Aufgaben:Aufgabe 2.7: Kohärenzbandbreite - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Mai 2020 um 15:48 Uhr

2020-05-25T15:48:46Z

Guenter am 25. Mai 2020 um 15:41 Uhr

2020-05-25T15:41:41Z

Guenter am 13. April 2019 um 14:24 Uhr

2019-04-13T14:24:09Z

Guenter am 13. April 2019 um 14:18 Uhr

2019-04-13T14:18:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-12-06T14:44:19Z

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Guenter am 6. Dezember 2017 um 14:43 Uhr

2017-12-06T14:43:45Z

Guenter am 6. Dezember 2017 um 14:37 Uhr

2017-12-06T14:37:46Z

Hussain am 21. November 2017 um 16:21 Uhr

2017-11-21T16:21:34Z

Hussain am 20. November 2017 um 14:51 Uhr

2017-11-20T14:51:35Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Integral über die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte liefert mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ das Ergebnis
+'''(1)'''&nbsp; Das Integral über die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte liefert mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; das Ergebnis
 :$$\int_{0}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau =
   {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau =
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 '''(2)'''&nbsp; Das $k$&ndash;te Moment einer [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]] ist nach unserer Nomenklatur gleich $m_k = k! \cdot \tau_0^k$.
-*Mit $k = 1$ ergibt sich daraus der lineare Mittelwert $m_1 = m_{\rm V}$:
+'''(2)'''&nbsp; Das&nbsp; $k$&ndash;te Moment einer&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]]&nbsp; ist nach unserer Nomenklatur gleich&nbsp; $m_k = k! \cdot \tau_0^k$.
 :$$m_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm &micro; s}}
    \hspace{0.05cm}. $$
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-'''(3)'''&nbsp; Nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]] gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein: $\sigma^2 = m_2 \, &ndash;m_1^2$.
+'''(3)'''&nbsp; Nach dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]]&nbsp; gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein: &nbsp; $\sigma^2 = m_2 \, &ndash;m_1^2$.
-*Nach der oben angegebenen Gleichung ist $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$. Daraus folgt:
+*Nach der oben angegebenen Gleichung ist&nbsp; $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\sigma_{\rm V}^2 = m_2 - m_1^2 = 2 \cdot \tau_0^2 - (\tau_0)^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
    \sigma_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm &micro; s}}
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-'''(4)'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist identisch mit dem in der Hilfsgleichung angegebenen $x(t)$, wenn man $t$ durch $\tau$ und $\lambda$ durch $1/\tau_0$ ersetzt.
+'''(4)'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist identisch mit dem in der Hilfsgleichung angegebenem $x(t)$, wenn man&nbsp; $t$&nbsp; durch&nbsp; $\tau$&nbsp; und&nbsp; $\lambda$&nbsp; durch&nbsp; $1/\tau_0$&nbsp; ersetzt.
-*Damit hat $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ den gleichen Verlauf wie $X(f)$ mit der Substitution $f &#8594; \Delta f$:
+*Damit hat&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit der Substitution&nbsp; $f &#8594; \Delta f$:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \frac{1}{1/\tau_0 + {\rm j} \cdot 2\pi \Delta f}
   = \frac{\tau_0}{1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot \tau_0 \cdot \Delta f}\hspace{0.05cm}.$$
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   B_{\rm K}= \frac{\sqrt{3}}{2\pi \cdot \tau_0} \approx \frac{0.276}{ \tau_0}\hspace{0.05cm}. $$
-*Mit $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$ folgt daraus für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
+*Mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; folgt daraus für die Kohärenzbandbreite: &nbsp; &nbsp; $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.3 Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell^]]

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 [[Datei:P_ID2172__Mob_A_2_7.png|right|frame|Verzögerungs–LDS und <br>Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion]]
-Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz. Mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; gilt:
+Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz.&nbsp; Mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; gilt:
 :$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0 } \hspace{0.05cm}.$$
-Die Konstante&nbsp; $\tau_0$&nbsp; lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ermitteln. Beachten Sie, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$&nbsp; aufweist. Weiter gilt:
+Die Konstante&nbsp; $\tau_0$&nbsp; lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ermitteln.&nbsp; Beachten Sie, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$&nbsp; aufweist.&nbsp; Weiter gilt:
 * Die Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; hat gleiche Form wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
-* Die &nbsp;<b>mittlere Verzögerungszeit</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Average Excess Delay</i>)&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; ist gleich dem linearen Erwartungswert&nbsp; $E\big [\tau \big]$&nbsp; und lässt sich aus der WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; bestimmen.
+* Die &nbsp;<b>mittlere Verzögerungszeit</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Average Excess Delay </i>)&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; ist gleich dem linearen Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big [\tau \big]$&nbsp; und lässt sich aus der WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; bestimmen.
-* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Multipath Spread</i>)&nbsp; $\sigma_{\rm V}$&nbsp; gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$&nbsp; an. Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung&nbsp; $T_{\rm V}$.
+* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Multipath Spread </i>)&nbsp; $\sigma_{\rm V}$&nbsp; gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$&nbsp; an.&nbsp; Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung&nbsp; $T_{\rm V}$.
 * Die dargestellte Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; berechnet werden:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
   \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 * Die <b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; ist der&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; auf den halben Betrag abgefallen ist.
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 <quiz display=simple>
 {Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; der Verzögerungszeit?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $f_{\rm V}(\tau) = {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$.
 + $f_{\rm V}(\tau) = 1/\tau_0 \cdot {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$,
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 $m_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$?
+{Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$ ?
 |type="{}"}
 $\sigma_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welche Gleichung gilt für die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$?
+{Welche Gleichung gilt für die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ?
 |type="()"}
 + $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \big[1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f \big]^{-1}$,

@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 {Welche Gleichung gilt für die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \big[1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f \big]^{-1}$,
 - $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = {\rm e}^ {-(\tau_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\Delta f)^2}$.
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   \hspace{0.05cm}. $$
-Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+*Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$f_{\rm V}(\tau)  = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot  {\rm e}^{-\tau / \tau_0}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 '''(2)'''&nbsp; Das $k$&ndash;te Moment einer [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]] ist nach unserer Nomenklatur gleich $m_k = k! \cdot \tau_0^k$. Mit $k = 1$ ergibt sich daraus der lineare Mittelwert $m_1 = m_{\rm V}$:
-:$$m_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm \mu s}}
+'''(2)'''&nbsp; Das $k$&ndash;te Moment einer [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]] ist nach unserer Nomenklatur gleich $m_k = k! \cdot \tau_0^k$.
    \hspace{0.05cm}. $$
 '''(3)'''&nbsp; Nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]] gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein: $\sigma^2 = m_2 \, &ndash;m_1^2$. Nach der oben angegebenen Gleichung ist $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$. Daraus folgt:
 :$$\sigma_{\rm V}^2 = m_2 - m_1^2 = 2 \cdot \tau_0^2 - (\tau_0)^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-   \sigma_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm \mu s}}
+   \sigma_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm &micro; s}}
    \hspace{0.05cm}.  $$
 '''(4)'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ ist identisch mit dem in der Hilfsgleichung angegebenen $x(t)$, wenn man $t$ durch $\tau$ und $\lambda$ durch $1/\tau_0$ ersetzt. Damit hat $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ den gleichen Verlauf wie $X(f)$ mit der Substitution $f &#8594; \Delta f$:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \frac{1}{1/\tau_0 + {\rm j} \cdot 2\pi \Delta f}
   = \frac{\tau_0}{1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot \tau_0 \cdot \Delta f}\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist die <u>erste Gleichung</u>.
+*Richtig ist die <u>erste Gleichung</u>.
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   B_{\rm K}= \frac{\sqrt{3}}{2\pi \cdot \tau_0} \approx \frac{0.276}{ \tau_0}\hspace{0.05cm}. $$
-Mit $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ folgt daraus für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
+*Mit $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$ folgt daraus für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.3 Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell^]]

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 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell}}
-[[Datei:P_ID2172__Mob_A_2_7.png|right|frame|Verzögerungs–LDS und Frequenzkorrelationsfunktion]]
+[[Datei:P_ID2172__Mob_A_2_7.png|right|frame|Verzögerungs–LDS und <br>Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion]]
-Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz. Mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ gilt:
+Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz. Mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; gilt:
 :$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0 } \hspace{0.05cm}.$$
-Die Konstante $\tau_0$ lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt $\tau = 0$ ermitteln. Beachten Sie, dass ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist. Weiter gilt:
+Die Konstante&nbsp; $\tau_0$&nbsp; lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ermitteln. Beachten Sie, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$&nbsp; aufweist. Weiter gilt:
-* Die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ hat gleiche Form wie ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche 1 normiert.
+* Die Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; hat gleiche Form wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
-* Die mittlere Verzögerungszeit (englisch: <i>Average Excess Delay</i>) $m_{\rm V}$ ist gleich dem linearen Erwartungswert $E[\tau]$ und lässt sich aus der WDF $f_{\rm V}(\tau)$ bestimmen.
+* Die &nbsp;<b>mittlere Verzögerungszeit</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Average Excess Delay</i>)&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; ist gleich dem linearen Erwartungswert&nbsp; $E\big [\tau \big]$&nbsp; und lässt sich aus der WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; bestimmen.
-* Die <b>Mehrwegeverbreiterung</b> (englisch: <i>Multipath Spread</i>) $\sigma_{\rm V}$ gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße $\tau$ an. Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung $T_{\rm V}$.
+* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Multipath Spread</i>)&nbsp; $\sigma_{\rm V}$&nbsp; gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$&nbsp; an. Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung&nbsp; $T_{\rm V}$.
-* Die dargestellte Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ berechnet werden:
+* Die dargestellte Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; berechnet werden:
 :$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
   \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-* Die <b>Kohärenzbandbreite</b> $B_{\rm K}$ ist der $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ auf den halben Betrag abgefallen ist.
+* Die <b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; ist der&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; auf den halben Betrag abgefallen ist.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell|Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]]
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell|GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
-* Benötigt werden Kenntnisse zur [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert| Momentenberechnung]] von Zufallsgrößen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
+* Benötigt werden Kenntnisse zur&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert| Momentenberechnung]]&nbsp; von Zufallsgrößen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
 * Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:
 :$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\\
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ der Verzögerungszeit?
+{Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; der Verzögerungszeit?
 |type="[]"}
 - $f_{\rm V}(\tau) = {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$.
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 - $f_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_0 \cdot {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$.
-{Bestimmen Sie die mittlere Verzögerungszeit für $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$.
+{Bestimmen Sie die mittlere Verzögerungszeit für&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$.
 |type="{}"}
-$m_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm \mu s$
+$m_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$?
+{Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
-$\sigma_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm \mu s$
+$\sigma_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welche Gleichung gilt für die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$?
+{Welche Gleichung gilt für die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$?
 |type="[]"}
-+ $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = [1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f]^{&ndash;1}$,
++ $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \big[1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f \big]^{-1}$,
-- $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \exp {[&ndash;(\tau_0 \cdot \Delta f)^2]}$.
+- $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = {\rm e}^ {-(\tau_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\Delta f)^2}$.
-{Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$.
+{Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$.
 |type="{}"}
 $B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \rm kHz$

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 \\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array}
   \hspace{0.4cm}  {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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(kein Unterschied)

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 '''(1)'''&nbsp; Das Integral über die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte liefert mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ das Ergebnis
 :$$\int_{0}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau =
-  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm exp}\left ( -\tau / \tau_0 \right ) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau =
+  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau =
   {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0
   \hspace{0.05cm}. $$
 Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
-:$$f_{\rm V}(\tau)  = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm exp}\left ( -\tau / \tau_0 \right )
+:$$f_{\rm V}(\tau)  = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot  {\rm e}^{-\tau / \tau_0}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 '''(5)'''&nbsp; Die Kohärenzbandbreite ergibt sich implizit aus der folgenden Gleichung:
-:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} \frac{1}{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| = \frac{\tau_0}{2}$$
+:$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} \frac{1}{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| = \frac{\tau_0}{2}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})|^2
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})|^2
   = \frac{\tau_0^2}{1 + (2\pi \cdot \tau_0 \cdot B_{\rm K})^2} \stackrel  {!}{=} \frac{\tau_0^2}{4}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(2\pi \cdot \tau_0 \cdot B_{\rm K})^2 = 3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2017, 16:21 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	\\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array}		\\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array}
	\hspace{0.4cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.4cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.