2T)$&nbsp; steigt&nbsp; $b(f)$&nbsp; linear an: &nbsp; $b(f) = \pi \cdot f \cdot T.$
-*Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von $-\pi/2$ bis $+\pi/2$ linear zu.
+*Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; bis&nbsp; $+\pi/2$&nbsp; linear zu.
-Im Fragenkatalog bezeichnet &nbsp;$y_i(t)$&nbsp; das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal &nbsp;$x_i(t)$&nbsp; anliegt ($ i = 1, 2, 3, 4$).
+Im Fragenkatalog bezeichnet &nbsp;$y_i(t)$&nbsp; das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal &nbsp;$x_i(t)$&nbsp; anliegt&nbsp; $( i = 1, 2, 3, 4)$.
 Als Eingangssignale werden untersucht:
-*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit der Höhe $1$ zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$ (an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf);
+*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit der Höhe&nbsp; $1$&nbsp; zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$; <br>für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$&nbsp; $($an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf$)$;
-*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; mit Höhe $1$ im Bereich von $0 ...  2T$;
+*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; mit Höhe&nbsp; $1$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $0 \ \text{...} \  2T$;
 *ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = T_0$:
 :$$x_3(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 { T < t  < 2T.}  \\
 \end{array}$$
@@ Zeile 67: / Zeile 70: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_1(t)$ für das Eingangssignal $x_1(t)$. Welche der Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für das Eingangssignal&nbsp; $x_1(t)$. Welche der Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $y_1(t)$ ist wie $x_1(t)$ rechteckförmig.
++ $y_1(t)$&nbsp; ist wie&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; rechteckförmig.
-- $y_1(t)$  ist dreieckförmig.
+- $y_1(t)$&nbsp;  ist dreieckförmig.
-+ Die absolute Impulsdauer ist $2T$.
++ Die absolute Impulsdauer ist&nbsp; $2T$.
-+ $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
++ $y_1(t)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; Dämpfungsverzerrungen auf.
-+ $y_1(t)$ weist gegenüber $x_1(t)$ Phasenverzerrungen auf.
++ $y_1(t)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; Phasenverzerrungen auf.
-{Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten $t= 0.5 T$, $t= 1.5 T$ und $t= 2.5 T$?
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_2(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeitpunkten&nbsp; $t= 0.5 T$,&nbsp; $t= 1.5 T$&nbsp; und&nbsp; $t= 2.5 T$?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0.5T) \ = \ $  { 1 3% }
@@ Zeile 83: / Zeile 86: @@
-{Berechnen Sie das Signal $y_3(t)$. Überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $y_3(t)$. Überprüfen Sie, welche Aussagen zutreffen.
 |type="[]"}
-+ $y_3(t)$ ist gegenüber $x_3(t)$ unverzerrt.
++ $y_3(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; unverzerrt.
-- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
+- $y_3(t)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; Dämpfungsverzerrungen auf.
-- $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ Phasenverzerrungen auf.
+- $y_3(t)$&nbsp; weist gegenüber&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; Phasenverzerrungen auf.
-{Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal <i>y</i><sub>4</sub>(<i>t</i>)
+{Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal&nbsp; $y_4(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- $y_4(t)$ ist gegenüber $x_4(t)$  unverzerrt.
+- $y_4(t)$&nbsp; ist gegenüber&nbsp; $x_4(t)$&nbsp;  unverzerrt.
-+ $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
++ $y_4(t)$&nbsp;  weist gegenüber&nbsp; $x_4(t)$&nbsp; Dämpfungsverzerrungen auf.
-- $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Phasenverzerrungen auf.
+- $y_4(t)$&nbsp;  weist gegenüber&nbsp; $x_4(t)$&nbsp; Phasenverzerrungen auf.

@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 Zum gleichen Ergebnis &ndash; aber zeitaufwändiger &ndash; kommt man durch die Berechnung im Spektralbereich:
 :$$Y_1(f) = X_1(f) \cdot H(f) = T  \cdot \frac {\sin(\pi f T)}{\pi f T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \cdot
-  \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right].$$
+  \big[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \big].$$
 Die komplexen Exponentialfunktionen können mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] wie folgt umgewandelt werden:
 :$${\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T}
-  \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
+  \big[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \big] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
-  \cdot \left[  {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \right] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$
+  \cdot \big[  {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi f T} \big] = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T} \cdot 2 \cos(\pi f T) .$$
 Somit kann für das Ausgangsspektrum geschrieben werden:
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 [[Datei:P_ID925__LZI_A_2_7_a.png|right|frame|Eingangs– und Ausgangssignale]]
-Hierbei ist die $t = 0$ symmetrischen Rechteck der Breite $2T$. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich $0$ ... $2T$ verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.
+Hierbei ist die Beziehung &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; verwendet.
-Trotz der Tatsache, dass $y_1(t)$ ebenso wie $x_1(t)$ rechteckförmig ist, liegen hier Verzerrungen vor:
+Die Fourierrücktransformation von $Y_{11}$ führt zu einem um  $t = 0$ symmetrischen Rechteck der Breite $2T$. Durch die Phasenfunktion wird dieser in den Bereich $0$ ... $2T$ verschoben und das Ergebnis der Zeitbereichsberechnung bestätigt.
 *Wegen $T_y > T_x$ sind diese linear. Im interessierenden Frequenzbereich (das sind bei einem si&ndash;förmigem Spektrum alle Frequenzen) ist $|H(f)|$ nicht konstant. Also gibt es Dämpfungsverzerrungen.
-*Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp;&rArr;&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.
+*Da zudem die Phase nicht im gesamten Bereich linear mit $f$ ansteigt, gibt es auch Phasenverzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der bereits in (1) angegebenen Gleichung
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der bereits in '''(1)''' angegebenen Gleichung
 :$$y_2(t)  = x_2(t) + x_2(t-T)$$
-erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend zweiten Grafik. Die gesuchten Werte sind:
+erhält man einen stufenförmigen Verlauf entsprechend dem unteren Diagramm der obere Grafik.
 :$$y_2(t = 0.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 1}, \hspace{0.3cm} y_2(t = 1.5 T)   \hspace{0.15cm}\underline{= 2},
 \hspace{0.3cm}y_2(t = 2.5 T)  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$
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 [[Datei:P_ID927__LZI_A_2_7_c.png|right|frame|Lösungen zu Aufgabe (3) und (4)]]
-'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer $T_0 = T$ des periodischen Signals $x_3(t)$ ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $ und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
+'''(3)'''&nbsp; Die Periodendauer $T_0 = T$ des periodischen Signals &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; ist genau so groß wie die Verzögerung auf dem zweiten Pfad. Deshalb ist &nbsp;$y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $&nbsp; und es sind keine Verzerrungen feststellbar.
-Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis. $X_3(f)$ ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen $f  = 0$,
+Die Spektralbereichsberechnung führt zum gleichen Ergebnis.
-$f  =  \pm f_0 = \pm 1/T$, $f  =  \pm 3f_0$, usw.. Bei diesen diskreten Frequenzen gilt aber exakt:
+*$X_3(f)$ ist ein Linienspektrum mit Anteilen bei den Frequenzen $f  = 0$,
 :$$|H(f)| = 2, \hspace{0.3cm} b(f) = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
   \hspace{0.3cm}\tau_{\rm P}(f) = 0.$$
-Auch daraus folgt wieder $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $. Richtig ist somit nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Auch daraus folgt wieder $y_3(t) = 2 \cdot x_3(t) $.
-'''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass $y_4(t) = 1$ gegenüber $x_4(t)$ verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der unteren Skizze der zweiten Grafik geht hervor, dass &nbsp;$y_4(t) = 1$&nbsp; gegenüber &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; verzerrt ist. Dabei handelt es sich um Dämpfungsverzerrungen &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie die folgende Überlegung zeigt.
-*Wegen $T_0 = 2T$ weist das Signal $x_4(t)$ die Grundfrequenz $f_0 = 1/(2T)$ auf.
+*Wegen $T_0 = 2T$ weist das Signal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; die Grundfrequenz &nbsp;$f_0 = 1/(2T)$ auf.
-*Bei allen ungeraden Vielfachen von $f_0$ hat somit der Frequenzgang Nullstellen.
+*Bei allen ungeraden Vielfachen von &nbsp;$f_0$&nbsp; hat somit der Frequenzgang Nullstellen.
-*Die einzige verbleibende Spektrallinie von  $Y_4(f)$ liegt bei $f = 0$, wobei gilt:
+*Die einzige verbleibende Spektrallinie von  &nbsp;$Y_4(f)$&nbsp; liegt bei &nbsp;$f = 0$, wobei gilt:
 :$$Y_4(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot \delta (f) = 1 \cdot \delta (f)
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} y_4(t) = 1.$$
-'''(5)'''&nbsp; Der Frequenzgang lautet nun mit $T_1 = 1 \ \rm ms$, $T_2  = 5 \ \rm ms$ und $T = T_2 -T_1 = 4 \ \rm ms$:
+'''(5)'''&nbsp; Der Frequenzgang lautet nun mit &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$, &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T = T_2 -T_1 = 4 \ \rm ms$:
 :$$H(f) =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
   T_1}+ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
-  T_2}=  \left[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
+  T_2}=  \big[  1 + {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T}
-  \right]\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
+  \big]\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f
   T_1}.$$
-Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang. Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um $ \tau = T_1$, und es gilt für alle Signale ($i = 1, 2, 3, 4$):
+*Der Klammerausdruck beschreibt den bereits bisher betrachteten Frequenzgang.
-$$y_i^{\rm (5)}(t) = y_i(t-T_1).$$
+*Der zweite Term bewirkt eine zusätzliche Laufzeit um &nbsp;$ \tau = T_1$, und es gilt für alle Signale $(i = 1, 2, 3, 4)$:
 Alle Aussagen hinsichtlich der Verzerrungen sind weiter gültig. Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.

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 :$$h(t) = \delta ( t - T_1) + \delta ( t - T_2).$$
-Entgegen der allgemeinen Darstellung in Aufgabe 2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren gleich: $z_1 = z_2 = 1$. Dies entspricht zum Beispiel beim Mobilfunk einem Echo im Abstand $T_2 - T_1$  in gleicher Stärke wie das Signal auf dem Hauptpfad. Für dieses wird die Laufzeit $T_1$ vorausgesetzt.
+Entgegen der allgemeinen Darstellung in Aufgabe 2.6 sind hier die beiden Dämpfungsfaktoren gleich: &nbsp; $z_1 = z_2 = 1$.
 Mit den in den Teilaufgaben (1) ... (4)  betrachteten Laufzeiten $T_1 = 0$ und $T_2 = T = 4 \ \rm ms$ erhält man für den Frequenzgang des Zweiwegekanals, dessen Betrag in der oberen Grafik dargestellt ist:
 :$$H(f) = 1 +  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}2 \pi f T} = 1 +
 \cos(2 \pi f T) - {\rm j} \cdot \sin(2 \pi f T)$$
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 Die untere Grafik zeigt die Phasenfunktion:
 :$$b(f) = - {\rm arc} \hspace{0.1cm}H(f) = \arctan \frac{\sin(2 \pi f
-T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \left(\tan(\pi f T)\right).$$
+T)}{1 + \cos(2 \pi f T)} = \arctan \big[\tan(\pi f T)\big].$$
 Hierbei wurde folgende trigonometrische Umformung benutzt:
 :$$ \frac{\sin(2 \alpha)}{1 + \cos(2 \alpha)} = \tan(\alpha).$$
-Die untere Grafik zeigt diePhasenfunktion für $T_1 = 0$ und $T_2 = T = 4 \ \rm ms$:
+Die untere Grafik zeigt diePhasenfunktion für &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$:
 *Im Frequenzbereich $|f| < 1/(2T)$ steigt $b(f)$ linear an: &nbsp; $b(f) = \pi \cdot f \cdot T.$
 *Auch in den weiteren Abschnitten der Phasenfunktion nimmt die Phase stets von $-\pi/2$ bis $+\pi/2$ linear zu.
-Im Fragenkatalog bezeichnet $y_i(t)$ das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal $x_i(t)$ anliegt ($ i = 1, 2, 3, 4$).
+Im Fragenkatalog bezeichnet &nbsp;$y_i(t)$&nbsp; das Signal am Ausgang des Zweiwegekanals, wenn am Eingang das Signal &nbsp;$x_i(t)$&nbsp; anliegt ($ i = 1, 2, 3, 4$).
 Als Eingangssignale werden untersucht:
-*ein Rechteckimpuls $x_1(t)$ mit der Höhe $1$ zwischen $t= 0$ und $t= T$. Für $t < 0$ und $t > T$ ist $x_1(t) = 0$. An den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf;
+*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; mit der Höhe $1$ zwischen &nbsp;$t= 0$&nbsp; und &nbsp;$t= T$; für &nbsp;$t < 0$&nbsp; und &nbsp;$t > T$&nbsp; ist &nbsp;$x_1(t) = 0$ (an den beiden Sprungstellen tritt jeweils der Wert $0.5$ auf);
-*ein Rechteckimpuls $x_2(t)$ mit Höhe $1$ im Bereich von $0 ...  2T$;
+*ein Rechteckimpuls &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; mit Höhe $1$ im Bereich von $0 ...  2T$;
-*ein periodisches Rechtecksignal $x_3(t)$ mit der Periodendauer $T = T_0$:
+*ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_3(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = T_0$:
 :$$x_3(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 \\  \end{array} \right.\quad \quad
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 { T/2 < t  < T,}  \\
 \end{array}$$
-*ein periodisches Rechtecksignal $x_4(t)$ mit der Periodendauer $T = 2T_0$:
+*ein periodisches Rechtecksignal &nbsp;$x_4(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T = 2T_0$:
 :$$x_4(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
 \\  \end{array} \right.\quad \quad
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
-*Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $T_1 = 0$ und $T_2 = T = 4 \ \rm ms$. In Teilaufgabe (5) wird der Fall $T_1 = 1 \ \rm ms$ und $T_2  = 5 \ \rm ms$ betrachtet.
+*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte &nbsp;$T_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = T = 4 \ \rm ms$.
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 - $y_4(t)$ ist gegenüber $x_4(t)$  unverzerrt.
 + $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Dämpfungsverzerrungen auf.
-- $y_4(t)$ ) weist gegenüber $x_4(t)$ Phasenverzerrungen auf.
+- $y_4(t)$  weist gegenüber $x_4(t)$ Phasenverzerrungen auf.
-{Es gelte nun $T_1 = 1 \ \rm ms$ und $T_2  = 5 \ \rm ms$. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
+{Es gelte nun &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$. Welche Veränderungen ergeben sich gegenüber den bisherigen Ergebnissen?
 |type="[]"}
 + Die obigen Aussagen hinsichtlich Verzerrungen sind weiterhin gültig.
 - Fundierte Aussagen sind erst nach einer Neuberechnung möglich.
-- Die Kombination $T_1 = 1 \ \rm ms$ und $T_2  = 5 \ \rm ms$ führt bei allen Signalen zu Verzerrungen.
+- Die Kombination &nbsp;$T_1 = 1 \ \rm ms$&nbsp; und &nbsp;$T_2  = 5 \ \rm ms$&nbsp; führt bei allen Signalen zu Verzerrungen.